მრავალკუთხედები არის სურათები ბრტყელი გეომეტრია და დახურული ჩამოყალიბდა სწორი სეგმენტები. მრავალკუთხედები იყოფა ორ ჯგუფად, ამოზნექილი და არა ამოზნექილი. როდესაც მრავალკუთხედს ყველა მისი მხარე ტოლია და, შესაბამისად, ყველა კუთხეები შიდა ტოლი, ეს არის მრავალკუთხედი რეგულარული. რეგულარული მრავალკუთხედების დასახელება შეიძლება მათი გვერდების რაოდენობის მიხედვით.
იხილეთ აგრეთვე: შემოხაზული მრავალკუთხედების მშენებლობა
მრავალკუთხედის ელემენტები
მრავალკუთხედი არის ბრტყელი, დახურული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სწორი ხაზის სასრული რაოდენობის კავშირით. ასე რომ, განვიხილოთ ნებისმიერი მრავალკუთხედი:
A, B, C, D, E, F, G და H წერტილებია ვერტიკები მრავალკუთხედისა და წარმოიქმნება AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH და HA სეგმენტების შეხვედრით, ე.წ. მხარეები მრავალკუთხედის.
სეგმენტები AF, AE, AD და BG არის დიაგონალები მრავალკუთხედის. (გაითვალისწინეთ, რომ ეს დიაგონალების რამდენიმე მაგალითია, წინა მრავალკუთხედში ჩვენ უფრო მეტი გვაქვს.) დიაგონალები არის სტრიქონის სეგმენტები, რომლებიც "აკავშირებს" მრავალკუთხედის წვეროებს.
მრავალკუთხედის ნომენკლატურა
ჩვენ შეგვიძლია დავასახელოთ მრავალკუთხედები მათი მიხედვით მხარეების რაოდენობა. ძირითადი პოლიგონების სახელი იხილეთ ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.
გვერდების რაოდენობა (n) |
ნომენკლატურა |
3 |
სამკუთხედი |
4 |
ოთხკუთხედი |
5 |
პენტაგონი |
6 |
ექვსკუთხედი |
7 |
ჰეპტაგონი |
8 |
რვაკუთხედი |
9 |
ენნეაგონი |
10 |
დეკაგონი |
11 |
Undecagon |
12 |
Dodecagon |
15 |
ხუთკუთხედი |
20 |
Icosagon |
გაითვალისწინეთ, რომ არა სუფრის გაფორმებაა საჭირო, არამედ მისი გაგება. გარდა სამკუთხედისა და ოთხკუთხედისა, სიტყვაწარმოქმნაა:
გვერდების რაოდენობა + გონო
მაგალითად, როდესაც ჩვენ გვაქვს მრავალკუთხედი ხუთი მხარე, ავტომატურად მახსოვს პრეფიქსი პენტა პლუს გონო სუფიქსი: პენტაგონი.
მაგალითი
განსაზღვრეთ შემდეგი მრავალკუთხედის სახელი:
პოლიგონის კლასიფიკაცია
პოლიგონები კლასიფიცირდება მიხედვით თქვენი კუთხეების გაზომვა და მხარეები. პოლიგონის თანახმად, ტოლგვერდაა, როდესაც მას აქვს თანხვედრილი მხარეები, ანუ ყველა მხარე ტოლია; და იტყვის სამკუთხედს, როდესაც მას აქვს თანხვედრილი კუთხეები, ანუ ყველა ტოლი კუთხე.
თუ მრავალკუთხედი ტოლგვერდაა და ტოლია, მაშინ ის იქნება a რეგულარული მრავალკუთხედი.
ყველა რეგულარულ მრავალკუთხედში, ცენტრი იგივე მანძილია გვერდებიდან, ეს არის ის, რომ იგი თანაბრად დაშორებულია გვერდებიდან. პოლიგონის ცენტრი ასევე არის პოლიგონში ჩაწერილი წრის ცენტრი, ანუ გარშემოწერილობა რაც წრეწირის "შიგნით" არის.
Წაიკითხე მეტი: მრავალკუთხედის მსგავსება: ნახეთ რა პირობებია
მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი
Იყავიმე რეგულარული n ცალმხრივი მრავალკუთხედის შიდა კუთხე, ჩვენ წარმოვადგენთ ამ შინაგანი კუთხეების ჯამს S- ითმე.
ამრიგად, შიდა კუთხეების ჯამი მოცემულია შემდეგით:
სმე = (n - 2) · 180 °
თითოეული შიდა კუთხის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, უბრალოდ აიღეთ შიდა კუთხეების ჯამი და დაყავით გვერდების რაოდენობაზე, ანუ:
მე = სმე
არა
მაგალითი 1
იპოვნეთ შინაგანი კუთხეების ჯამი და შემდეგ იკოსაგონის თითოეული შინაგანი კუთხის ზომა.
ჩვენ ვიცით, რომ icosagon– ს ოცი მხარე აქვს, ამიტომ n = 20. ურთიერთობებში ჩანაცვლება გვაქვს:
სმე = (n - 2) · 180 °
სმე = (20 - 2) · 180°
სმე = 18 · 180°
სმე = 3240°
ახლა, თითოეული შიდა კუთხის მნიშვნელობის დასადგენად, უბრალოდ გაყოთ ნაპოვნი მნიშვნელობა გვერდების რაოდენობაზე:
მე = 3240°
20
მე = 162°
მაგალითი 2
რეგულარული მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამია 720 °, იპოვნეთ მრავალკუთხედი.
ფორმულაში მითითებული ინფორმაციის ჩანაცვლება გვაქვს:
720 ° = (n - 2) · 180 °
720 ° = 180n - 360 °
180n = 720 ° + 360 °
180n = 1080 °
n = 1080°
180°
n = 6 მხარე
ამრიგად, სასურველი მრავალკუთხედი არის ექვსკუთხედი.
მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი
მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი ყოველთვის ტოლია 360 °.
სდა = 360°
და = სდა
არა
და = 360°
არა
მრავალკუთხედის დიაგონალები
განვიხილოთ n ცალმხრივი მრავალკუთხედი. დიაგონალების რაოდენობის დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ დამოკიდებულებას:
დ = n · (n - 3)
2
მაგალითი
განსაზღვრეთ დიაგონალების რიცხვი ხუთკუთხედში და აწერეთ გრაფიკით.
ჩვენ ვიცით, რომ პენტაგონს ხუთი მხარე აქვს, ამიტომ n = 5. შეცვალეთ გამონათქვამი, ჩვენ უნდა:
დ = 5 · (5 - 3)
2
დ = 5 · 2
2
დ = 5
მრავალკუთხედების ფართობი და პერიმეტრი
ო პერიმეტრი მრავალკუთხედების განისაზღვრება ჯამი ყველა მხრიდან. მრავალკუთხედის ფართობი გამოითვლება მრავალკუთხედის დაყოფით ფიგურებად, რომელთა გაანგარიშება უფრო ადვილია ფართობისთვის, როგორიცაა სამკუთხედი და კვადრატი.
Δ = ბაზა · სიმაღლე
2
მოედანი = ფუძე · სიმაღლე
მაგალითი
განსაზღვრეთ მათემატიკური გამოთქმა, რომელიც წარმოადგენს რეგულარული ექვსკუთხედის არეს.
გამოსავალი:
თავდაპირველად, გაითვალისწინეთ ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი და ყველა სწორი ხაზის სეგმენტი, რომლებიც აკავშირებს მრავალკუთხედის ცენტრს თითოეულ წვერთან. ამრიგად:
გაითვალისწინეთ, რომ იმის გამო, რომ ექვსკუთხედი რეგულარულია, მისი გაყოფისას ვხვდებით ექვსს სამკუთხედები ტოლგვერდები, ასე რომ ექვსკუთხედის ფართობი ექვსჯერ ტოლია ტოლკუთხა სამკუთხედის ფართობზე, ანუ:
ექვსკუთხა = 6 · აΔ
ექვსკუთხა = 6 · ლ2 · √3
4
ექვსკუთხა = 3 · ლ2 · √3
2
ექვსკუთხა = 3 · ლ2·√3
2
წაიკითხეთ ასევე:ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი
სავარჯიშოები მოგვარებულია
კითხვა 1 - (Enem) აუზი ჰგავს ჩვეულებრივ მრავალკუთხედს, რომლის შიდა კუთხე სამნახევარჯერ აღემატება გარე კუთხეს. რა არის პოლიგონის შიდა კუთხეების ჯამი, რომლის ფორმა იგივეა, რაც ამ აუზი?
ა) 1800 °
ბ) 1620-ე
გ) 1440 °
დ) 1260 °
ე) 1080 °
გამოსავალი
რადგან არ ვიცით მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა, წარმოვიდგინოთ ამ მრავალკუთხედის მხოლოდ ერთი წვერი.
სურათიდან ჩანს, რომ:
მე +და = 180 ° (I)
განცხადებიდან ჩვენ გვაქვს, რომ:
მე = 3.5 · ადა (II)
(II) განტოლების ჩანაცვლება განტოლებაში (I), მოგვიწევს:
3.5 · ადა +და = 180°
4,5 · ადა = 180°
და = 180°
4,5
და = 40°
ამასთან, ვიცით, რომ შინაგანი კუთხე არის 360 ° -ის დაყოფა მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობაზე. ამრიგად:
და = 360°
არა
40° = 360°
არა
40n = 360 °
n = 360°
40°
n = 9
ამიტომ, აუზის შიდა კუთხეების ჯამია:
სმე = (n - 2) · 180 °
სმე = (9 - 2) · 180°
სმე = 7 · 180°
სმე = 1260°
რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი