განტოლება: რა არის ეს, ძირითადი ცნებები, ტიპები, მაგალითები

ერთი განტოლება არის მათემატიკური წინადადება, რომელსაც აქვს თანასწორობა და მინიმუმ ერთი უცნობი, ანუ როდესაც ჩვენ გვაქვს a ალგებრული გამოხატვა და თანასწორობა. განტოლებების შესწავლა მოითხოვს წინასწარ ცოდნას, მაგალითად, შესწავლას რიცხვითი გამონათქვამები. განტოლების მიზანია იპოვნე უცნობი მნიშვნელობა რაც თანასწორობას იდენტობად აქცევს, ეს არის ნამდვილი თანასწორობა.

წაიკითხეთ ასევე:ოპერაციები ფრაქციებით - როგორ გამოვთვალოთ?

განტოლების შესწავლის ძირითადი ცნებები

განტოლება არის მათემატიკური წინადადება, რომელსაც აქვს a უცნობი, ყოველ შემთხვევაში, და ა თანასწორობა, და ჩვენ შეგვიძლია შევაფასოთ იგი მისი უცნობი რაოდენობით. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

ა) 5 ტ - 9 = 16

განტოლებას აქვს უცნობი, რომელიც ასოთია წარმოდგენილი ტ.

ბ) 5x + 6y = 1

განტოლებას აქვს ორი უცნობი, წარმოდგენილია ასოებით x და y

გ) ტ⁴ - 8z = x

განტოლებას აქვს სამი უცნობი, წარმოდგენილია ასოებით კარგი,ზ და x.

რაც არ უნდა იყოს განტოლება, უნდა გავითვალისწინოთ თქვენი სამყაროს ნაკრები,შედგება ყველა შესაძლო მნიშვნელობისგან, რომელიც შეგვიძლია მივაკუთვნოთ უცნობს, ეს ნაკრები წარმოდგენილია ასოთი უ.

• მაგალითი 1

განვიხილოთ განტოლება x + 1 = 0 და მისი შესაძლო ამოხსნა x = –1. ახლა გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების სამყაროს სიმრავლე არის ბუნებრივი.

გაითვალისწინეთ, რომ სავარაუდო ამოხსნა არ მიეკუთვნება სამყაროს სიმრავლეს, რადგან მისი ელემენტებია ყველა შესაძლო მნიშვნელობა, რომელთა მიღება შეუძლია უცნობს, ამიტომ x = –1 არ არის განტოლების ამოხსნა.

რა თქმა უნდა, რაც უფრო მეტია უცნობი რაოდენობა, მით უფრო რთულია თქვენი ამოხსნის დადგენა. გამოსავალი ან წყარო განტოლება არის ყველა მნიშვნელობის ერთობლიობა, რომლებიც უცნობს მიენიჭება, თანასწორობა ჭეშმარიტია.

• მაგალითი 2

განვიხილოთ განტოლება უცნობი 5x - 9 = 16, შეამოწმეთ x = 5 არის განტოლების ამოხსნა ან ფუძე.

ასე რომ შესაძლებელია ამის თქმა x = 5 განტოლების ამოხსნაა, ჩვენ ეს მნიშვნელობა უნდა ჩავანაცვლოთ გამოხატვაში, თუ ნამდვილ თანასწორობას ვიპოვით, რიცხვი იქნება გამოსაცდელი ამოხსნა.

5x – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

გაითვალისწინეთ, რომ ნაპოვნი თანასწორობა მართალია, ამიტომ ჩვენ გვაქვს იდენტურობა და ნომერი 5 არის გამოსავალი. ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ხსნარის კომპლექტი მოცემულია შემდეგით:

S = {5}

• მაგალითი 3

განვიხილოთ განტოლება t² = 4 და შეამოწმეთ არის t = 2 ან t = –2 განტოლების ამოხსნა.

ანალოგურად, t მნიშვნელობას უნდა ჩავანაცვლოთ განტოლება, ამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ ორი მნიშვნელობა გვაქვს უცნობისთვის და ამიტომ გადამოწმება უნდა შევასრულოთ ორ ეტაპად.

Ნაბიჯი 1 - t = 2-ისთვის

ტ²= 4

2² = 4

4 = 4

ნაბიჯი 2 - t = –2

ტ² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

იხილეთ t = 2 და t = - 2 ჩვენ ვიპოვით იდენტურობას, ამიტომ ეს ორი მნიშვნელობა განტოლების ამოხსნებია. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამოსავალი არის:

S = {2, –2}

განტოლების ტიპები

ასევე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ განტოლება, თუ რა პოზიციას იკავებენ უცნობები. იხილეთ ძირითადი ტიპები:

• მრავალწევრის განტოლებები

საათზე მრავალწევრის განტოლებები ახასიათებს მრავალპროფილიანი ნულის ტოლი. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

) 6ტ³+ 5ტ²–5t = 0

Რიცხვები6, 5 და –5 განტოლების კოეფიციენტებია.

ბ) 9x – 9= 0

Რიცხვები 9 და – 9 განტოლების კოეფიციენტებია.

გ) y²– y – 1 = 0

Რიცხვები 1, – 1 და – 1 განტოლების კოეფიციენტებია.

• განტოლების გრადუსი

მრავალწევრის განტოლებები შეიძლება კლასიფიცირდეს მათი ხარისხის მიხედვით. Ისევე როგორც მრავალხმიანები, მრავალწევრის განტოლების ხარისხი მოცემულია უმაღლესი სიმძლავრე, რომელსაც აქვს ნულოვანი კოეფიციენტი.

A, b და c წინა მაგალითების მიხედვით, განტოლებების გრადუსებია:

ა) 6ტ³ + 5 ტ² –5t = 0 → მრავალწევრის განტოლება მესამე ხარისხის

ბ) 9x - 9 = 0 → მრავალწევრის განტოლება პირველი ხარისხი

ჩ) y² - y - 1 = 0 → მრავალწევრის განტოლება უმაღლესი სკოლა

წაიკითხე შენც: კვადრატული განტოლებაu: როგორ გამოვთვალოთ, ტიპები, მაგალითები

• რაციონალური განტოლებები

რაციონალური განტოლებები ხასიათდება მათი არსებობით უცნობი მნიშვნელობებში a წილადი. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

წაიკითხე შენც: რა არის რაციონალური რიცხვები?

• ირაციონალური განტოლებები

საათზე ირაციონალური განტოლებები ხასიათდება მათი მე -9 ფესვის შიგნით უცნობია, ანუ რადიკალში, რომელსაც აქვს ინდექსი n. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

• ექსპონენციალური განტოლებები

საათზე ექსპონენციალური განტოლებები აქვს ექსპონენტში განთავსებული უცნობები ა პოტენცია. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

• ლოგარითმული განტოლება

საათზე ლოგარითმული განტოლებები ახასიათებს ქონა ერთი ან მეტი უცნობი ზოგიერთ ნაწილში ლოგარითმი. ჩვენ ვნახავთ, რომ ლოგარითმის განსაზღვრის გამოყენებისას, განტოლება მოდის ზოგიერთ წინა შემთხვევაში. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

იხილეთ აგრეთვე: პირველი ხარისხის განტოლება უცნობთან

როგორ ამოვხსნათ განტოლება?

განტოლების ამოსახსნელად უნდა შევისწავლოთ მეთოდები, რომლებიც გამოიყენება თითოეულ ტიპში, ანუ თითოეული ტიპის განტოლებისთვის არსებობს განსხვავებული მეთოდი შესაძლო ფესვების დასადგენად. თუმცა ყველა ეს მეთოდი არის ექვივალენტურობის პრინციპიდან გამომდინარე, მასთან ერთად შესაძლებელია განტოლებების ძირითადი ტიპების ამოხსნა.

• ეკვივალენტობის პრინციპი

ექვივალენტურობის მეორე პრინციპი, ჩვენ თავისუფლად შეგვიძლია ვიმოქმედოთ თანასწორობის ერთ მხარეზე, სანამ იგივე გავაკეთებთ თანასწორობის მეორე მხარეს. გაგების გასაუმჯობესებლად, ამ მხარეებს დავასახელებთ.

ამიტომ ეკვივალენტურობის პრინციპი აცხადებს, რომ ეს შესაძლებელია ოპერაცია პირველ კიდურზე თავისუფლად, სანამ იგივე ოპერაცია კეთდება მეორე წევრზე.

ეკვივალენტურობის პრინციპის შემოწმების მიზნით, გაითვალისწინეთ შემდეგი თანასწორობა:

5 = 5

ახლავე წავიდეთ დამატება ორივე მხრიდან ნომერი 7 და გაითვალისწინეთ, რომ თანასწორობა მაინც მართალი იქნება:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

ახლავე წავიდეთ გამოკლება თანასწორობის ორივე მხარეს, კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ, რომ თანასწორობა კვლავ ჭეშმარიტი იქნება:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

ვხედავთ, რომ შეგვიძლია გამრავლება ან წილი და ამაღლება ა პოტენცია ან თუნდაც ამონაწერი ა წყარო, სანამ ეს გაკეთდება პირველ და მეორე წევრზე, თანასწორობა ყოველთვის შენარჩუნდება.

განტოლების ამოსახსნელად ეს პრინციპი უნდა გამოვიყენოთ ხსენებული მოქმედებების ცოდნასთან ერთად. განტოლებების განვითარების ხელშესაწყობად, გამოტოვოთ პირველი წევრის შესრულებული ოპერაცია, ეს ტოლფასია იმის თქმისა, რომ ჩვენ ნომერს ვაგზავნით სხვა წევრზე და ნიშნის საპირისპიროდ ვცვლით.

განტოლების ამოხსნის დადგენის იდეა ყოველთვის არის გამოტოვეთ უცნობი ეკვივალენტურობის პრინციპის გამოყენებით, შეხედე:

• მაგალითი 4

ეკვივალენტურობის პრინციპის გამოყენებით, განსაზღვრეთ განტოლების ამოხსნის ნაკრები 2x - 4 = 8 იმის ცოდნით, რომ სამყაროს სიმრავლე მოცემულია: U =.

2x - 4 = 8

პირველი ხარისხის პოლინომური განტოლების გადასაჭრელად, პირველ წევრში უცნობი უნდა დავტოვოთ იზოლირებულად. ამისათვის პირველი წევრისგან ავიღებთ რიცხვს –4 და ორივე მხარეს დაუმატებთ 4 – ს, რადგან –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

გაითვალისწინეთ, რომ ამ პროცესის შესრულება უდრის უბრალოდ 4 რიცხვის საპირისპირო ნიშნის გადაცემას. მაშასადამე, უცნობი x -ის გამოსაყოფად, მოდით, მეორე წევრს გადავაბაროთ რიცხვი 2, რადგან ის x მრავლდება. (დაიმახსოვრე: გამრავლების შებრუნებული მოქმედება არის გაყოფა). ეს იგივე იქნება, რაც ორივე მხარე გაიყოს 2-ზე.

ამიტომ, ხსნარის კომპლექტი მოცემულია შემდეგით:

S = {6}

• მაგალითი 5

ამოხსენით განტოლება 2^{x + 5} = 128 იცის რომ სამყაროს სიმრავლე მოცემულია U = by -ით.

ექსპონენციალური განტოლების ამოსახსნელად, ჯერ გამოვიყენოთ შემდეგი პოტენციური ქონების:

^{მ + ნ} =^მ · ა^არა

ასევე გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ 2² = 4 და 2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^x · 2⁵ = 128

2^x · 32 = 128

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელია ორივე მხარის დაყოფა 32-ზე, ანუ 32-ე რიცხვი მეორე წევრზე გადანაწილებით.

ასე რომ, ჩვენ უნდა:

2^x = 4

2^x = 2²

X– ის ერთადერთი მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს თანასწორობას არის ნომერი 2, ამიტომ x = 2 და ამონახსნის სიმრავლე მოცემულია შემდეგით:

S = {2}

განტოლებები მეცნიერების რამდენიმე დარგშია.

ამოხსნილი სავარჯიშოები

კითხვა 1 - განვიხილოთ სიმრავლეთა სამყარო U = ℕ და განსაზღვროთ შემდეგი ირაციონალური განტოლების ამოხსნა:

რეზოლუცია

ამ განტოლების გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა ვიზრუნოთ პირველი წევრის ფესვის აღმოფხვრაზე. გაითვალისწინეთ, რომ ამისათვის აუცილებელია პირველი წევრის აწევა იმავე ინდექსთან, როგორც ფესვი, ანუ კუბი. ექვივალენტურობის პრინციპით, ჩვენ ასევე უნდა გავზარდოთ თანასწორობის მეორე წევრი.

გაითვალისწინეთ, რომ ახლა უნდა გადავჭრათ მეორე ხარისხის პოლინომური განტოლება. მოდით, მეორე წევრს მივცეთ 11 რიცხვი (თანასწორობის ორივე მხარეს 11 გამოვაკლოთ), უცნობი x -ის გამოყოფის მიზნით.

x² = 27 – 11

x² = 16

X– ის მნიშვნელობის დასადგენად, ნახეთ, რომ არსებობს ორი მნიშვნელობა, რომლებიც აკმაყოფილებს თანასწორობას, x '= 4 ან x' '= –4, ერთხელ:

4² = 16

და

(–4)² = 16

ამასთან, კითხვის განაცხადში გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული სამყაროს სიმრავლე არის ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე და რიცხვი –4 მას არ ეკუთვნის, ამრიგად, ამოხსნის სიმრავლე მოცემულია შემდეგით:

S = {4}

კითხვა 2 - განვიხილოთ მრავალწევრის განტოლება x² + 1 = 0 იცის რომ სამყაროს სიმრავლე მოცემულია U = by -ით.

რეზოლუცია

ეკვივალენტურობის პრინციპისთვის, ორივე წევრს გამოაკელით 1.

x² + 1 – 1= 0 – 1

x² = – 1

გაითვალისწინეთ, რომ თანასწორობას გამოსავალი არ აქვს, რადგან სამყაროს სიმრავლე არის ნამდვილი რიცხვები, ანუ ყველა მნიშვნელობები, რომელთა უცნობმა შეიძლება ვივარაუდოთ, რეალურია და არ არსებობს რეალური რიცხვი, რომელიც კვადრატში უნდა იყოს უარყოფითი

1² = 1

და

(–1)² = 1

ამიტომ, განტოლებას არ აქვს ამოხსნა რეალთა სიმრავლეში და ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამოხსნების სიმრავლე ცარიელია.

S = {}

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი