ირაციონალური რიცხვები: რა არის ისინი, ოპერაციები, მაგალითები

შენ ირაციონალური რიცხვები დიდი ხნის განმავლობაში დიდ დისკომფორტს იწვევდა მათემატიკოსებში. დღეს უკვე კარგად განსაზღვრულმა, ჩვენ ვიცით, როგორც ირაციონალური რიცხვი ის, ვისი ათობითი წარმოდგენა ყოველთვის არის არა პერიოდული ათობითი. ირაციონალების მთავარი მახასიათებელი და რითაც ისინი განსხვავდება რაციონალური რიცხვებისგან, არის ის არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ა წილადი.

ირაციონალური რიცხვების შესწავლა კიდევ უფრო გაღრმავდა, როდესაც პითაგორას თეორემასთან დაკავშირებული პრობლემების გაანგარიშებისას აღმოაჩინეს არაზუსტი ფესვები. ამ არაზუსტი ფესვების გადაწყვეტის ძიების აქტმა საოცარი გახადა არაზუსტი მეათეების არსებობა პერიოდული, ანუ იმ რიცხვებისა, რომელთა ათობითი ნაწილი უსასრულოა და არ აქვს კარგი თანმიმდევრობა. განსაზღვრული. ძირითადი ირაციონალური რიცხვებია არა პერიოდული ათწილადი, არაზუსტი ფესვები და π.

წაიკითხეთ ასევე: კვადრატული ფესვი - დაფესვიანების შემთხვევა, როდესაც რადიკალების ინდექსია 2

ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე

არაზუსტი ფესვები არის ირაციონალური რიცხვები.

ირაციონალური რიცხვების შესწავლამდე შეისწავლეს რიცხვების სიმრავლეები

ბუნებრივი, მთელი რიცხვები და რაციონალები. როდესაც უფრო ღრმად ჩავუღრმავდით მართკუთხედის სამკუთხედს, ცხადი გახდა, რომ არსებობს ფესვები, რომლებსაც ზუსტი გადაწყვეტა არ აქვთკერძოდ, შესაძლებელი იყო იმის დანახვა, რომ ძირეული ამოხსნები არ არის ზუსტი ცნობილია როგორც არა პერიოდული მეათე.

ამ არეულობის ფონზე, მრავალი მათემატიკოსი ცდილობდა წარუმატებლად აჩვენოს, რომ არაზუსტი ფესვები რაციონალური რიცხვებია და რომელიც შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც წილადი, მაგრამ ის, რაც გააცნობიერა, ის იყო, რომ ამ რიცხვების გამოსახვა შეუძლებელია ფორმა ვინაიდან აქამდე რაციონალური რიცხვების სიმრავლე არ მოიცავდა ამ რიცხვებს, გაჩნდა საჭიროება ახალი სიმრავლის შექმნისა, რომელიც ცნობილია როგორც ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე.

რიცხვი ირაციონალურია, როდესაც მისი ათობითი წარმომადგენლობა არის არა პერიოდული ათობითი.

რა არის ირაციონალური რიცხვები?

ირაციონალური რიცხვი რომ იყოს, ის უნდა აკმაყოფილებდეს განსაზღვრებას, ანუ მისი ათობითი წარმომადგენლობა არის არა პერიოდული ათობითი. არა პერიოდული ათწილადების მთავარი მახასიათებელია ის, რომ მათი გამოსახვა არ შეიძლება წილადის საშუალებით, რაც აჩვენებს, რომ ირაციონალური რიცხვები საპირისპიროა რაციონალური რიცხვებისა.

ამ მახასიათებლის მთავარი ნომრებია ფესვები არ არის ზუსტი.

მაგალითები:

ა) 2

ბ) √5

გ) √7

დ) √13 

არასწორი ძირეული ამონახსნების ძიებისას, ანუ ამ ციფრების ათობითი გამოსახულების შესრულებისას, ყოველთვის ჩვენ ვიპოვით არა პერიოდულ ათობითი, რომელიც ამ რიცხვებს აქცევს სიმრავლის ელემენტებს არაგონივრული.

არაზუსტი ფესვების გარდა, თვითონ არის არა პერიოდული ათწილადიც, მაგალითად, თუ არაზუსტ ფესვებს გამოვთვლით, არა პერიოდული ათწილადი ვიპოვით.

√2 = 1,41421356...

√5= 2,23606797...

ირაციონალური რიცხვები ჩვეულებრივ წარმოდგენილია ბერძნული ასოებით, რადგან მისი ყველა ათობითი ადგილის დაწერა შეუძლებელია.

პირველი არის π (წაიკითხეთ: პი), მოცემულია წრეების ფართობისა და პერიმეტრის გაანგარიშებაში. აქვს მნიშვნელობა ტოლი 3,1415926535…

Π- ს გარდა, კიდევ ერთი ძალიან გავრცელებული რიცხვია ϕ (წაიკითხეთ: fi). ის გვხვდება პრობლემებში პროპორცია ოქროსფერი მას აქვს 1.618033 ტოლი მნიშვნელობა ...

იხილეთ აგრეთვე: რა არის მარტივი რიცხვები?

რაციონალური და ირაციონალური რიცხვი

რიცხვითი სიმრავლეების ანალიზისას, მნიშვნელოვანია განასხვავონ რაციონალური რიცხვები და ირაციონალური რიცხვები. ამ ორი სიმრავლის კავშირი ქმნის მათემატიკაში ერთ – ერთ ყველაზე შესწავლილ სიმრავლეს, რეალების ერთობლიობას, ანუ რეალური რიცხვები ეს არის რიცხვების შეერთება, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადებად (რაციონალური) რიცხვებთან, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადებად (ირაციონალური).

ნაკრებში რაციონალური რიცხვი, აქ არის მთელი რიცხვები, ბუნებრივი, ზუსტი ათწილადები და პერიოდული ათწილადები.

რაციონალური რიცხვების მაგალითები:

-60 მთელი რიცხვი

2.5 → ზუსტი ათობითი

5.1111111… → პერიოდული ათობითი

ირაციონალური რიცხვები არის არა პერიოდული ათწილადი, ამიტომ არ არსებობს რიცხვი, რომელიც რაციონალური და ამავე დროს ირაციონალური იყოს.

ირაციონალური რიცხვების მაგალითი:

1,123149… → არა პერიოდული მეათედი

2.769235… → არა პერიოდული მეათედი

ოპერაციები ირაციონალური რიცხვებით

• შეკრება და გამოკლება

დამატება და გამოკლება ორი ირაციონალური რიცხვის ჩვეულებრივ უბრალოდ წარმოდგენილია, თუ არ გამოიყენება ამ რიცხვების ათობითი მიახლოება, მაგალითად:

ა) √6 + √5

ბ) √6 - 5

გ) 1.414213… + 3.1415926535

რადიკალების გამო მნიშვნელობებს ვერ დავამატებთ ან გამოვაკლებთ, ამიტომ ოპერაცია მითითებული დავტოვეთ.

ათობითი გამოსახულებებში ასევე შეუძლებელია ზუსტი ჯამის შესრულება, ასე რომ ორი ირაციონალური რიცხვის დასამატებლად საჭიროა რაციონალური მიახლოება., და ეს წარმოდგენა აირჩევა ამ მონაცემების სიზუსტის შესაბამისად. რაც უფრო მეტ ათობითი ადგილს მივიჩნევთ, მით უფრო მიუახლოვდება ზუსტი ჯამი.

დაკვირვება:ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე არ არის დახურული შეკრების ან გამოკლებისთვის, ეს ნიშნავს, რომ ორი ირაციონალური რიცხვის ჯამმა შეიძლება გამოიწვიოს რიცხვი, რომელიც არ არის რაციონალური. მაგალითად, თუ გამოვთვლით ირაციონალური რიცხვის სხვაობას მისი საპირისპიროთი, ჩვენ უნდა:

ა) √2 - √2 = 0

ბ) π + (-π) = 0

ჩვენ ვიცით, რომ 0 არ არის ირაციონალური რიცხვი.

• გამრავლება და გაყოფა

გამრავლება და დაყოფა ირაციონალური რიცხვების შეიძლება გაკეთდეს, თუ წარმომადგენლობა არის a გამოსხივებაამასთან, გარდა ამისა, ათობითი გამოსახულებაში, ანუ ორი ათწილადის გამრავლება ან გაყოფა, საჭიროა ამ რიცხვის რაციონალური მიახლოება.

ა) √7 · √5 = √35

ბ) √32: 2 = √16 = 4

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ მაგალითად b, 4 არის რაციონალური რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ორი ირაციონალური რიცხვის გამრავლება და გაყოფა არ არის დახურული, ანუ მათ შეიძლება ჰქონდეთ რაციონალური შედეგი.

ამოხსნილი სავარჯიშოები

Კითხვა 1 - გადახედეთ შემდეგ ნომრებს:

I) 3.1415926535

II) 4,1234510.

III) 2π

IV) 1.123123123 ...

V) 36

VI) 12

ეს არის ირაციონალური ციფრები:

ა) მხოლოდ მე, IV და V

ბ) მხოლოდ II, III და VI

გ) მხოლოდ II, IV და VI

დ) მხოლოდ I, II, III და VI

ე) მხოლოდ III, IV, V და VI

რეზოლუცია

ალტერნატივა B

მე → რიცხვი არის ზუსტი ათობითი, რაციონალური.

II → რიცხვი არის არა პერიოდული, ირაციონალური ათობითი.

III → π არარაციონალურია და მისი ორმაგი, ანუ 2π, ასევე ირაციონალურია.

IV → რიცხვი არის პერიოდული, რაციონალური ათობითი.

V → ზუსტი, რაციონალური ფესვი.

VI → ფუძე არ არის ზუსტი, არაგონივრული.

კითხვა 2 - გთხოვთ, განიხილოთ შემდეგი განცხადებები:

I - რეალური რიცხვების სიმრავლე არის რაციონალური და ირაციონალური კავშირი;

II - ორი ირაციონალური რიცხვის ჯამი შეიძლება იყოს რაციონალური რიცხვი;

III - მეათე არის ირაციონალური რიცხვები.

განცხადებების ანალიზი, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

ა) მხოლოდ I განცხადებაა მართალი.

ბ) მხოლოდ II განცხადებაა მართალი.

გ) მხოლოდ III დებულებაა მართალი.

დ) მხოლოდ I და II დებულებებია მართალი.

ე) ყველა განცხადება მართალია.

რეზოლუცია

ალტერნატივა დ

მე → მართალია, რადგან რეალური რიცხვების სიმრავლის განმარტება არის კავშირი რაციონალურსა და ირაციონალურს შორის.

II → მართალია, როდესაც მის საპირისპირო რიცხვს დავუმატებთ, შედეგად გვექნება რიცხვი 0, რაც რაციონალურია.

III → ყალბი, არა პერიოდული მეათედი არარაციონალურია.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm