პოლიჰედრა: რა არის ისინი, ელემენტები, თვისებები

პოლიჰედრა (ლათინურიდან პოლი - ბევრი - და ჰედრონი - სახე) არიან ფიგურებისამგანზომილებიანი რეგულარული მრავალკუთხედების კავშირით ჩამოყალიბდა, რომელშიც მრავალკუთხა კუთხეები ყველა შესაბამისობაშია. ამ მრავალკუთხედების კავშირი ქმნის ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან პოლიედრონს, ესენია: ვერტიკები, კიდეები და სახეები. ამასთან, ყოველი სამგანზომილებიანი ფიგურა არაა მრავალწახნაგოვანი, ამის მაგალითია ფიგურები, რომლებსაც აქვთ მრუდის სახეები მრგვალი სხეულები.

არსებობს მათემატიკური ფორმულა, რომელიც უკავშირდება პოლიედრის ელემენტებს, რომლებსაც ეწოდება ეილერის ურთიერთობა. გარდა ამისა, პოლიჰედრა იყოფა ორ ჯგუფად: ე.წ. პოლიედრა ამოზნექილი და არა ამოზნექილი. ზოგიერთი პოლიჰედრა განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს, მათ უწოდებენ პლატონის პოლიჰედრა: ტეტრაედრი, ექვსკუთხედი, ოქტაედრი, dodecahedron და icosahedron.

წაიკითხეთ ასევე: განსხვავებები ბრტყელ და სივრცულ ფიგურებს შორის

ამოზნექილი პოლიედრა

პოლიედრონი ამოზნექილი იქნება, როდესაც ჩამოყალიბდება მრავალკუთხედები ამოზნექილი, ისე, რომ მიიღება შემდეგი პირობები:

1. ორი მრავალკუთხედი არასდროს ისინი თანაგვერდულები არიან, ანუ ერთსა და იმავე სიბრტყეს არ მიეკუთვნებიან.
2. ამ პოლიგონების ერთი მხარე მხოლოდ ორ მრავალკუთხედს ეკუთვნის.
3. სიბრტყე, რომელიც შეიცავს რომელიმე ამ მრავალკუთხედს, ტოვებს სხვა მრავალკუთხედებს იმავე ნახევრად სივრცეში.

წაიკითხეთ ასევე:ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა და გარე კუთხეების ჯამი

ამოზნექილი მრავალწახნაგის ელემენტები

განვიხილოთ ეს ამოზნექილი მრავალწახნაგოვანი:

შენ ოთხკუთხედები ფიგურაში ეწოდება სახეები მრავალწახნაგოვანი.

შენ ხუთკუთხედები არის პოლიედრის სახეები და ფუძე, რომელიც დასახელებულია ხუთკუთხა ფუძის მრავალწახნაგოვანი.

სეგმენტებს, რომლებიც ქმნიან თითოეულ სახეს, ეწოდება კიდეები მრავალწახნაგოვანი.

წერტილებს, სადაც კიდეები ხვდება, ეწოდება ვერტიკები.

გამოიძახება ხაზის სეგმენტი JC დიაგონალი მრავალწახნაგა, აღინიშნება:

ჩვენ გვესმის JC ერთ – ერთი დიაგონალია დიაგონალი პოლიედრის, როგორც არსების ხაზის სეგმენტი, რომელიც უერთდება ორ წვერს, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს.

ჩვენ ასევე გვაქვს პოლიედრული კუთხე, რომელიც ფორმირდება კიდეებს შორის, აღინიშნება:

მრავალკუთხა კუთხეს ეწოდება a ტრიედრალური Როდესაც სამი კიდეები წარმოიშობა წვერიდან. ანალოგიურად, მას უწოდებენ tetrahedral, საქმე ოთხი კიდეები წარმოიშობა ვერტექსიდან და ა.შ.

ამიერიდან, ჩვენ დავამყარებთ რამდენიმე ნოტაციას, ესენია:

შეიტყვეთ მეტი: გეომეტრიული მასალების დაგეგმვა

ამოზნექილი მრავალწახნაგის თვისებები

• საკუთრება 1

ყველა სახის კიდეების ჯამი ტოლია პოლიედრონის კიდეების ორჯერ.

მაგალითი

მრავალწახნაგა აქვს 6 კვადრატული სახე. მოდით განვსაზღვროთ კიდეების რაოდენობა.

თვისების მიხედვით, უბრალოდ გაამრავლეთ სახის კიდეების რაოდენობა სახის რაოდენობაზე და ეს უდრის კიდეების ორჯერ რაოდენობას. ამრიგად:

• საკუთრება 2

ყველა სახის წვერების ჯამი უდრის ყველა სახის კიდეების ჯამს, რაც უდრის კიდეების ორჯერ რაოდენობას.

მაგალითი

მრავალწახნაგა 5 ტეტრაედრული კუთხით და 4 ექვსკუთხა კუთხით. მოდით განვსაზღვროთ კიდეების რაოდენობა.

წინა მაგალითის ანალოგურია, მეორე თვისება ამბობს, რომ ყველა სახის კიდეების ჯამი ტოლია ორჯერ მეტი კიდეებისა. კიდეების რაოდენობა მოცემულია 5-ის 4-ით და 4-ით 6-ის პროდუქტით, რადგან ისინი 5 ტეტრაჰედრული და 4 ექვსკუთხა კუთხეა. ამრიგად:

ჩაზნექილი (არა-ამოზნექილი) პოლიედრა

მრავალწახნაგა არა-ამოზნექილი, ან ჩაზნექილია, როდესაც ჩვენ ვიღებთ ორ წერტილს მკაფიო სახეებზე და სწორზე რ რომელიც შეიცავს ამ წერტილებს, ყველაფერი არ შეიცავს პოლიედრონს.

გაითვალისწინეთ, რომ სწორი ხაზი (ლურჯში) სრულყოფილი არ არის პოლიედრონში, ამიტომ მრავალწახნაგოვანი (ვარდისფერში) არის ჩაზნექილი ან არა-ამოზნექილი.

რეგულარული პოლიჰედრა

ჩვენ ვამბობთ, რომ მრავალწახნაგოვანია როდის თქვენი სახეები არის ჩვეულებრივი მრავალკუთხედები ერთმანეთის ტოლი და მრავალკუთხა კუთხით ყველა ერთნაირია.

იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:

გაითვალისწინეთ, რომ თქვენი ყველა სახე რეგულარული მრავალკუთხედია. მისი სახეები ქმნიან კვადრატებს და კიდეები ყველა შესაბამისობაშია, ანუ მათ აქვთ იგივე ზომა.

წაიკითხაასევე: რა არის რეგულარული და ამოზნექილი მრავალკუთხედები?

ეილერის ურთიერთობა

Ასევე ცნობილია, როგორც ეილერის თეორემა, შედეგი დაამტკიცა ლეონჰარდ ეილერმა (1707 - 1783) და იძლევა გარანტიას, რომ ქ ყველა დახურული ამოზნექილი მრავალწახნაგა მოქმედებს შემდეგი ურთიერთობა:

პლატონის პოლიჰედრა

პლატონის პოლიედრონს ეწოდება ნებისმიერი მრავალწახნაგა, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:

1. ოილერის მიმართება მართებულია

2. ყველა სახეს აქვს იგივე რაოდენობის კიდეები

3. ყველა მრავალკუთხა კუთხეს აქვს იგივე რაოდენობის კიდეები

დადასტურებულია, რომ არსებობს მხოლოდ ხუთი რეგულარული და ამოზნექილი პოლიედრა, ანუ პლატონის პოლიედრა, ესენია:

• ჩვეულებრივი ტეტრაედრი

ტეტრაედრს აქვს 4 სამკუთხა სახე თანხვედრილი და 4 სამკუთხა კუთხე თანხვედრილი

• ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი

ექვსკუთხედს აქვს 6 კვადრატული სახე თანხვედრილი და 8 ტრიედრული კუთხე თანხვედრილი

• ჩვეულებრივი ოქტაედრი

ოქტაედრს აქვს 8 სამკუთხა სახე თანხვედრილი და 6 ტეტრაედრული კუთხე თანხვედრილი

• ჩვეულებრივი dodecahedron

თორმეტი ათასი აქვს 12 ხუთკუთხა სახე თანხვედრილი და 20 კუთხეტრიედრალური თანხვედრილი

• რეგულარული icosahedron

Icosahedron აქვს 20 სამკუთხა სახე თანხვედრილი და 12 ხუთკუთხედი კუთხე თანხვედრილი

ამოხსნილი სავარჯიშოები

1) (Enem) სამკაული მოჭრეს 32 სახის ამოზნექილი მრავალწახნაგის სახით, რომელთაგან 20 ჰექსაჰედრაა, ხოლო დანარჩენი ხუთკუთხაა. ეს ძვირფასეულობა იქნება საჩუქარი ქალბატონისთვის, რომელიც თავის დაბადების დღეს აღნიშნავს, დაასრულებს ასაკს, რომლის რიცხვიც ამ პოლიედრის წვერების რაოდენობაა. ეს ქალბატონი ასრულებს:

ა) 90 წელი

ბ) 72 წლის

გ) 60 წლის

დ) 56 წლის

ე) 52 წლის

გამოსავალი:

აძლევს საკუთრება 1 ამოზნექილი პოლიედრების შესახებ ვიცით, რომ:

Ახლა როგორ ჩვენ ვიცით კიდეების რაოდენობა ეს არის სახეების რაოდენობა, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ეილერის მიმართება.

რადგან თქვენი ასაკის დასრულება ტოლია წვერების რაოდენობისა, ასე რომ, ეს 60 წელია. ალტერნატივა გ.

2) (PUC-SP) რამდენი კიდე აქვს სამკუთხა სახის მქონე ამოზნექილი მრავალწახნაგა, სადაც წვერების რაოდენობა სამ მეხუთედზეა განლაგებული?

ა) 60

ბ) 30

გ) 25

დ) 20

ე) 15

გამოსავალი:

ამოზნექილი მრავალწახნაგის თვისებებიდან და სავარჯიშო დებულებიდან:

ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლება ეილერის მიმართებაში, ჩვენ გვაქვს შემდეგი:

წინა განტოლების ორგანიზება და განტოლების ამოხსნა F- ში, აქედან გამომდინარეობს:

ჩაანაცვლებს კიდეების განტოლებაში აღმოჩენილი სახის რაოდენობის მნიშვნელობას, გვექნება:

ალტერნატივა ბ

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი