해석 기하학은 평면이나 공간의 좌표계에서 기하학적 요소를 연구합니다. 이러한 기하학적 개체는 이 방향 시스템의 점 및 축과 관련된 위치 및 위치에 따라 결정됩니다.
이집트인과 로마인과 같은 고대 민족부터 좌표의 개념은 이미 역사에 등장했습니다. 그러나 17세기에 르네 데카르트와 피에르 드 페르마의 작업으로 이 수학 분야가 체계화되었습니다.
데카르트 직교 시스템
직교 데카르트 시스템은 좌표를 찾기 위한 기준 베이스입니다. 평면에서 서로 수직인 두 축으로 구성됩니다.
- 이 시스템의 O(0,0) 원점은 이러한 축의 교차점입니다.
- x 축은 가로 좌표입니다.
- y축은 세로좌표입니다.
- 4개의 사분면은 시계 반대 방향입니다.
주문 쌍
평면의 모든 점은 좌표 P(x, y)를 갖습니다.
x는 점 P의 가로 좌표이며 x축의 직교 투영에서 원점까지의 거리를 구성합니다.
y는 점 P의 세로좌표이며 y축의 직교 투영에서 원점까지의 거리입니다.
두 점 사이의 거리
데카르트 평면의 두 점 사이의 거리는 이 두 점을 연결하는 선분의 길이입니다.
두 점 사이의 거리 공식 그리고
어느.
중간점 좌표
중간점은 세그먼트를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 점입니다.
존재 세그먼트의 중간점
, 좌표는 가로 좌표와 세로 좌표의 산술 수단입니다.
그리고
3점 정렬 조건
주어진 포인트: .
다음 행렬의 행렬식이 0과 같으면 이 세 점이 정렬됩니다.
예시
선의 각도 계수
경사 직선의 접선은 기울기의 접선
x축에 대해.
두 점에서 기울기를 얻으려면:
m > 0이면 라인이 오름차순이고, 그렇지 않으면 m < 0이면 라인이 내림차순입니다.
선의 일반 방정식
어디에 NS,NS 그리고 씨 상수 실수이고, NS 그리고 NS 동시에 null이 아닙니다.
예시
점과 기울기를 아는 선 방정식
포인트를 주어 그리고 기울기
.
선의 방정식은 다음과 같습니다.
예시
직선 방정식의 축소된 형태
어디에:
m은 기울기입니다.
n은 선형 계수입니다.
아니요 선이 y축과 교차하는 위치에 정렬됩니다.
예시
바라보다 선 방정식.
평면에서 두 평행선 사이의 상대 위치
두 개의 별개의 선은 기울기가 같을 때 평행합니다.
스트레이트라면 NS 경사가 있다 , 그리고 직선 NS 경사가 있다
, 다음과 같은 경우 병렬입니다.
이를 위해서는 성향이 같아야 합니다.
각도가 같을 때 접선도 같습니다.
평면에서 경쟁하는 두 직선 사이의 상대적 위치
두 직선은 기울기가 다를 때 동시에 나타납니다.
결과적으로 기울기는 x축에 대한 경사각이 다를 때 다릅니다.
수직선
두 나머지는 기울기의 곱이 -1일 때 수직입니다.
두 개의 직선 NS 그리고 NS, 뚜렷한, 경사가 있는 그리고
는 다음과 같은 경우에만 수직입니다.
또는
두 선이 수직인지 여부를 알 수 있는 또 다른 방법은 일반 형식의 방정식을 사용하는 것입니다.
라인 r 및 s의 방정식은 다음과 같습니다.
다음과 같은 경우에 수직인 두 개의 선:
바라보다 수직선.
둘레
원주는 모든 점 P(x, y)가 같은 거리에 있는 평면상의 궤적입니다. NS 중심 C(a, b)에서, 여기서 NS 반지름의 척도입니다.
축소된 형태의 둘레 방정식
어디에:
NS 반경은 호의 임의의 점과 중심 사이의 거리입니다. 씨.
NS 그리고 NS 중심 좌표입니다 씨.
원의 일반 방정식
그것은 둘레의 기약 방정식의 제곱 항을 전개함으로써 얻어진다.
운동에서 둘레 방정식의 일반적인 형태를 나타내는 것은 매우 일반적이며, 정규형이라고도 합니다.
원추형
원뿔이라는 단어는 원뿔에서 유래했으며 단면을 통해 얻은 곡선을 나타냅니다. 타원, 쌍곡선 및 포물선은 원추형이라고 하는 곡선입니다.
타원
타원은 꼭짓점을 통과하지 않고 모선과 평행하지 않은 축에 대해 비스듬한 평면으로 직선 원뿔을 절단하여 얻은 닫힌 곡선입니다.
평면에서 두 내부 고정점까지의 거리의 합이 일정한 모든 점의 집합입니다.
타원 요소:
- F1과 F2는 타원의 초점입니다.
- 2c는 타원의 초점 거리입니다. F1과 F2 사이의 거리입니다.
- 요점 영형 타원의 중심입니다. F1과 F2 사이의 중간점입니다.
- A1과 A2는 타원의 꼭짓점입니다.
- 세그먼트
장축 및 2a와 같습니다.
- 세그먼트
단축은 2b와 같습니다.
- 이심률
여기서 0 < 및 < 1.
기약 타원 방정식
x가 가로 좌표이고 y가 이 점의 세로 좌표인 타원에 포함된 점 P(x, y)를 고려하십시오.
좌표계의 원점에서 타원의 중심이고 x축의 장축(AA)입니다.
좌표계의 원점에서 타원의 중심이고 y축의 장축(AA)입니다.
좌표축에 평행한 축이 있는 타원의 축소 방정식
점을 고려 데카르트 시스템의 기원으로, 점
타원의 중심으로.
AA 장축은 x축에 평행합니다.
AA 장축은 y축에 평행합니다.
과장
쌍곡선은 고정된 두 점 F1과 F2 사이의 차이가 일정하고 양수 값을 초래하는 평면상의 점 집합입니다.
과장법의 요소:
- F1과 F2는 쌍곡선의 초점입니다.
- 2c =
초점 거리입니다.
- 쌍곡선의 중심이 포인트 영형, F1F2 구간 평균.
- A1과 A2는 정점입니다.
- 2a = A1A2는 실제 또는 가로축입니다.
- 2b = B1B2는 허수 또는 켤레 축입니다.
-
편심입니다.
삼각형 B1OA2를 통해
쌍곡선 축소 방정식
x 축에 대한 실제 축과 원점 중심.
y축에 실제 축을 사용하고 원점에 중심을 둡니다.
좌표축에 평행한 축이 있는 쌍곡선 방정식
x축 및 중심에 평행한 AA 실제 축 .
y축 및 중심에 평행한 실제 축 AA .
우화
포물선은 점 P(x, y)의 집합이 고정 점 F와 선 d에서 같은 거리에 있는 궤적입니다.
비유의 요소:
- F는 비유의 초점입니다.
- d는 직선 가이드라인입니다.
- 대칭축은 초점 F를 통과하는 직선이며 가이드라인에 수직입니다.
- V는 포물선의 꼭짓점입니다.
- p는 초점 F와 정점 V e 사이, 정점과 지시문 d 사이의 동일한 길이의 세그먼트입니다.
포물선의 기약 방정식
원점에 정점이 있고 y 축에 대칭 축이 있습니다.
p>0인 경우 위쪽으로 오목합니다.
p<0인 경우 아래쪽 오목.
원점에 정점이 있고 x 축에 대칭 축이 있습니다.
p>0인 경우 오른쪽으로 오목합니다.
p<0인 경우 왼쪽으로 오목합니다.
y축과 꼭짓점에 평행한 대칭축 .
x축과 꼭짓점에 평행한 대칭축 .
연습하다 해석 기하학에 대한 연습.
자세히 알아보기:
데카르트 계획
두 점 사이의 거리
원추형
각도 계수의 계산
