სიმრავლეები: აღნიშვნა, გამოსახვის ხერხები, ოპერაციები

გაგება ადგენს არის კვლევის ძირითადი საფუძველი ალგებრა და მათემატიკაში დიდი მნიშვნელობის კონცეფციები, როგორიცაა ფუნქციები და უთანასწორობა. აღნიშვნა, რომელსაც სიმბოლოებისთვის ვიყენებთ, ყოველთვის არის ჩვენი ანბანის დიდი ასო (მაგ., A ან B მითითებული).

Თვალსაზრისით ნაკრების წარმოდგენა, ეს შეიძლება გაკეთდეს მიერ ვენის დიაგრამა, უბრალოდ, მისი ელემენტების მახასიათებლების აღწერით, ელემენტების ჩამოთვლით ან მათი თვისებების აღწერით. პრობლემებთან მუშაობისას, რომლებიც მოიცავს კომპლექტებს, არის სიტუაციები, რომლებიც მოითხოვს შესრულებას ოპერაციები სიმრავლეთა შორის, როგორც კავშირი, კვეთა და განსხვავება. ვაპირებთ ამ ყველაფრის დეტალურ შესწავლას?

აგრეთვე: რიცხვითი გამონათქვამები - ისწავლეთ მათი ამოხსნა!

სიმრავლეების აღნიშვნა და წარმოდგენა

ნაკრების წარმოსადგენად, ჩვენ ყოველთვის ვიყენებთ a ანბანის დიდი ასო, და ელემენტები ყოველთვის შორის გასაღებები და გამოყოფილია მძიმით. 1-ზე მეტი და 20-ზე ნაკლები ლუწი რიცხვების სიმრავლის წარმოსადგენად, ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ნოტაციას: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.

• სიმრავლეთა წარმოდგენის ფორმები

1. წარმოდგენა ჩამოთვლით: შეგვიძლია ჩამოვთვალოთ მისი ელემენტები, ანუ შევადგინოთ სია, ყოველთვის ბრეკეტებს შორის. იხილეთ მაგალითი:

A = {1,5,9,12,14,20}

1. მახასიათებლების აღწერას: შეგვიძლია უბრალოდ აღვწეროთ სიმრავლის მახასიათებელი. მაგალითად, მოდით, X იყოს სიმრავლე, გვაქვს რომ X = {x არის დადებითი რიცხვი 5 – ის; Y: არის წლის თვეების ნაკრები.

2. Ვენის დიაგრამა: კომპლექტი ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სქემის სახით, ცნობილი როგორც a ვენის დიაგრამა, რაც უფრო ეფექტური წარმომადგენლობაა ოპერაციების შესასრულებლად.

მაგალითი:

A = {1,2,3,4,5} სიმრავლის გათვალისწინებით, მისი წარმოდგენა შეგვიძლია შემდეგ ვენის დიაგრამაზე:

A კომპლექტის დიაგრამა

კომპლექტი და წევრობის ურთიერთობის ელემენტები

ნებისმიერი ელემენტის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ელემენტი ეკუთვნის კომპლექტს ან არ ეკუთვნის რომ კომპლექტი. ამ წევრობის ურთიერთობის უფრო სწრაფად წარმოსადგენად, ჩვენ ვიყენებთ სიმბოლოებს(წაიკითხეთ როგორც კუთვნილება) და ∉ (წაიკითხეთ როგორც არ მიეკუთვნება). მაგალითად, მოდით P იყოს სიმრავლე წყვილის რიცხვები, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ 7 ∉ P და ეს 12  პ.

სიმრავლეთა თანასწორობა

სიმრავლეთა შედარება გარდაუვალია, ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ორი სიმრავლე ტოლია ან არა, მისი თითოეული ელემენტის შემოწმება. მოდით, A = {0,1,3,4,8} და B = {8,4,3,1,0}, მაშინაც კი, თუ ელემენტები სხვადასხვა წესრიგშია, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ A და B სიმრავლეები ტოლია: A = B.

ინკლუზიური ურთიერთობა

ორი ნაკრების შედარებისას შეიძლება შეგვხვდეს რამდენიმე ურთიერთობა და ერთ-ერთი მათგანი არის ინკლუზიური ურთიერთობა. ამ ურთიერთობისთვის ჩვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე სიმბოლო:

⊃ → შეიცავს→ შეიცავს

⊅ → არ შეიცავს→არ შეიცავს

რჩევა: სიმბოლოს გახსნის მხარე ყოველთვის უფრო დიდი ნაკრებისკენ იქნება მიმართული.

როდესაც A სიმრავლის ყველა ელემენტიც B სიმრავლეს ეკუთვნის, ვამბობთ, რომ A ⊂ B ან რომ A შეიცავს B- ს. მაგალითად, A = {1,2,3} და B = {1,2,3,4,5,6}. ასევე შესაძლებელია წარმოდგენის შესრულება: ვენის დიაგრამა, ასე გამოიყურება:

• A შეიცავს B- ს:

ა ⊂ ბ

ქვეჯგუფები

Როდესაც ჩართვის ურთიერთობა, ანუ, A სიმრავლე შეიცავს B სიმრავლეს, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ A არის B ქვეჯგუფი. ქვესიმრავლე სიმრავლედ რჩება და ა კომპლექტს შეიძლება ჰქონდეს მრავალი ქვეჯგუფი, აგებულია მასში შემავალი ელემენტებისგან.

მაგალითად: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} ქვეჯგუფებად აქვს B სიმრავლეებს: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} და კიდევ სიმრავლე A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ანუ A არის თავისთავად ქვეჯგუფი.

უნიტარული ნაკრები

როგორც სახელი უკვე გვხვდება, სწორედ ეს არის ის, რაც მითითებულია მხოლოდ ერთი ელემენტი აქვს, ისევე როგორც ნაკრები D: {1} ნაჩვენებია ადრე. B სიმრავლის გათვალისწინებით: {1,2,3}, ჩვენ გვაქვს ქვეჯგუფები {1}, {2} და {3}, რომლებიც ყველა ერთეულის სიმრავლეა.

ყურადღება: სიმრავლე E: {0} ასევე არის ერთეული, რადგან მას აქვს ერთი ელემენტი, "0" და ის არ არის ცარიელი სიმრავლე.

წაიკითხეთ ასევე: მთელი რიცხვების კომპლექტი - ელემენტები და მახასიათებლები

ცარიელი ნაკრები

კიდევ უფრო დამაფიქრებელი სახელით, ცარიელ სიმრავლეს ელემენტები არ აქვს და ნებისმიერი სიმრავლის ქვესიმრავლეა. ცარიელი ნაკრების წარმოსადგენად, შესაძლებელია ორი გამოსახვა, ეს არის V: {} ან სიმბოლო Ø.

ნაწილების ნაკრებები

ნაწილების ნაკრებების სახით ჩვენ ვიცით მოცემული სიმრავლის ყველა შესაძლო ქვეჯგუფი. მოდით, A: {1,2,3,4}, შეგვიძლია ჩამოვთვალოთ A ამ სიმრავლის ყველა ქვეჯგუფი, დაწყებული სიმრავლებით არ აქვთ ელემენტები (ცარიელი) და შემდეგ ის, ვისაც აქვს ერთი, ორი, სამი და ოთხი ელემენტი, შესაბამისად.

• ცარიელი ნაკრები: { };

• ერთეულის ნაკრები: {1}; {2};{3}; {4}.

• კომპლექტი ორი ელემენტით: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.

• კომპლექტი სამი ელემენტით: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.

• მითითებულია ოთხი ელემენტით: {1,2,3,4}.

ამიტომ, A– ს ნაწილების კომპლექტი შეგვიძლია ასე აღწეროთ:

P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}

იმის გასარკვევად, თუ რამდენი ნაწილის დაყოფაა შესაძლებელი, გამოვიყენებთ ფორმულას:

n [P (A)] = 2^არა

A– ს ნაწილების რაოდენობა გამოითვლება a– ით პოტენცია ბაზა 2 ამაღლებული არარაზე არა არის სიმრავლის ელემენტების რაოდენობა.

განვიხილოთ A სიმრავლე: {1,2,3,4}, რომელსაც ოთხი ელემენტი აქვს. ამ ნაკრების შესაძლო ქვეჯგუფების ჯამია 2⁴ =16.

წაიკითხეთ ასევე: რა არის ირაციონალური რიცხვების სიმრავლე?

სასრული და უსასრულო ნაკრები

სიმრავლეებთან მუშაობისას ვხვდებით, რომ არის სიმრავლეები შეზღუდული (სასრული) და ვინც არიან შეუზღუდავი (უსასრულო). ნაკრები ლუწი ან კენტი რიცხვებიმაგალითად, უსასრულოა და, მისი წარმოსადგენად, ჩვენ თანმიმდევრობით აღწერს მის ზოგიერთ ელემენტს, ისე რომ შესაძლებელი იყოს პროგნოზირება რა იქნება შემდეგი ელემენტები და ჩვენ ელიფსებს ვდებთ ფინალი

I: {1,3,5,7,9,11 ...}

P: {2,4,6,8,10, ...}

სასრულ სიმრავლეში, ჩვენ ბოლომდე არ ვდებთ ელიფსებს, რადგან მას აქვს განსაზღვრული დასაწყისი და დასასრული.

ა: {1,2,3,4}.

სამყაროს ნაკრები

ო სამყაროს ნაკრები, აღინიშნა უ, განისაზღვრება, როგორც სიმრავლე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ყველა იმ ელემენტის მიერ, რომლებიც გასათვალისწინებელია პრობლემის ფარგლებში. ყველა ელემენტი ეკუთვნის სამყაროს სიმრავლეს და ყველა სიმრავლე შეიცავს სამყაროს სიმრავლეს.

ოპერაციები კომპლექტებით

სიმრავლეთა ოპერაციებია: კავშირი, კვეთა და სხვაობა.

• ნაკრებების გადაკვეთა

კვეთა ერთ – ერთი ოპერაციაა სიმრავლეებს შორის.

კვეთა ხდება მაშინ, როდესაც ელემენტები ერთდროულად ეკუთვნის ერთ ან მეტ სიმრავლეს. A∩B- ს წერისას, ჩვენ ვეძებთ ელემენტებს, რომლებიც ეკუთვნის როგორც A სიმრავლეს, ასევე B სიმრავლეს.

მაგალითი:

განვიხილოთ A = {1,2,3,4,5,6} და B = {2,4,6,7,8}, ელემენტები, რომლებიც მიეკუთვნება როგორც A სიმკვრივეს, ასევე B სიმრავლეს არის:, 4,6}. ამ ოპერაციის წარმოდგენა ხდება შემდეგნაირად:

­­ A∩B

როდესაც კომპლექტებს არ აქვთ რაიმე საერთო ელემენტი, ისინი ცნობილია როგორც დაშლილი ნაკრებები.

ცალკეული ნაკრებების წარმოდგენა

A∩B =

• სხვაობა ნაკრებებს შორის

სხვაობა სიმრავლეთა შორის (A - B)

გამოთვალეთ განსხვავება ორ კომპლექტს შორის არის ელემენტების ძებნა, რომლებიც ორი კომპლექტიდან მხოლოდ ერთს ეკუთვნის. მაგალითად, A - B– ს პასუხად აქვს ელემენტებისგან შემდგარი სიმრავლე, რომლებიც მიეკუთვნება A სიმრავლეს და არ მიეკუთვნება B სიმრავლეს.

მაგალითი: A: {1,2,3,4,5,6} და B: {2,4,6,7,8}. გაითვალისწინეთ, რომ A ∩ B = {2,4,6}, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ეს:

ა) A - B = {1,3,5}

ბ) B - A = {7,8}

• ერთიანობა

ორი ან მეტი სიმრავლის კავშირი არის ვუერთდებით თქვენს პირობებს. თუ არსებობს ელემენტები, რომლებიც მეორდება ორივე სიმრავლეში, ისინი მხოლოდ ერთხელ იწერება. მაგალითად: A = {1,2,3,4,5} და B = {4,5,6,7,10,14}. კავშირის წარმოსადგენად ვიყენებთ სიმბოლოს (წაიკითხეთ: კავშირი B– სთან).

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

ამ ოპერაციების შესახებ მეტი ინფორმაციის მისაღებად და რამდენიმე გადაჭრილი სავარჯიშოს სანახავად წაიკითხეთ: ოპერაციები კომპლექტებით.

მორგანის კანონები

მოდით, A და B იყოს ორი სიმრავლე და U იყოს სამყაროს სიმრავლე, არსებობს ორი თვისება, რომლებიც მოცემულია მორგანის კანონებით, კერძოდ:

(A U B)^ჩ = ა^ჩ B^ჩ

(A ∩ B)^ჩ = ა^ჩ U B^ჩ

მაგალითი:

ნაკრებების გათვალისწინებით:

• U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

• ა: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

• ბ: {5.10,15,20}

მოდით, შეამოწმოთ ეს (A U B)^ჩ = ა^ჩ B^ჩ. ასე რომ, ჩვენ უნდა:

A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

ამიტომ, (A U B)^ჩ={1,3,7,9,11,13,17,19}

თანასწორობის სიზუსტის შესამოწმებლად მოდით გავაანალიზოთ ოპერაცია A^ჩ B^ჩ:

^ჩ:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

ბ^ჩ:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

შემდეგ, ^ჩ B^ჩ ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

(A U B)^ჩ = ა^ჩ B^ჩ

ამოხსნილი სავარჯიშოები

01) განვიხილოთ U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} და B: {4,5,6, 7,8,9}. აჩვენეთ რომ (A ∩ B)^ჩ = ა^ჩ U B^ჩ.

რეზოლუცია:

• 1-ლი ნაბიჯი: find (A ∩ B)^ჩ. ამისთვის გვაქვს A ∩ B = {4,5,6}, ასე რომ (A ∩ B)^ჩ ={1,2,3,7,8,9,10}.

• მე -2 ნაბიჯი: იპოვნეთ ა^ჩ U B^ჩ.^ჩ: {7,8,9,10} და ბ^ჩ: {1,2,3,10}, ასე რომ ა^ჩ U B^ჩ = {1,2,3,7,8,9,19}.

ნაჩვენებია, რომ (A ∩ B)^ჩ = ა^ჩ U B^ჩ.

02) იმის ცოდნა, რომ A არის ლუწი რიცხვების სიმრავლე 1-დან 20-მდე, რა არის მთლიანი ქვეჯგუფების რაოდენობა, რომლის აგებაც შეგვიძლია ამ სიმრავლის ელემენტებიდან?

რეზოლუცია:

მოდით P იყოს აღწერილი სიმრავლე, ჩვენ გვაქვს ეს P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. ამიტომ, P ელემენტების რაოდენობაა 10.

ნაწილების თეორიის მიხედვით, P- ს შესაძლო ქვეჯგუფების რაოდენობაა:

2¹⁰=1024

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი