ექსპონენციალური ფუნქცია ხდება მაშინ, როდესაც მისი ფორმირების კანონში ცვლადი არის ექსპონენტში, ხოლო domain და counter-domain - ში რეალური რიცხვები. ექსპონენციალური ფუნქციის დომენი არის ნამდვილი რიცხვები, ხოლო მრიცხველის დომენი არის ნულოვანი პოზიტიური რეალური რიცხვები. თქვენი ტრენინგის კანონი შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგით: f (x) =xრაზე არის დადებითი რეალური რიცხვი, გარდა 1-ისა.
ო გრაფიკული ექსპონენციალური ფუნქციის შენარჩუნება ყოველთვის იქნება კარტესიანის სიბრტყის პირველ და მეორე კვადრატში და შეიძლება გაიზარდოს, როდესაც არის რიცხვი 1-ზე მეტი, ან მცირდება, როდესაც არის დადებითი რიცხვი 1-ზე ნაკლები. შებრუნებული ფუნქცია ექსპონენციალური ფუნქციაა ლოგარითმული ფუნქცია, რაც ამ ფუნქციების გრაფიკებს ყოველთვის სიმეტრიულს ხდის.
წაიკითხეთ ასევე: რა არის ფუნქცია?
რა არის ექსპონენციალური ფუნქცია?
როგორც სახელიდან ჩანს, ექსპონენციალური ტერმინი უკავშირდება ექსპონენტს. ასე რომ, ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება არის a ფუნქცია ვისი დომენი არის რეალური რიცხვების სიმრავლე, ხოლო საწინააღმდეგო დომენი არის ნულოვანი პოზიტიური რეალური რიცხვების სიმრავლე.
, აღწერილია : → ℝ *+. მისი ფორმირების კანონი აღწერილია განტოლებით f (x) = xრაზე ეს არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, პოზიტიური, არა ნულოვანი და მოცემულია ძირითადი სახელი.მაგალითები:
ფორმირების კანონში, f (x) ასევე შეიძლება აღწერილი იქნას, როგორც y და, როგორც სხვა ფუნქციებში, ეს არის ცნობილია როგორც დამოკიდებული ცვლადი, რადგან მისი მნიშვნელობა დამოკიდებულია x- ზე, რომელიც ცნობილია როგორც ცვლადი. დამოუკიდებელი
ექსპონენციალური ფუნქციის ტიპები
ექსპონენციალური ფუნქციები შეიძლება დაიყოს ორ განსხვავებულ შემთხვევად. ფუნქციის ქცევის გათვალისწინებით, ეს შეიძლება იყოს აღმავალი ან დაღმავალი.
ექსპონენციალურ ფუნქციას ეწოდება გაზრდა, თუ x- ის მნიშვნელობის ზრდასთან ერთად f (x) მნიშვნელობაც იზრდება. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ფუძე 1-ზე მეტია, ეს არის: > 1.
მაგალითი:
ექსპონენციალური ფუნქცია კლებად ითვლება, თუ x- ის მნიშვნელობის ზრდასთან ერთად f (x) - ის მნიშვნელობა შემცირდება. ეს ხდება მაშინ, როდესაც ფუძე არის რიცხვი 0-სა და 1-ს შორის, ანუ 0 < < 1.
მაგალითი:
წაიკითხეთ ასევე: განსხვავება ფუნქციასა და განტოლებას შორის
ექსპონენციალური ფუნქციის დიაგრამა
ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკული გამოსახულების დასახატად საჭიროა გამოსახულების პოვნა დომენის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკს აქვს ზრდის ბევრად მეტი მახასიათებელი, ვიდრე ხაზოვანი ფუნქციები, თუ იზრდება, ან უფრო დიდია შემცირება, როდესაც იკლებს.
მაგალითები:
ა) ააშენეთ ფუნქციის გრაფიკი: f (x) = 2x.
> 1-დან, ეს ფუნქცია იზრდება. გრაფიკის შესაქმნელად, მივცეთ x მნიშვნელობებს x, როგორც ეს ნაჩვენებია ცხრილში:
ახლა, როდესაც ფუნქციის რამდენიმე პუნქტი ვიცით, შესაძლებელია მათი აღნიშვნა კარტესიანული თვითმფრინავი და გამოსახეთ ექსპონენციალური ფუნქციის მრუდი.
ბ) ააშენეთ შემდეგი ფუნქციის გრაფიკი:
ამ შემთხვევაში, ფუნქცია დაღმავალია, რადგან ფუძე არის რიცხვი 0-სა და 1-ს შორის, მაშინ გრაფიკი დაღმავალი იქნება.
გარკვეული რიცხვითი მნიშვნელობების პოვნის შემდეგ, შესაძლებელია წარმოადგინოთ ფუნქციის გრაფიკი კარტესიან სიბრტყეში:
ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები
→ 1-ლი ქონება
ნებისმიერ ექსპონენციალურ ფუნქციაში, მიუხედავად მისი საბაზისო მნიშვნელობისა , Ჩვენ უნდაf (0) = 1. ყოველივე ამის შემდეგ, ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის პოტენციური თვისება, ანუ 0-ზე აყვანილი ყოველი რიცხვი არის 1. ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკი ყოველ ჯერზე გადაკვეთს ვერტიკალურ ღერძს (0,1) წერტილში.
→ მე -2 ქონება
ექსპონენციალური ფუნქციაა ინჟექტორი. მონაცემები x1 და x2 ისეთი, რომ x1 ≠ x2, ასე რომ, გამოსახულებებიც განსხვავებული იქნება, ანუ f (x1) ≠ ვ (x2), რაც ნიშნავს, რომ თითოეული სურათის მნიშვნელობისთვის დომენში არის ერთი მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება ამ სურათს.
ინფიცირება ნიშნავს, რომ y- ს გარდა სხვა მნიშვნელობებისთვის იქნება x ერთი მნიშვნელობა, რაც f (x) ტოლია y- ს.
→ მე -3 ქონება
შესაძლებელია იცოდეთ ფუნქციის ქცევა მისი საბაზისო მნიშვნელობის შესაბამისად. გრაფიკი გაიზრდება, თუ ფუძე 1-ზე მეტია ( > 1) და იკლებს, თუ ფუძე 1-ზე ნაკლებია და 0-ზე ნაკლები (0 <<<1-მდე).
→ მე -4 ქონება
ო ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი ყოველთვის არის 1 და 2 მეოთხედებში, რადგან ფუნქციის საწინააღმდეგო დომენი არის ნულოვანი პოზიტიური რეალობები.
წაიკითხეთ ასევე: როგორ დავაფიქსიროთ ფუნქცია?
ექსპონენციალური ფუნქცია და ლოგარითმული ფუნქცია
რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც ინვერსიას აღიარებს, ეს შედარება ექსპონენციალურ ფუნქციასა და ლოგარითმულ ფუნქციას შორის გარდაუვალია. გამოდის რომ ლოგარითმული ფუნქცია არის ექსპონენციალური ინვერსიული ფუნქცია. ამ ფუნქციების გრაფიკები სიმეტრიულია x ღერძის ბისექტრის შესახებ. ინვერსიული ფუნქცია ნიშნავს, რომ ლოგარითმული ფუნქცია აკეთებს ექსპონენციალური ფუნქციის საპირისპიროდ, ანუ ექსპონენციალურ ფუნქციაში, თუ f (x) = y, მაშინ ლოგარითმული ფუნქცია, რომელიც ინვერსიულია, აღინიშნება f-1 ვ-1 (y) = x
ამოხსნილი სავარჯიშოები
(Enem 2015) კომპანიის მშრომელთა კავშირი ვარაუდობს, რომ კლასის ხელფასი 1.800,00 დოლარია, რაც გულისხმობს ფიქსირებულ პროცენტულ ზრდას თითოეული წლისთვის. გამოხატვა, რომელიც შეესაბამება სახელფასო წინადადება (ებ) ს, როგორც სტაჟის (t) ხანგრძლივობის ფუნქცია, წლებია s (t) = 1800 · (1,03)ტ.
კავშირის წინადადების თანახმად, ამ კომპანიის პროფესიონალის ხელფასი 2 წლის სტაჟით, რეალურად იქნება
ა) 7,416.00
ბ) 3,819.24
გ) 3,709,62
დ) 3,708.00
ე) 1909,62
რეზოლუცია:
ჩვენ გვინდა გამოვთვალოთ ფუნქციის გამოსახულება, როდესაც t = 2, ანუ s (2). T = 2 ჩანაცვლება ფორმულაში, ჩვენ ვხვდებით, რომ:
წ (2) = 1800 · (1.03)
წ (2) = 1800 · 1.0609
წ (2) = 1909,62
ალტერნატივა E
2) (Enem 2015) სამრეწველო წარმოების სისტემაში ტექნოლოგიების დამატება მიზნად ისახავს ხარჯების შემცირებას და პროდუქტიულობის გაზრდას. ექსპლუატაციის პირველ წელს ინდუსტრიამ აწარმოა კონკრეტული პროდუქტის 8000 ერთეული. შემდეგ წელს მან ინვესტიცია ჩადო ტექნოლოგიაში, შეიძინა ახალი მანქანები და გაზარდა წარმოება 50% -ით. დადგენილია, რომ პროცენტული ზრდა განმეორდება მომდევნო წლებში, რაც უზრუნველყოფს 50% წლიური ზრდის გარანტიას. მოდით P იყოს პროდუქციის წლიური რაოდენობა, რომელიც წარმოებულია ინდუსტრიის საქმიანობის t წელს.
შეფასების მიღწევის შემთხვევაში, რა არის გამოხატვა, რომელიც განსაზღვრავს წარმოებული ერთეულების რაოდენობას პფუნქციაში ტამისთვის ტ ≥ 1?
) პ(ტ) = 0,5 · ტ -1 + 8 000
ბ)პ(ტ) = 50 · ტ -1 + 8000
ჩ)პ(ტ) = 4 000 · ტ-1 + 8 000
დ)პ(ტ) = 8 000 · (0,5)t-1
და)პ(ტ) = 8 000 · (1,5)t-1
რეზოლუცია:
გაითვალისწინეთ, რომ წლებს შორის არის ურთიერთობა ტ და გარკვეული პროდუქტის რაოდენობა პ. იმის ცოდნა, რომ ყოველწლიურად ხდება 50% -იანი ზრდა, ეს ნიშნავს, რომ წინა და მის შემდეგ ერთი წლის წარმოების შედარებისას, მეორის მნიშვნელობა შეესაბამება 150% -ს, რომელიც წარმოდგენილია 1.5-ით. ვიცით, რომ საწყისი წარმოება არის 8000 და რომ პირველ წელს ეს იყო წარმოება, ამ სიტუაციის აღწერა შეგვიძლია შემდეგნაირად:
პირველ წელს, ანუ, თუ t = 1 → s (t) = 8 000.
მეორე წელს, თუ t = 2 პ(2) = 8 000 · 1,5.
მესამე წელს, თუ t = 3 პ(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
T წლის შემდეგ, გვექნება პ(ტ) = 8 000 · (1,5)t-1.
ალტერნატივა E
რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm