Tiriant sudėtingus skaičius susiduriame su tokia lygybe: t2 = – 1.
Šios lygybės pagrindimas paprastai siejamas su 2 laipsnio lygčių su neigiamomis kvadratinėmis šaknimis sprendimu, o tai yra klaida. Išraiškos kilmė i2 = - 1 yra sudėtinių skaičių apibrėžime, kitas klausimas, kuris taip pat kelia daug abejonių. Supraskime tokios lygybės priežastį ir kaip ji atsiranda.
Pirmiausia padarykime keletą apibrėžimų.
1. Užsakyta realiųjų skaičių pora (x, y) vadinama kompleksiniu skaičiumi.
2. Sudėtingi skaičiai (x1y1) ir (x2y2) yra lygūs tik tada, jei x1 = x2 ir y1 = y2.
3. Kompleksinių skaičių sudėjimą ir dauginimą apibūdina:
(x1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(x1y1) * (x2y2) = (x1* x2 - y1* y2, x1* y2 + y1* x2)
1 pavyzdys. Apsvarstykite z1 = (3, 4) ir z2 = (2, 5), apskaičiuokite z1 + z2 ir z1* z2.
Sprendimas:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Naudojant trečiąjį apibrėžimą, lengva parodyti, kad:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0) * (x
Šios lygybės rodo, kad sudėties ir daugybos operacijų atžvilgiu kompleksiniai skaičiai (x, y) elgiasi kaip tikrieji skaičiai. Šiame kontekste galime nustatyti tokį ryšį: (x, 0) = x.
Naudodami šį ryšį ir simbolį i, nurodydami kompleksinį skaičių (0, 1), bet kokį kompleksinį skaičių (x, y) galime parašyti taip:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, kuris yra įprasto komplekso skaičiaus iškvietimas.
Taigi, kompleksinis skaičius (3, 4) normalia forma tampa 3 + 4i.
2 pavyzdys. Parašykite šiuos sudėtinius skaičius įprasta forma.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (- 7, 11) = - 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Dabar atkreipkite dėmesį, kad mes vadiname i kompleksiniu numeriu (0, 1). Pažiūrėkime, kas nutiks kuriant „i2“.
Mes žinome, kad i = (0, 1) ir kad aš2 = i * i. Vykdykite tai:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Naudodami 3 apibrėžimą, turėsime:
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Kaip matėme anksčiau, kiekvienas sudėtingas formos skaičius (x, 0) = x. Taigi,
i2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Priėjome garsiąją lygybę, t2 = – 1.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Autorius Marcelo Rigonatto
Statistikos ir matematinio modeliavimo specialistas
Brazilijos mokyklos komanda
Sudėtingi skaičiai - Matematika - Brazilijos mokykla
