ხაზოვანი სისტემები: რა არის ისინი, როგორ უნდა გადაწყვიტოს, ტიპები

მოაგვარეთ სისტემებიხაზოვანი ეს ძალზე განმეორებადი ამოცანაა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებისა და მათემატიკის დარგებში. უცნობი მნიშვნელობების ძიებამ გამოიწვია ხაზოვანი სისტემების გადაჭრის მეთოდების შემუშავება, როგორიცაა სისტემების დამატება, თანასწორობა და ჩანაცვლების მეთოდი ორი განტოლება და ორი უცნობი, და კრამერის წესი და სკალირება, რომლებიც ხსნიან ორი განტოლების ხაზოვან სისტემებს, მაგრამ რომლებიც უფრო მოსახერხებელია უფრო მეტი განტოლების მქონე სისტემებისთვის. წრფივი სისტემა არის ორი ან მეტი განტოლების ერთობლიობა ერთი ან მეტი უცნობით.

წაიკითხეთ ასევე:რა კავშირია მატრიცებსა და ხაზოვან სისტემებს შორის?

ხაზოვანი სისტემები.

ხაზოვანი განტოლება

განტოლებებთან მუშაობა არსებობს იმის გამო საჭიროა უცნობი უცნობი მნიშვნელობების პოვნა. ჩვენ მას განტოლებას ვუწოდებთ, როდესაც გვაქვს ალგებრული გამოხატვა თანასწორობასთან და იგი კლასიფიცირდება როგორც სწორხაზოვანი, როდესაც მისი უცნობი უზარმაზარი ექსპონატია 1, როგორც ნაჩვენებია შემდეგ მაგალითებში:

2x + y = 7 → წრფივი განტოლება ორი უცნობით

+ 4 = -3 → წრფივი განტოლება ერთი უცნობით

ზოგადად რომ ვთქვათ, წრფივი განტოლება შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგით:

₁x₁ +₂x₂ + a3x3... + a_არაx_არა = გ

ჩვენ ვიცით, როგორც განტოლების სისტემა, როდესაც არსებობს ერთზე მეტი წრფივი განტოლება. ჩვენ დავიწყებთ ორი უცნობი ხაზოვანი სისტემებით.

ხაზოვანი სისტემების ამოხსნა

• ხაზოვანი სისტემები ორი 1-ლი ხარისხის განტოლებით და ორი უცნობით

ორი განტოლებისა და ორი უცნობი სისტემის ამოსახსნელად, რამდენიმეა მეთოდებისამი ყველაზე ცნობილია:

• შედარების მეთოდი
• დამატების მეთოდი
• ჩანაცვლების მეთოდი

სამიდან ნებისმიერს შეუძლია გადაჭრას ორი განტოლების და ორი უცნობი წრფივი სისტემა. ეს მეთოდები არც ისე ეფექტურია უფრო მეტი განტოლების მქონე სისტემებისთვის, რადგან არსებობს მათი გადაჭრის სხვა კონკრეტული მეთოდები.

• ჩანაცვლების მეთოდი

ჩანაცვლების მეთოდი შედგება იზოლირება ერთი უცნობი ერთ განტოლებაში და ჩანაცვლება სხვა განტოლებაში.

მაგალითი:

პირველი ნაბიჯი: იზოლირება ერთი უცნობი.

I– ს ვუწოდებთ პირველ განტოლებას, ხოლო II– ს - მეორე განტოლებას. ორის ანალიზი, მოდით აირჩიე ის უცნობი, რომლის გამოყოფა ყველაზე ადვილია. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება I → x + 2y = 5, x არ აქვს კოეფიციენტი, რაც იზოლირებას უწყობს ხელს, ამიტომ განტოლების გადაწერას მომწონს ეს:

მე → x + 2y = 5

მე → x = 5 - 2 წ

მე -2 ნაბიჯი: ჩაანაცვლებს I– ს II– ში.

ახლა, როდესაც I განტოლება გვაქვს x – ით, II განტოლებაში, შეგვიძლია x– ს ჩავანაცვლოთ 5–2y.

II → 3x - 5y = 4

X შეცვლა 5 - 2y:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

ახლა, როდესაც განტოლებას მხოლოდ ერთი უცნობია, მისი ამოხსნა შესაძლებელია y- ის მნიშვნელობის მოსაძებნად.

ვიცოდეთ y მნიშვნელობა, ჩვენ ვიპოვით x მნიშვნელობას y განტოლების y მნიშვნელობის ჩანაცვლებით.

მე → x = 5 - 2 წ

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

ამრიგად, სისტემის ამოხსნაა S = {3,1}.

• შედარების მეთოდი

შედარების მეთოდი შედგება ორ განტოლებაში გამოტოვეთ უცნობი და გაათანაბრეთ ეს მნიშვნელობები.

მაგალითი:

პირველი ნაბიჯი: მოდით მე ვიყო პირველი განტოლება და II მეორე, მოდით გამოვყოთ I და II– ის ერთ – ერთი უცნობი. ვირჩევთ უცნობი x –ის იზოლირებას, ჩვენ უნდა:

მე -2 ნაბიჯი: გაუტოლეთ ორი ახალი განტოლება, რადგან x = x.

მე -3 ნაბიჯი: y მნიშვნელობის ჩანაცვლება -2 – ით ერთ – ერთ განტოლებაში.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

ამ სისტემის ამოხსნა არის S = {2, -2}.

იხილეთ აგრეთვე: რა განსხვავებაა ფუნქციასა და განტოლებას შორის?

• დამატების მეთოდი

დამატების მეთოდი შედგება ერთ-ერთი განტოლების ყველა ტერმინის გამრავლების ასრულებისაგან, ისე, რომ როდის I განტოლების დამატება II განტოლებას, მისი ერთ – ერთი უცნობი ტოლია ნულის.

მაგალითი:

პირველი ნაბიჯი: გავამრავლოთ ერთ-ერთი განტოლება ისე, რომ კოეფიციენტები საპირისპირო იყოს.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ II განტოლებას გავამრავლებთ 2-ზე, II განტოლებაში გვაქვს 4y და I განტოლებაში -4y, და ეს დავამატებთ I + II, მივიღებთ 0y, მოდით გავამრავლოთ II განტოლების ყველა ტერმინი 2-ზე ისე, რომ ეს მოხდეს

მე → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

მე -2 ნაბიჯი: შეასრულოს ჯამი I + 2 · II.

მე -3 ნაბიჯი: შეცვალეთ x = 3 მნიშვნელობა ერთ განტოლებაში.

• ხაზოვანი სისტემები სამი 1-ლი ხარისხის განტოლებით და სამი უცნობით

როდესაც სისტემას აქვს სამი უცნობი, ჩვენ ვიღებთ გადაჭრის სხვა მეთოდებს. ყველა ეს მეთოდი უკავშირებს კოეფიციენტებს მატრიცებს, ხოლო ყველაზე მეტად გამოყენებული მეთოდებია კრამერის წესი ან მასშტაბირება. ორივე მეთოდით გადაჭრისთვის აუცილებელია სისტემის მატრიცული წარმოდგენა, მათ შორის 2x2 სისტემა შეიძლება წარმოდგენილ იქნას მატრიცის საშუალებით. არსებობს ორი შესაძლო წარმოდგენა, სრული მატრიცა და არასრული მატრიცა:

მაგალითი:

Სისტემა 

შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სრული მატრიცა

და ამისთვის არასრული მატრიცა

• კრამერის წესი

3x3 სისტემის ამოხსნების მოძიება x, y და z უცნობი სისტემებით, კრამერის წესი, საჭიროა არასრული მატრიცისა და მისი ვარიაციების დეტერმინანტის გამოთვლა. ასე რომ, ჩვენ უნდა:

D the სისტემის არასრული მატრიცის განმსაზღვრელი.

დ_x The სისტემის არასრული მატრიცის განმსაზღვრელი, x სვეტის ჩანაცვლება დამოუკიდებელი ტერმინების სვეტით.

დ_y The სისტემის არასრული მატრიცის განმსაზღვრელი, y სვეტის ჩანაცვლება დამოუკიდებელი ტერმინების სვეტით.

დ_ზ The სისტემის არასრული მატრიცის განმსაზღვრელი, z სვეტის ჩანაცვლება დამოუკიდებელი ტერმინების სვეტით.

ასე რომ, თქვენი უცნობების მნიშვნელობის დასადგენად, ჯერ უნდა გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი დ, დ_x, დ_y სისტემასთან ასოცირდება.

მაგალითი:

პირველი ნაბიჯი: გამოთვალეთ დ.

მე -2 ნაბიჯი: გამოთვალეთ D_x

მე -3 ნაბიჯი: მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ x მნიშვნელობა, რადგან:

მე -4 ნაბიჯი: გამოთვალეთ D_y

მე -5 ნაბიჯი: მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ y მნიშვნელობა:

მე -6 ნაბიჯი: ახლა რომ ვიცით x და y მნიშვნელობა, ნებისმიერ სტრიქონში შეგვიძლია z- ის მნიშვნელობა ვიპოვოთ x და y მნიშვნელების ჩანაცვლებით და z იზოლირებით. კიდევ ერთი ვარიანტია D გამოთვლა_ზ.

შეცვალეთ x = 0 და y = 2 პირველ განტოლებაში:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

ამიტომ, სისტემის ამოხსნა არის ტენდერი (0.2, -1).

აგრეთვე წვდომა: პრობლემის გადაჭრა განტოლების სისტემებით

• მასშტაბირება

ხაზოვანი სისტემების ამოხსნის კიდევ ერთი მეთოდი არის მასშტაბირება, რომელშიც ჩვენ ვიყენებთ მხოლოდ სრულ მატრიცას და მოქმედებებს სტრიქონებს შორის მათი უცნობების გამოყოფის მიზნით. მოდით მასშტაბის ქვემოთ მოცემული სისტემა.

პირველი ნაბიჯი: დაწერეთ სრული მატრიცა, რომელიც წარმოადგენს სისტემას.

იყოს L₁, ლ₂ და ლ₃ შესაბამისად მატრიცის 1, 2 და 3 ხაზები, ჩვენ შევასრულებთ ოპერაციებს L– ს შორის₁ და ლ₂ და ლ₁ და ლ₃, ისე, რომ შედეგი მეორე და მესამე რიგის პირველ სვეტში ტერმინების ნულს ტოვებს.

მატრიცის მეორე ხაზის გაანალიზებით, ჩავანაცვლოთ L2 → -2 · L1 + L2 შედეგით, a21 ტერმინის ნულოვნების მიზნით.

₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

ასე რომ, ლ₂ იქნება 0 -3 7 -17.

მატრიცის მესამე რიგის ანალიზი, მოდით, შევცვალოთ L3 → 3L1 + L შედეგით_2, ტერმინის გადაყენების მიზნით_31.

₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

ასე რომ, ლ₃ იქნება 0 8 -8 24.

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა იყოფა 8-ზე, ასე რომ L ხაზი₃ უფრო მარტივია, მოდით გავყოთ 8-ზე.

ლ₃ ლ₃ : 8 იქნება: 0 1-1 3.

მასშტაბური განტოლების ახალი მატრიცა იქნება:

ახლა მიზანი არის მესამე რიგის y სვეტის გადაყენება, ჩვენ შევასრულებთ ოპერაციებს L– ს შორის₂ და ლ₃, ერთ-ერთი მათგანის მეორე სვეტის გადატვირთვის მიზნით.

ჩვენ L3– ს ჩავაცვლით L3 → L– ით₂ + 3 ლ₃.

₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

ასე რომ, ლ₃ იქნება: 0 0 4 -8.

ახალი მასშტაბური მატრიცა იქნება:

ახლა, როდესაც ამ მატრიცას ისევ სისტემად წარმოვადგენთ, სვეტებს დავამატებთ x, y და z, ვხვდებით შემდეგს:

ამის შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ თითოეული უცნობი ღირებულების მნიშვნელობა. III განტოლების ანალიზი, ჩვენ უნდა:

თუ z = -2, ჩავანაცვლოთ z- ის მნიშვნელობა მეორე განტოლებაში:

დაბოლოს, პირველ განტოლებაში, ჩავანაცვლოთ y და z მნიშვნელობა და ვიპოვოთ x მნიშვნელობა.

იხილეთ აგრეთვე: 1 ხარისხის უტოლობების სისტემა - როგორ უნდა მოგვარდეს ეს?

ხაზოვანი სისტემის კლასიფიკაცია

ხაზოვანი სისტემა არის ხაზოვანი განტოლებების ერთობლიობა, რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე უცნობი და რამდენიმე განტოლება. მისი ამოხსნის რამდენიმე მეთოდი არსებობს, განტოლებების რაოდენობის მიუხედავად. არის სამი რეიტინგები ხაზოვანი სისტემისთვის.

• განსაზღვრული შესაძლო სისტემა (SPD): როდესაც ერთი გამოსავალი გაქვთ.
• განუსაზღვრელი შესაძლო სისტემა (SPI): როდესაც მას აქვს უსასრულო ამოხსნები.
• შეუძლებელი სისტემა(SI): როდესაც გამოსავალი არ არის.

ამოხსნილი სავარჯიშოები

კითხვა 1 (IFG 2019) განვიხილოთ ფუძისა და სიმაღლის გაზომვების ჯამი, სამკუთხედის ამ ფუძესთან შედარებით, ტოლი 168 სმ, ხოლო სხვაობა 24 სმ. სწორია იმის აღნიშვნა, რომ ფუძისა და სიმაღლის გაზომვები ამ ფუძის ზომასთან შედარებით, შესაბამისად:

ა) 72 სმ და 96 სმ

ბ) 144 სმ და 24 სმ

გ) 96 სმ და 72 სმ

დ) 24 სმ და 144 სმ

რეზოლუცია

ალტერნატიული C.

მოდით h → სიმაღლე და b → ბაზა, მაშინ ჩვენ გვაქვს შემდეგი სისტემა:

დამატების მეთოდით, ჩვენ უნდა:

H- ის მნიშვნელობის მოსაძებნად, ჩავანაცვლოთ b = 96 სმ პირველ განტოლებაში:

b + h = 168

96 + სთ = 168

თ = 168 - 96

h = 72 სმ

კითხვა 2 არასრული მატრიცა, რომელიც წარმოადგენს შემდეგ ხაზოვან სისტემას, არის:

რეზოლუცია

ალტერნატიული C.

არასრული მატრიცა არის ის, რომელსაც აქვს x, y და z კოეფიციენტები, ასე რომ ის იქნება 3x3 მატრიცა. ალტერნატივების ანალიზით, ის, რომელიც შეიცავს 3x3 მატრიქსს სწორი ნიშნებით, არის ასო C.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm