Išdėstymas su kartojimu: kas tai, formulė, pavyzdžiai

Mes žinome kaip pakartoti susitarimą arba užbaigti išdėstymą, visi užsakyti pergrupavimai, su kuriais galime susidaryti k aibės elementai su ne elementai, kurių elementas yra ne gali pasirodyti daugiau nei vieną kartą. kombinatorinė analizė tai matematikos sritis, kurianti skaičiavimo metodikas, siekiant rasti galimų grupių skaičių tam tikrose situacijose.

Tarp šių grupių yra susitarimas su pasikartojimu, pateikiamas, pavyzdžiui, kurti slaptažodžius, valstybinius numerius, tarp kitų. Norėdami išspręsti šias situacijas, mes taikome išdėstymo formulę su pakartojimu kaip skaičiavimo techniką. Yra skirtingos pasikartojančio ir nesikartojančio išdėstymo skaičiavimo formulės, todėl svarbu žinoti, kaip atskirti kiekvieną iš šių situacijų, norint pritaikyti teisingą skaičiavimo techniką.

Taip pat skaitykite: Pagrindinis skaičiavimo principas - pagrindinė kombinatorinės analizės samprata

Kas yra susitarimas su kartojimu?

Gaminant transporto priemonių plokštes yra susitarimas su pasikartojimu. [1]

Kasdieniniame gyvenime susiduriame su situacijomis, susijusiomis su sekomis ir grupavimais, kurie atsiranda pasirinkite slaptažodžius iš socialinių tinklų ar banko, taip pat nurodydami telefono numerius ar susijusias situacijas eilės. Šiaip ar taip, mus supa situacijos, kuriose dalyvauja šios grupės.

Pavyzdžiui, valstybiniuose numeriuose, sudarytuose iš trijų raidžių ir keturių skaičių, yra a unikali eilutė pagal valstiją, kuri identifikuoja kiekvieną automobilį, šiuo atveju mes dirbame susitarimus. Kai įmanoma pakartoti elementus, mes dirbame su visais išdėstymais arba išdėstymais su pakartojimais.

Duota rinkinys su ne elementus, mes žinome kaip susitarimą su pasikartojimu visos grupės, su kuriomis galime susiburti k elementai rinkinys, kur elementą galima pakartoti daugiau nei vieną kartą. Pavyzdžiui, transporto priemonių valstybiniuose numeriuose tai yra galimų valstybinių numerių skaičius, kurį galime suformuoti atsižvelgiant į tai, kad jie turi tris raides ir keturis skaičius ir kad raides ir skaičius galima pakartoti.

Norėdami apskaičiuoti galimų pasikartojančių išdėstymų skaičių, naudojame labai paprastą formulę.

Išdėstymo formulė su pakartojimu

Norėdami sužinoti visą susitarimo sumą ne atskirų elementų, paimtų iš k į

Oi, tam tikroje situacijoje, leidžiančioje pakartoti elementą, mes naudojame šią formulę:

ORO_ne,_k = ne^k

AR → susitarimas su kartojimu
ne → rinkinio elementų skaičius
k → elementų, kurie bus pasirinkti, skaičius

Taip pat žiūrėkite: Paprastas derinys - suskaičiuokite visus tam tikro rinkinio pogrupius

Kaip apskaičiuoti pasikartojančio išdėstymo numerį

Norėdami geriau suprasti, kaip pritaikyti pakartojimo išdėstymo formulę, žr. Toliau pateiktą pavyzdį.

1 pavyzdys:

Banko slaptažodis turi penkis skaitmenis, susidedančius tik iš skaičių. Koks galimų slaptažodžių skaičius?

Mes žinome, kad slaptažodis yra penkių skaitmenų eilutė ir kad pakartojimams nėra jokių apribojimų, todėl taikysime išdėstymo formulę su pakartojimu. Vartotojas turi pasirinkti iš 10 skaitmenų, kuris sudarys kiekvieną iš penkių šio slaptažodžio skaitmenų, tai yra, mes norime apskaičiuoti išdėstymą kartojant 10 elementų, paimtų kas penkis.

ORO_10,5 = 10⁵ = 10.000

Taigi yra 10 000 slaptažodžio galimybių.

2 pavyzdys:

Žinodamas, kad transporto priemonės valstybinius numerius sudaro trys raidės ir keturi skaičiai, kiek gali sudaryti valstybinių numerių?

Mūsų abėcėlė susideda iš 26 raidžių ir yra 10 galimų skaičių, todėl padalinkime į dvi visas masyvus ir raskime galimų raidžių ir skaičių masyvų skaičių.

ORO_26,3 = 26³ = 17.576
ORO₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Taigi iš viso galimų susitarimų yra:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Skirtumas tarp paprasto išdėstymo ir pakartotinio išdėstymo

Diferencijuoti paprastą išdėstymą nuo susitarimo su pasikartojimu būtina sprendžiant temos problemas. Svarbu diferencijuoti yra suvokti, kad kai susiduriame su situacija, kai yra pergrupavimų, kurių tvarka yra svarbi, susitarimas, ir jei šie pergrupavimai leidžia kartoti tarp terminų, tai yra susitarimas su kartojimu, dar vadinamas dariniu baigtas. Kai pergrupavimas neleidžia pakartoti, tai apie paprastas susitarimas.

Paprasto išdėstymo formulė skiriasi nuo tos, kurią naudojame pakartotiniam išdėstymui.

Jau anksčiau matėme pakartotinio išdėstymo pavyzdžius, dabar - paprasto išdėstymo pavyzdį

Pavyzdys:

Paulo nori įdėti į savo lentyną tris savo 10 mokyklinių knygų, kurios visos skiriasi, kiek būdų jis gali sutvarkyti?

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju tvarka yra svarbi, tačiau pasikartojimų nėra, nes tai yra paprastas išdėstymas. Norėdami sužinoti galimų grupių skaičių, turime:

Norėdami sužinoti daugiau apie šią kitą grupavimo formą, naudojamą kombinatorinėje analizėje, perskaitykite tekstą: paprastas išdėstymas.

Pratimai išspręsti:

Klausimas 1 - (Enem) Bankas paprašė savo klientų sukurti asmeninį šešiaženklį slaptažodį, susidedantį tik iš skaičių nuo 0 iki 9, norint patekti į einamąją sąskaitą internetu. Tačiau elektroninių apsaugos sistemų specialistas rekomendavo banko vadovybei perregistruoti savo vartotojus, prašydamas to padaryti Kiekvienas iš jų sukuria naują slaptažodį su šešiais skaitmenimis, kuris dabar leidžia naudoti 26 abėcėlės raides, be skaitmenų nuo 0 iki 9. Šioje naujoje sistemoje kiekviena didžioji raidė buvo laikoma skirtinga nuo mažosios raidės. Be to, buvo draudžiama naudoti kitų tipų simbolius.

Vienas iš būdų įvertinti slaptažodžių sistemos pasikeitimą yra patobulinimo koeficiento patikrinimas, dėl kurio atsiranda naujas slaptažodžių galimybių skaičius, palyginti su senuoju. Rekomenduojamas pokyčių tobulinimo koeficientas yra:

Rezoliucija

A alternatyva

Senasis slaptažodis yra masyvas su pasikartojimu, nes jį gali sudaryti visi skaičiai, taigi tai yra 10 elementų masyvas, paimtas kas šešis.

ORO_10,6 = 10⁶

Naująjį slaptažodį gali sudaryti 10 skaitmenų, taip pat didžiosios raidės (26 raidės) ir mažosios raidės (26 raidės), taigi slaptažodis kiekvienam skaitmeniui iš viso yra 10 + 26 + 26 = 62 galimybės. Kadangi yra šeši skaitmenys, apskaičiuosime išdėstymą kartodami 62 elementus, paimtus kas šešis.

ORO_62,6 = 62⁶

priežastis naujo slaptažodžio galimybių skaičiaus, palyginti su senuoju, yra lygus 62⁶/10⁶.

2 klausimas - („Enem 2017“) įmonė sukurs savo svetainę ir tikisi pritraukti maždaug vieno milijono klientų auditoriją. Norėdami patekti į šį puslapį, jums reikės slaptažodžio, kurio formatas bus nustatytas įmonės. Yra penkios programuotojo siūlomos formato parinktys, aprašytos lentelėje, kur „L“ ir „D“ reiškia didelę raidę ir skaitmenį.

Abėcėlės raidės, tarp 26 galimų, taip pat skaitmenys, tarp 10 galimų, gali būti kartojamos bet kurioje iš parinkčių.

Bendrovė nori pasirinkti formatą, kurio galimų skirtingų slaptažodžių skaičius yra didesnis nei numatomo klientų skaičiaus, tačiau šis skaičius neviršija dvigubai daugiau nei tikėtasi klientų klientų.

Rezoliucija

E alternatyva

Apskaičiuodami kiekvieną iš galimybių, mes norime rasti slaptažodį, kuris turi daugiau nei milijoną galimybių ir mažiau nei du milijonus galimybių.

I → LDDDDD

26 ·10⁵ yra didesnis nei du milijonai, todėl netenkina bendrovės prašymo.

II → DDDDDD

10⁶ yra lygus vienam milijonui, todėl jis netenkina bendrovės prašymo.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ yra didesnis nei du milijonai, todėl netenkina bendrovės prašymo.

IV → DDDDD

10⁵ jis nesiekia milijono, todėl netenkina bendrovės prašymo.

V → LLLDD

26³ · 10² yra nuo vieno iki dviejų milijonų, todėl šis slaptažodžio šablonas yra idealus.

Vaizdo kreditas

[1] Rafaelis Berlandi / „Shutterstock“

Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja

Šaltinis: Brazilijos mokykla - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm