ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა for მრავალწევრის განტოლებები ამის გარანტიას იძლევა "ყველა ხარისხის მრავალწევრი 1 აქვს მინიმუმ ერთი რთული ფესვი ". ამ თეორემის დამტკიცება მათემატიკოსმა ფრიდრიხ გაუსმა 1799 წელს გააკეთა. მისგან შეგვიძლია გამოვხატოთ მრავალწევრის დაშლის თეორემა, რაც იძლევა გარანტიას, რომ ნებისმიერი მრავალწევრი შეიძლება დაიშალა პირველი ხარისხის ფაქტორებად. წაიკითხეთ შემდეგი მრავალკუთხედი p (x) კლასის n ≥ 1 დაარა ≠ 0:
p (x) = აარა xარა +n-1 xn-1 + +1x1 +0
ალგებრის ფუნდამენტური თეორემის საშუალებით შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ ამ მრავალწევარს აქვს სულ მცირე ერთი რთული ფესვი. შენ1, ისეთივე როგორც გვ (შენ1) = 0. ო დ'ალამბერტის თეორემა რომ მრავალწევრების დაყოფა აცხადებს, რომ თუ გვ (შენ1) = 0, შემდეგ p (x) იყოფა იმით (x - შენ1), შედეგად მიიღება კოეფიციენტი რა1(x), რომელიც არის გრადუსიანი მრავალწევრი (n - 1), რაც გვაიძულებს ვთქვათ:
p (x) = (x - u1). რა1(x)
ამ განტოლებიდან აუცილებელია ორი შესაძლებლობის გამოყოფა:
თუ u = 1 და რა1(x) ხარისხის პოლინომია (n - 1)შემდეგ რა1(x) აქვს ხარისხი 0. როგორც დომინანტი კოეფიციენტი
p (x) é არა, რა1(x) ტიპის მუდმივი მრავალკუთხედია რა1(x)=არა. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:p (x) = (x - u1). რა1(x)
(x) = (x - u1).არა
p (x) = აარა . (x - შენ1)
Მაგრამ თუ თქვენ ≥ 2, შემდეგ მრავალხმიანობა რა1 აქვს ხარისხი n - 1 1 და ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა შეიცავს. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მრავალწევრი რა1 აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი არა2, რაც ამის თქმისკენ მიგვიყვანს რა1 შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
რა1(x) = (x - u2). რა2(x)
Მაგრამ როგორ p (x) = (x - u1). რა1(x), ჩვენ შეგვიძლია ამის გადაწერა, როგორც:
p (x) = (x - u1). (x - შენ2). რა2(x)
ამ პროცესის თანმიმდევრულად განმეორებით, გვექნება:
p (x) = აარა. (x - შენ1). (x - შენ2)… (X - uარა)
| ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ყველა მრავალწევრის ან მრავალწევრის განტოლება p (x) = 0 კლასის 1 ფლობენ ზუსტად არა რთული ფესვები. |
მაგალითი: იყავი p (x) ხარისხის პოლინომია 5, ისეთი, რომ მისი ფესვებია – 1, 2, 3, – 2 და 4. დაწერეთ ეს მრავალკუთხა დაშლილი 1-ლი ხარისხის ფაქტორებად, იმის გათვალისწინებით, რომ დომინანტი კოეფიციენტი ტოლი 1. ეს უნდა იყოს დაწერილი გაფართოებული ფორმით:
თუკი – 1, 2, 3, – 2 და 4 მრავალწევრის ფესვებია, ამიტომ განსხვავების პროდუქტი x თითოეული ამ ფესვისთვის შედეგია p (x):
p (x) = აარა(x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 2)
თუ დომინანტი კოეფიციენტი არა = 1, ჩვენ გვაქვს:
p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 2)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 2)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 2)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 2)
p (x) = (x4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48
ამანდა გონსალვესის მიერ
დაამთავრა მათემატიკა
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm
