피타고라스 정리: 해결 및 주석 연습

피타고라스의 정리는 직각 삼각형에서 제곱 빗변 측도가 다리 측도 제곱의 합과 같다는 것을 나타냅니다.

이 중요한 콘텐츠에 대한 모든 의심에 답하기 위해 해결되고 주석 처리 된 연습을 활용하십시오.

제안 된 운동 (해결책 포함)

질문 1

Carlos와 Ana는 그들이 사는 건물의 차고 인 같은 지점에서 퇴근했습니다. 1 분 후 수직 경로를 따라 13m 떨어져 있습니다.

그 시간 동안 Carlos의 차가 Ana의 차보다 7m 더 많이 이동했다면 차고에서 얼마나 멀리 떨어져 있었습니까?

a) Carlos는 차고에서 10m, Ana는 5m입니다.
b) Carlos는 차고에서 14m, Ana는 7m였습니다.
c) Carlos는 차고에서 12m, Ana는 5m였습니다.
d) Carlos는 차고에서 13m, Ana는 6m였습니다.

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정답: c) Carlos는 차고에서 12m, Ana는 5m 거리에 있습니다.

이 질문에서 형성된 직각 삼각형의 변은 다음과 같습니다.

• 빗변: 13m
• 더 큰 다리: 7 + x
• 짧은 다리: x

피타고라스 정리의 값을 적용하면 다음과 같습니다.

이제 우리는 x의 값을 찾기 위해 Bhaskara의 공식을 적용합니다.

길이의 척도이므로 양의 값을 사용해야합니다. 따라서이 질문에서 형성된 직각 삼각형의 변은 다음과 같습니다.

• 빗변: 13m
• 더 큰 다리: 7 + 5 = 12m
• 짧은 다리: x = 5m

따라서 Ana는 차고에서 5m, Carlos는 12m 떨어져 있습니다.

질문 2

칼라는 새끼 고양이를 찾을 때 나무 위에서 그를 보았습니다. 그녀는 어머니에게 도움을 요청했고 고양이를 돕기 위해 나무 옆에 사다리를 놓았습니다.

고양이가 땅에서 8 미터 떨어져 있고 사다리의 바닥이 나무에서 6 미터 떨어진 곳에 있다는 것을 알고있을 때 사다리를 사용하여 새끼 고양이를 구하는 데 얼마나 걸렸습니까?

a) 8 미터.
b) 10 미터.
c) 12 미터.
d) 14 미터.

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정답: b) 10 미터.

고양이의 높이와 사다리 바닥이 위치한 거리가 직각, 즉 90도 각도를 형성합니다. 사다리가 직각 반대편에 위치하므로 길이는 직각 삼각형의 빗변에 해당합니다.

피타고라스 정리에 주어진 값을 적용하여 빗변의 가치를 발견합니다.

따라서 사다리의 길이는 10m입니다.

질문 3

아래 대안에 제시된 측정에 따르면 직각 삼각형의 값을 나타내는 것은 무엇입니까?

a) 14cm, 18cm 및 24cm
b) 21cm, 28cm 및 32cm
c) 13cm, 14cm 및 17cm
d) 12cm, 16cm 및 20cm

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정답: d) 12cm, 16cm, 20cm.

제시된 측정 값이 직각 삼각형을 형성하는지 확인하려면 각 대안에 피타고라스 정리를 적용해야합니다.

a) 14cm, 18cm 및 24cm

b) 21cm, 28cm 및 32cm

c) 13cm, 14cm 및 17cm

d) 12cm, 16cm 및 20cm

따라서 가장 긴 변인 빗변의 정사각형이 다리의 정사각형의 합과 같기 때문에 측정 값 12cm, 16cm 및 20cm는 직각 삼각형의 변에 해당합니다.

질문 4

3m, 4m 및 5m 크기의 직각 삼각형 빗변에 한 변이있는 다음 기하학적 그림에 유의하십시오.

정삼각형 BCD의 높이 (h)와 정사각형 BCFG의 대각선 값 (d)을 구합니다.

a) h = 4.33m 및 d = 7.07m
b) h = 4.72m 및 d = 8.20m
c) h = 4.45m 및 d = 7.61m
d) h = 4.99m 및 d = 8.53m

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정답: a) h = 4.33m 및 d = 7.07m.

삼각형이 정 변형이므로 세 변의 치수가 동일 함을 의미합니다. 삼각형의 높이에 해당하는 선을 그려서 두 개의 직각 삼각형으로 나눕니다.

사각형도 마찬가지입니다. 대각선을 그리면 두 개의 직각 삼각형을 볼 수 있습니다.

피타고라스 정리의 진술 데이터를 적용하여 다음과 같은 값을 발견합니다.

1. 삼각형의 높이 계산 (직각 삼각형 다리) :

그런 다음 높이 계산 공식에 도달합니다. 이제 L의 값을 대체하고 계산하십시오.

2. 정사각형의 대각선 계산 (직각 삼각형의 빗변) :

따라서 정삼각형 BCD의 높이는 4.33이고 정사각형 BCFG의 대각선 값은 7.07입니다.

너무보세요: 피타고라스의 정리

해결 된 입학 시험 문제

질문 5

(Cefet / MG-2016) 아래 그림과 같이 ABCD 사변형 형식으로 만들어진 연은 과 . 막대기 연의 막대와 교차 중간 점 E에서 직각을 형성합니다. 이 연의 건설에서 사용되는 것은 각각 25cm와 20cm이며 같음 측정의 .

이러한 조건에서 , cm 단위는 다음과 같습니다.

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

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올바른 대안: c) 55.

질문 그림을 보면 우리가 찾고자하는 DE 세그먼트가 BE 세그먼트를 빼서 BD 세그먼트와 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 세그먼트 BE가 20cm와 같다는 것을 알고 있으므로 세그먼트 BD의 값을 찾아야합니다.

문제는 다음 정보를 제공합니다.

따라서 BD의 척도를 찾으려면 세그먼트 AC의 값을 알아야합니다.

점 E는 세그먼트를 두 개의 동일한 부분 (중간 점)으로 나누기 때문에 . 따라서 첫 번째 단계는 CE 세그먼트 측정 값을 찾는 것입니다.

CE 측정 값을 찾기 위해 아래 이미지와 같이 삼각형 BCE가 직사각형이고 BC가 빗변, BE 및 CE가 다리임을 확인했습니다.

그런 다음 다리의 크기를 찾기 위해 피타고라스의 정리를 적용합니다.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
엑스² = 625 - 400
엑스² = 225
x = √225
x = 15cm

깃을 찾기 위해 삼각형이 피타고라스라는 것을 관찰 할 수있었습니다. 즉, 그 변의 치수가 삼각형 3, 4, 5의 여러 치수입니다.

따라서 4에 5를 곱하면 고리 (20)의 값이되고 5에 5를 곱하면 빗변 (25)이됩니다. 따라서 다른 다리는 15 (5. 3).

이제 EC 값을 찾았으므로 다른 측정 값을 찾을 수 있습니다.

AC = 2. CE ⇒ AC = 2.15 = 30cm

따라서 55cm와 같습니다.

너무보세요: 피타고라스

질문 6

(IFRS-2017) 변이 5√3 ܿ݉ 인 정삼각형을 고려하십시오. 이 삼각형의 높이와 면적은 각각 얼마입니까?

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올바른 대안: e) 7.5cm 및 75√3 / 4cm²

먼저 아래 이미지와 같이 정삼각형을 그리고 높이를 플로팅합니다.

삼각형이 등변이므로 높이가베이스를 동일한 측정 값의 두 세그먼트로 나눕니다. 또한 그림에서 삼각형 ACD는 직각 삼각형입니다.

따라서 높이 측정 값을 찾기 위해 피타고라스 정리를 사용합니다.

높이 측정을 알면 다음 공식을 통해 면적을 찾을 수 있습니다.

질문 7

(IFRS-2016) 아래 그림에서 x와 y의 값은 각각

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올바른 대안: a) 4√2 및 √97.

x의 값을 찾기 위해 변이 4cm 인 직각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용 해 보겠습니다.

엑스² = 4² + 4²
엑스² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2cm

y의 값을 찾기 위해 우리는 피타고라스의 정리를 사용할 것입니다. 이제 한쪽 다리는 4cm이고 다른 쪽 다리는 9cm (4 + 5 = 9)입니다.

와이² = 4² + 9²
와이² = 16 + 81
y = √97cm

따라서 x와 y의 값은 각각 4√2와 √97입니다.

질문 8

(Apprentice Sailor-2017) 아래 그림을보세요.

위의 그림에는 세그먼트 AB가 3cm, 부등변 AD가 10√2cm, 세그먼트 AC와 CD가 수직 인 이등변 삼각형 ACD가 있습니다. 따라서 BD 세그먼트가 다음을 측정한다고 말하는 것이 옳습니다.

a) √53cm
b) √97cm
c) √111cm
d) √149cm
e) √161cm

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올바른 대안: d) √149 cm

문제에 제시된 정보를 고려하여 아래 그림을 작성합니다.

그림에 따르면 x의 값을 찾으려면 a라고 부르는 변의 측정 값을 찾아야합니다.

삼각형 ACD는 직사각형이므로 다리 a의 값을 찾기 위해 피타고라스 정리를 적용합니다.

이제 a의 값을 알았으므로 직각 삼각형 BCD를 고려하여 x의 값을 찾을 수 있습니다.

다리 BC는 다리의 측정 값에서 3cm를 뺀 값, 즉 10-3 = 7cm와 같습니다. 이 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용하면 다음과 같습니다.

따라서 BD 세그먼트가 √149cm라고 말하는 것이 옳습니다.

질문 9

(IFRJ-2013) 연방 연구소의 Arrozal 캠퍼스에있는 스포츠 야드는이 그림에서 ABCD 직사각형으로 표시되는 직사각형, 길이 100m, 너비 50m입니다.

Alberto와 Bruno는 안뜰에서 스포츠를하고있는 두 학생입니다. Alberto는 직사각형의 대각선을 따라 지점 A에서 지점 C까지 걸어 가고 같은 경로를 따라 시작 지점으로 돌아갑니다. 브루노는 B 지점에서 시작하여 마당을 완전히 돌아서 측면 라인을 따라 걷고 시작 지점으로 돌아갑니다. 따라서 √5 = 2.24를 고려하면 Bruno가 Alberto보다 더 많이 걸었다 고합니다.

a) 38m.
b) 64m.
c) 76m.
d) 82m.

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올바른 대안: c) 76m.

직사각형의 대각선은 두 개의 직각 삼각형으로 나눕니다. 빗변은 대각선이고 변은 직사각형의 변과 같습니다.

따라서 대각선 측정 값을 계산하기 위해 피타고라스 정리를 적용 해 보겠습니다.

Alberto가 가서 돌아 왔을 때 그는 224m를 커버했습니다.

Bruno는 직사각형의 둘레와 같은 거리를 커버했습니다.

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300m

따라서 Bruno는 Alberto보다 76m 더 오래 걸었습니다 (300-112 = 76m).

질문 10

(Enem-2017) 어린이 파티 테이블을 장식하기 위해 요리사는 직경 10cm의 구형 멜론을 사용하여 다양한 과자를 꼬치에 지원합니다. 그림과 같이 멜론에서 구형 차바퀴 뚜껑을 제거하고이 지지대의 안정성을 보장하기 위해 멜론이 테이블 위에서 구르기 어렵게하여 원형 절단 부분의 반경 r이 털이 많도록 보스가 절단됩니다. 마이너스 3cm. 반면에 요리사는 과자를 고칠 지역에서 가능한 한 가장 큰 영역을 원할 것입니다.

그의 모든 목표를 달성하기 위해 보스는 멜론 캡을 다음과 같은 높이 (cm)로 잘라야합니다.

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올바른 대안: c) 1

질문에 제시된 그림을 관찰하여, 우리는 구의 반경 측정 값 (R)에서 세그먼트 OA의 측정 값을 줄임으로써 높이 h를 찾을 수 있음을 확인했습니다.

구의 반지름(R)은 지름의 절반과 같으며 이 경우에는 5cm(10:2 = 5)와 같습니다.

따라서 OA 세그먼트의 값을 찾아야합니다. 이를 위해 아래 그림에 표시된 삼각형 OAB를 고려하고 피타고라스 정리를 적용합니다.

5² = 3² + x²
엑스² = 25 - 9
x = √16
x = 4cm

우리는 또한 피타고라스 삼각형 3,4 및 5라는 점에 주목하여 x의 값을 직접 찾을 수 있습니다.

따라서 h의 값은 다음과 같습니다.

h = R-x
h = 5-4
h = 1cm

따라서 요리사는 멜론 캡을 1cm 높이로 잘라야합니다.

질문 11

(Enem-2016-2nd application) Boccia는 평평하고 평평한 지형이며 주변 목재 플랫폼으로 제한되는 코트에서하는 스포츠입니다. 이 스포츠의 목적은 합성 소재로 만들어진 볼인 불을 던지는 것입니다. 더 작은 공, 가급적이면 강철로 만든 볼림에 가능한 한 가깝게 배치하십시오. 출시되었습니다. 그림 1은 코트에서 플레이한 보체볼과 볼림을 보여주고 있다. 플레이어가 그림 2와 같이 반지름 2cm의 볼린에 기대어 있는 반지름 5cm의 공을 던졌다고 가정합니다.

C 지점을 공의 중심으로, O 지점을 공의 중심으로 간주합니다. A와 B는 bocce ball과 bollin이 각각 코트의지면에 닿는 지점이며 A와 B 사이의 거리는 d와 같다고 알려져 있습니다. 이러한 조건에서 d와 볼림 반경의 비율은 얼마입니까?

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올바른 대안: e) √10

점 A와 B 사이의 거리 d 값을 계산하기 위해 아래와 같이 두 구의 중심을 연결하는 그림을 만들어 보겠습니다.

파란색 점선 그림은 공중 그네 모양입니다. 이 공중 그네를 아래와 같이 나눕니다.

공중 그네를 분할하면 직사각형과 직각 삼각형을 얻습니다. 삼각형의 빗변은 보체 볼의 반지름과 볼림의 반지름의 합, 즉 5 + 2 = 7cm와 같습니다.

다리 중 하나의 측정은 d와 같고 다른 다리의 측정은 보체 볼의 반경에서 볼림의 반경을 뺀 세그먼트 CA의 측정과 같습니다(5 - 2 = 3) .

이런 식으로 우리는 피타고라스 정리를이 삼각형에 적용하여 d의 측정 값을 찾을 수 있습니다. 즉,

7² = 3² - 의²
디² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

따라서 거리 d와 볼림 사이의 비율은 다음과 같이 지정됩니다..

질문 12

(Enem-2014) 매일 거주지는 20160Wh를 소비합니다. 이 레지던스에는 100개의 태양 전지가 있습니다. 직사각형 (태양 광을 전기 에너지로 변환 할 수있는 장치) 크기 6cm x 8 센티미터. 이러한 각 세포는 하루 종일 대각선 센티미터 당 24Wh를 생성합니다. 이 집의 주인은 하루에 집에서 소비하는 것과 똑같은 양의 에너지를 생산하기를 원합니다. 이 소유자는 목표를 달성하기 위해 무엇을 해야 합니까?

a) 16 개의 셀을 제거합니다.
b) 40 개의 셀을 제거합니다.
c) 5 개의 셀을 추가합니다.
d) 20개의 셀을 추가합니다.
e) 40 개의 셀을 추가합니다.

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올바른 대안: a) 16 개의 셀을 제거합니다.

먼저, 각 셀의 에너지 출력이 무엇인지 알아 내야합니다. 이를 위해 직사각형의 대각선 길이를 찾아야합니다.

대각선은 다리가 8cm와 6cm 인 삼각형의 빗변과 같습니다. 그런 다음 피타고라스 정리를 적용하여 대각선을 계산합니다.

그러나 문제의 삼각형은 삼각형 3,4 및 5의 배수 인 피타고라스 인 것을 관찰합니다.

이런 식으로 피타고라스 삼각형 3,4 및 5의 변에 2를 곱하기 때문에 빗변의 측정은 10cm와 같습니다.

이제 대각선 측정 값을 알았으므로 100 개의 셀에서 생성 된 에너지를 계산할 수 있습니다.

전자 = 24. 10. 100 = 24,000Wh

소비되는 에너지가 20160Wh이므로 셀 수를 줄여야합니다. 이 번호를 찾기 위해 다음을 수행합니다.

24 000 - 20 160 = 3 840Wh

이 값을 세포에서 생성 된 에너지로 나누면 감소되어야하는 숫자, 즉 다음을 찾습니다.

3840: 240 = 16 셀

따라서 자신의 목표를 달성하기위한 소유자의 행동은 16 개의 세포를 제거하는 것입니다.

자세한 내용은 다음을 참조하십시오. 삼각법 연습