Niutono binomalas yra bet kuris binomas, pakeltas iki skaičiaus ne ant ko ne tai natūralus skaičius. Fiziko studijų dėka Izaokas Niutonas apie binomalų galias buvo įmanoma patikrinti dėsningumus, kurie palengvina daugianario vaizdavimą generuojamas iš binomo galios.
Stebint šiuos dėsningumus, tai tapo įmanoma rasti tik vieną iš daugianario, nereikalaujant viso to apskaičiuoti, naudojant bendrojo binomo termino formulę. Be to, Niutonas pastebėjo ryšį tarp kombinatorinė analizėir Niutono binomalus, kas padarė Paskalio trikampis puiki priemonė praktiškesniam Niutono binomalo kūrimui.
Taip pat skaitykite: „Briot-Ruffini“ įrenginys - polinomų padalijimo metodas
Niutono binomalo apibrėžimas
Mes apibrėžiame kaip binominįdaugianario, kuris turi du terminus. Kai kuriose matematikos ir fizikos programose būtina apskaičiuoti binomo galias. Norėdami palengvinti procesą, Isaacas Newtonas pastebėjo svarbius dėsningumus kurie leidžia mums rasti polinomą, atsirandantį dėl binomo galios.
Kai kuriais atvejais skaičiavimas yra gana paprastas: tiesiog atlikite binomo padauginimas savaime naudojant paskirstomąją savybę. Iki 3 eilės stiprumo mes tobulėjame be didelių pastangų, nes jie yra gerai žinomi žymių produktų, bet aukštesnėms galioms apskaičiuokite iš termino padauginimo iš savęs ne kartais tai daug darbo.
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Pavyzdžiai
Atminkite, kad kiekvienas skaičius, pakeltas iki nulio, yra lygus 1 ir kad kiekvienas skaičius, pakeltas iki 1, yra pats savaime, tai taip pat galioja binominiams elementams.
Niutonas pastebėjo a santykis tarp kiekvieno termino ir jų derinio koeficientų, leidusį tiesiogiai apskaičiuoti binomo galią pagal šią formulę:
Formulės supratimas:
Pirmiausia pažvelkime į pažodinę kiekvieno termino dalį, kuri yra raidė su jos rodikliu. Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienam terminui reiškėjas “a “mažėjo, pradedant nuo n, tada einant į n - 1 ir t. t., kol priešpaskutiniame ir 0 buvo paskutiniame etape (dėl to raidė„ a “paskutinėje kadencijoje net nepasirodė).
identifikuojantis ir jo rodikliai:
Dabar išanalizuokime „b“ rodiklius, kurie vis didėja, pradedant skaičiumi 0 per pirmąją kadenciją ( dėl kurio b raidė nepasirodo pirmoje kadencijoje), 1 antroje ir taip toliau, kol ji lygi nepaskutinę kadenciją.
identifikuojantis B ir jo rodikliai:
Suprasdami pažodinę dalį, leiskime analizuoti koeficientus, kurie visi yra ne elementai, paimti nuo 0 iki 0, nuo 1 iki 1, nuo 2 iki 2 ir t. t. iki paskutinio termino, kuris yra jų derinys ne elementai paimti iš ne į ne.
Pažymėtina, kad svarbu įvaldyti skaičiavimą deriniai kad būtų galima rasti koeficientus. Atminkite, kad norėdami apskaičiuoti derinius, turime:
Kombinuotas atsakas visada yra a natūralusis skaičius.
Taip pat žiūrėkite: Polinomo padalijimas: kaip jį išspręsti?
Pavyzdys: Apskaičiuokite Niutono binomą (a + b) iki ketvirtosios galios.
1 žingsnis: užrašykite polinomą pagal formulę.
2 žingsnis: apskaičiuokite derinius.
Pakeitus derinius, rastas polinomas bus:
Matote, kad tokių atvejų sprendimas vis dar yra sunkus, atsižvelgiant į rodiklį, tačiau net ir tuo atveju tai yra greitesnis dalykas nei skaičiuojant naudojant paskirstomąją nuosavybę. Įrankis, kuris gali padėti atlikti šį skaičiavimą, yra Paskalio trikampis.
Paskalio trikampis
Pascal trikampis buvo sukurtas Blaise Pascal tiriant derinius. Jis yra tokiu būdu lengviau apskaičiuoti derinius. Naudojant „Pascal“ trikampį, greičiau ir paprasčiau surasti Niutono binomalo pažodinių dalių koeficientus, nereikia apskaičiuoti visų derinių.
Norėdami tiesiogiai sukonstruoti Pascalo trikampį, prisiminkime dvi situacijas, kai derinio apskaičiavimas yra lygus 1.
Taigi visų eilučių pirmasis ir paskutinis terminai visada yra lygūs 1. Pagrindiniai terminai yra sudaryti iš virš jo esančio termino ir jo kaimyno iš ankstesnio stulpelio sumos, kaip parodyta žemiau:
Norėdami sukurti kitas eilutes, tiesiog nepamirškite, kad pirmasis terminas yra 1, o paskutinis - taip pat. Tada pakanka padaryti sumas, kad būtų atrasti pagrindiniai terminai.
Taip pat prieiga: Polinomo skilimo teorema
Pavyzdys: Apskaičiuokite (a + b) iki šeštosios galios.
1 žingsnis: pritaikykite binomalo formulę.
2 žingsnis: pastatykite Paskalio trikampį iki 6-osios linijos.
3 žingsnis: derinius pakeiskite vertėmis 6 eilutėje, kurios yra kiekvieno binomo termino koeficientai.
Tai, kas nustato eilučių, kurias ketiname pastatyti iš binomo, skaičių, yra n reikšmė. Svarbu atsiminti, kad pirmoji eilutė lygi nuliui.
Niutono dvejetainis bendrasis terminas
Niutono bendrasis terminas binomialas yra formulė, leidžianti apskaičiuoti binomalo terminą nereikalaujant sukurti viso polinomo, ty nustatyti bet kurį terminą nuo pirmo iki paskutinio. Pagal formulę mes tiesiogiai apskaičiuojame ieškomą terminą.
: pirmoji kadencija
B: antroji kadencija
n: rodiklis
p + 1: paieškos terminas
Pavyzdys: Raskite 11-ą binomalo kadenciją (a + b)12.
Rezoliucija:
Taip pat žiūrėkite: Demonstracijos per algebrinio skaičiavimo
sprendė pratimus
Klausimas 1 - (Cesgranrio) x koeficientas4 daugianaryje P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Rezoliucija
Mes norime rasti konkretų terminą sprendžiant binomą; tam turime rasti p reikšmę.
Mes žinome, kad pirmas terminas šiuo atveju yra lygus x, taigi n - p = 4, kaip n = 6, turime:
Taigi koeficientas yra 60 (B alternatyva).
2 klausimas - (Unifor) Jei pagrindinis binominio vystymosi terminas (4x + ky)10 už 8064x5y5, tada k reikšmę atitinkanti alternatyva bus:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Rezoliucija: Mes žinome, kad centrinis terminas turi vienodus koeficientus (p = 5). Raskime 6-ąją kadenciją, nes p + 1 = 6. Be to, turime, kad a = 4x; b = ky ir n = 10, taigi:
D alternatyva.
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
