პერმუტაციები დათვლის პრობლემების ნაწილია. ჩვენ ვიყენებთ პერმუტაციებს, რათა ვიცოდეთ ელემენტების რიგის რაოდენობა კომპლექტში. ივარჯიშეთ თქვენი ცოდნა პერმუტაციის შესახებ და მოაგვარეთ თქვენი ეჭვები ამოხსნილი სავარჯიშოებით.
სავარჯიშო 1
ორი მეგობარი ექვსმხრივი კამათლით თამაშობდა. ცნობილია, რომ რიცხვები 4, 1, 2 და 5 გამოვიდა, სულაც არ არის ამ თანმიმდევრობით. შედეგების რამდენი თანმიმდევრობა შეიძლებოდა ყოფილიყო?
პასუხი: 24
შედეგების გარკვეული თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს:
1, 2, 4 და 5 ან
5, 4, 5 და 1 ან
4, 5, 1 და 2
შესაძლო შეკვეთების საერთო რაოდენობის დასადგენად, ჩვენ ვიანგარიშებთ პერმუტაციას ოთხი განსხვავებული ელემენტით.
სავარჯიშო 2
ექვსი მეგობრის ჯგუფი წავიდა კინოში ფილმის საყურებლად და იყიდა ბილეთები იმავე რიგისთვის. იმის გათვალისწინებით, რომ წყვილია და ისინი მეზობელ სკამებში ისხდნენ, რამდენ კუთხით მოთავსდნენ ეს მეგობრები სკამების რიგში?
პასუხი: 240
რადგან გაანგარიშებისას განიხილება "მეგობრების" ნაკრების ყველა ელემენტი, ეს არის პერმუტაციის პრობლემა.
პერმუტაციების საერთო შესაძლო რაოდენობის გამოსათვლელად ჩვენ განვიხილეთ 5 ელემენტი, რადგან წყვილი ყოველთვის ერთად უნდა იყოს.
გარდა ამისა, ამ 120 შესაძლებლობიდან ორზე უნდა გავამრავლოთ, რადგან წყვილს შეუძლია ადგილის გაცვლა ერთმანეთთან.
ამრიგად, მეგობრების შესაძლო გზების რაოდენობა სკამების რიგში ორგანიზებისთვის არის:
120. 2 = 240
სავარჯიშო 3
7 მოსწავლისგან შემდგარი კლასი თამაშობს ეზოში და სარგებლობს შესვენების დროით. სიგნალის გაგონებისას, რომელიც აცნობებს კლასებში დაბრუნებას, სტუდენტები გადადიან ხაზის შესაქმნელად. რამდენი განსხვავებული გზით შეუძლიათ მოსწავლეებს რიგის თანმიმდევრობის შექმნა?
პასუხი: 5040
რიგის ორგანიზების შესაძლო გზების საერთო რაოდენობა არის 7 განსხვავებული ელემენტის პერმუტაცია.
სავარჯიშო 4
ფოტოგრაფი ასწორებს თავის კამერას სკამზე მოწყობილი 5 ბავშვის გადასაღებად. ამ ჯგუფში არის 3 გოგო და 2 ბიჭი. ბავშვების შესაძლო მოწყობა ფოტოზე იქნება:
თუ გავითვალისწინებთ იმ პოზიციებს, რომლებშიც ბავშვებს შეუძლიათ სკამზე ჯდომა, რამდენი ხერხით შეუძლია ფოტოგრაფს მოაწყოს ბიჭები და გოგოები, მიიღოს სხვადასხვა ფოტოები?
პასუხი: 10
ეს არის პერმუტაციის შემთხვევა განმეორებითი ელემენტებით. პერმუტაციების ჯამური რაოდენობა უნდა გავყოთ ნამრავლზე იმ ელემენტების პერმუტაციებს შორის, რომლებიც მეორდება.
სავარჯიშო 5
რამდენი ანაგრამის გაკეთება შეიძლება სიტყვა PREFEITURA-ს ასოებით?
პასუხი: 907 200
სიტყვა CITY HALL-ს აქვს 10 ასო, რომელთაგან ზოგიერთი მეორდება. ასო E ჩნდება ორჯერ, ისევე როგორც R.
ჩვენ ვიანგარიშებთ გაყოფას 10 ელემენტის პერმუტაციას შორის და ვყოფთ განმეორებითი ელემენტების პერმუტაციების ნამრავლზე.
სავარჯიშო 6
(UEMG 2019) სიტყვა PONTA-ს ასოების ყველა პერმუტაციის სიმრავლიდან, ერთი ამოღებულია შემთხვევით. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ამოიღონ სიტყვა, რომელიც იწყება და მთავრდება ხმოვანებით?
ა) 1/20
ბ) 1/10
გ) 1/6
დ) 1/5
Ნაბიჯი 1: ყველა პერმუტაციის რაოდენობა სიტყვის PONTA ასოებით.
ვინაიდან ხუთი განსხვავებული ასოა, გვაქვს:
ნაბიჯი 2: პერმუტაციების რაოდენობა, რომელიც იწყება და მთავრდება ხმოვანებით.
პირველი ასოსთვის არის ორი ხმოვანი ვარიანტი, ბოლო ასოსთვის იქნება მხოლოდ 1.
თანხმოვნებისთვის არის 3! შესაძლებლობები.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
ნაბიჯი 3: განსაზღვრეთ ალბათობის კოეფიციენტი.
სავარჯიშო 7
(EsPCex 2012) 1, 2, 3, 4, 5 ციფრების ერთ-ერთი პერმუტაციის შემთხვევით არჩევისას ორზე იყოფა რიცხვის მიღების ალბათობა არის
ა) 1/5
ბ) 2/5
გ) 3/4
დ) 1/4
ე) 1/2
Ნაბიჯი 1: მთლიანი პერმუტაციები.
ვინაიდან ხუთი განსხვავებული ელემენტია, გვაქვს, რომ 5 ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობა უდრის 5 ფაქტორიალს.
ნაბიჯი 2: რიცხვების პერმუტაციები, რომლებიც იყოფა ორზე ხუთი ციფრით.
ორზე გაყოფის პირობაა, რომ ის ლუწი იყოს. ამრიგად, ბოლო ციფრის ორი ვარიანტია, 2 და 4.
დანარჩენი პოზიციებისთვის არის 4! შესაძლებლობები.
ნაბიჯი 3: ალბათობის გაანგარიშება.
სავარჯიშო 8
(EsFCEx 2022) დავუშვათ P არის 1, 3, 6, 9, 12 მიმდევრობის პერმუტაციების სიმრავლე, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება 1-ისგან. თუ ამ მიმდევრებიდან ერთ-ერთი შემთხვევით არის შედგენილი, ალბათობა იმისა, რომ მეორე წევრი არის 3, უდრის p/q, p, q ∈ IN* და gcd (p, q) = 1. მაშასადამე, q – p უდრის
ა) 13.
ბ) 15.
გ) 12.
დ) 14.
ე) 11.
Ნაბიჯი 1: განსაზღვრეთ საერთო შესაძლო შემთხვევების რაოდენობა ნიმუშის სივრცეში.
მარჯვნიდან მარცხნივ, პირველი რიცხვი არ შეიძლება იყოს ერთი, ამიტომ არის 4 შესაძლებლობა პირველი პოზიციის დასაკავებლად.
არის 4 დანარჩენი პოზიციების დასაკავებლად! შესაძლებლობები.
პერმუტაციებია:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
ნაბიჯი 2: განსაზღვრავს მოვლენის დადგომის შესაძლებლობებს, მეორე არის სამი, პირველი განსხვავდება ერთისგან.
პერმუტაციებია:
3.1.3.2.1 = 18
ნაბიჯი 3: ალბათობის თანაფარდობა.
ალბათობის თანაფარდობა არის:
p = 18-ით და q = 96-ით.
თუმცა, ჯერ კიდევ არსებობს პირობა, რომ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი p-სა და q-ს შორის არის 1, რაც არ გვხვდება 18-სა და 96-ში.
ჩვენ უნდა გავამარტივოთ და გამოვცადოთ 18/96-ის ექვივალენტური წილადები.
ნაბიჯი 4: ალბათობის წილადის გამარტივება და p და q-ის განსაზღვრა.
როგორც gcd (3, 16) = 1, p = 3 და q = 16.
ნაბიჯი 5: დასკვნა.
q - p = 16 - 3 = 13
შეიტყვეთ მეტი პერმუტაცია.
მეტი სავარჯიშოებისთვის იხილეთ:
კომბინაციური ანალიზის სავარჯიშოები
ASTH, რაფაელ. ამოხსნილი და ახსნილი პერმუტაციის სავარჯიშოები.ყველა მატერია, [n.d.]. Ხელმისაწვდომია: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. წვდომა აქ:
ნახე შენც
- კომბინატორული ანალიზი
- კომბინატორიული ანალიზის სავარჯიშოები
- პერმუტაცია: მარტივი და განმეორებით
- განლაგება მათემატიკაში: რა არის ეს, როგორ გამოვთვალოთ, მაგალითები
- 27 საბაზო მათემატიკის სავარჯიშო
- კომბინაცია მათემატიკაში: როგორ გამოვთვალოთ და მაგალითები
- ალბათობის სავარჯიშოები
- ალბათობა
