ერთი არითმეტიკული პროგრესიით (PA) არის ა თანმიმდევრობა რიცხვითი, რომელშიც თითოეული ტერმინი არის წინა თანხის მუდმივა, რომელსაც ეწოდება თანაფარდობა. ისინი არსებობენ მათემატიკური გამონათქვამები განსაზღვროს PA ვადა და გამოთვალოს მისი ჯამი არა პირველი ტერმინები.
ფორმულა, რომელიც გამოითვლება ვადების ჯამი სასრული PA ან ჯამი არა PA– ს პირველი პირობები შემდეგია:
სარა = საათზე1 +არა)
2
* n არის BP ტერმინების რაოდენობა;1 არის პირველი ტერმინი დაარა უკანასკნელია.
PA– ს პირობების ჯამის წარმოშობა
ნათქვამია, რომ გერმანელი მათემატიკოსი კარლ ფრიდერიხ გაუსი, დაახლოებით 10 წლის ასაკში, დაისაჯა კლასში სკოლაში. მასწავლებელმა მოსწავლეებს უთხრა, რომ დაამატეთ ყველა რიცხვი, რომელიც გამოჩნდება თანმიმდევრობა 1-დან 100-მდე.
გაუსმა არამარტო პირველმა დაასრულა ძალიან მოკლე დროში, არამედ ის იყო ერთადერთი, ვინც შედეგს სწორად მიაღწია (5050). გარდა ამისა, მასში არ იქნა ნაჩვენები რაიმე გამოთვლა. რაც მან გააკეთა, შეკეთდა შემდეგი ქონება:
სასრული PA- ს უკიდურესობიდან თანაბრად დაშორებული ორი ტერმინის ჯამი ტოლია უკიდურესობების ჯამისა.
ამის შესახებ ცოდნა არ არსებობდა პან იმ დროს, მაგრამ გაუსმა დაათვალიერა რიცხვების სია და მიხვდა, რომ პირველი-ს ბოლო დაემატება 101-ით; ბოლოსწინა მეორეზე დამატება, შედეგი ასევე იქნება 101 და ა.შ. როგორც ტერმინთა ყველა წყვილი თანაბრად დაშორებული უკიდურესობებს 101 მიაღწიეს, გაუსმა მხოლოდ უნდა გაამრავლოს ეს რიცხვი არსებული ტერმინების ნახევარზე 5050 შედეგის მისაღწევად.
გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვი 1-დან 100 ნომრამდე, ზუსტად 100 ნომერია. გაუსმა გააცნობიერა, რომ თუ ისინი ორ-ორს დაამატებდა, მიიღებდა 50 შედეგს 101-ის ტოლფასი. ამიტომ, ეს გამრავლება შესრულდა მთლიანი ტერმინების ნახევრით.
PA– ს პირობების ჯამის დემონსტრირება
ამ მიღწევამ დასაბამი მისცა გამოთქმას, რომელიც გამოითვლება ჯამი არა PA პირობები. ამ გამოთქმის მისაღწევად გამოყენებული ტაქტიკა ასეთია:
მოცემულია ერთი პან ნებისმიერი, ჩვენ დავამატებთ პირველ n პირობებს. მათემატიკურად გვექნება:
სარა =1 +2 +3 + +n - 2 +n - 1 +არა
ამის ქვემოთ ვადების ჯამი, ჩვენ დავწერთ კიდევ ერთს, იგივე ტერმინებით, რაც წინა, მაგრამ შემცირებული გაგებით. გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინების ჯამი პირველში ტოლია ტერმინების ჯამის მეორეში. ამიტომ, ორივე გაუთანაბრდა S- სარა.
სარა =1 +2 +3 + +n - 2 +n - 1 +არა
სარა =არა +n - 1 +n - 2 + +3 +2 +1
გაითვალისწინეთ, რომ ეს ორი გამონათქვამი მიღებული იქნა ერთიდან პან და რომ ტოლფასი ტერმინები ვერტიკალურად არის გასწორებული. ამიტომ, გამონათქვამების დამატება შეგვიძლია:
სარა =1 +2 +3 + +n - 2 +n - 1 +არა
+ სარა =არა +n - 1 +n - 2 + +3 +2 +1
2Sარა = (1 +არა) + (ა2 +n - 1) +… + (აn - 1 +2) + (აარა +1)
გახსოვდეთ, რომ უკიდურესობებისაგან თანაბრად დაშორებული ტერმინების ჯამი უკიდურესობათა ჯამის ტოლია. ამიტომ, თითოეული ფრჩხილი შეიძლება შეიცვალოს უკიდურესობების ჯამით, როგორც შემდეგ გავაკეთებთ:
2Sარა = (1 +არა) + (ა1 +არა) +... + (1 +არა) + (ა1 +არა)
გაუსის იდეა იყო თანმიმდევრობის ტოლფასი პირობების დამატება. მან მიიღო ვადების ნახევარი თანხა პან 101 შედეგით. ჩვენ ისე მივიღეთ, რომ საწყისი BP- ის თითოეულ ტერმინს დაემატა მისი თანაბრად დაშორებული მნიშვნელობა და შევინარჩუნეთ იგი ტერმინების რაოდენობა. ამრიგად, რადგან PA– ს ჰქონდა n ტერმინები, ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ თანხა, ზემოთ მოცემულ გამოხატვაში, გამრავლებით და ამოვხსნათ განტოლება პოვნა:
2Sარა = (1 +არა) + (ა1 +არა) +... + (1 +არა) + (ა1 +არა)
2Sარა = n (ა1 +არა)
სარა = საათზე1 +არა)
2
ეს არის ზუსტად ის ფორმულა, რომელიც გამოიყენება არა PA პირობები.
მაგალითი
მოცემულია P.A (1, 2, 3, 4), განსაზღვრეთ მისი პირველი 100 ტერმინების ჯამი.
გამოსავალი:
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ტერმინი a100. ამისათვის გამოვიყენებთ ზოგადი ტერმინის ფორმულა PA- ს:
არა =1 + (n - 1) რ
100 = 1 + (100 – 1)1
100 = 1 + 99
100 = 100
ახლა პირველი n ტერმინების შეჯამების ფორმულა:
სარა = საათზე1 +არა)
2
ს100 = 100(1 + 100)
2
ს100 = 100(101)
2
ს100 = 10100
2
ს100 = 5050
ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm