ა დაფესვიანება ეს არის მათემატიკური ოპერაცია, ისევე როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა და გაძლიერება. ისევე, როგორც გამოკლება არის შეკრების შებრუნებული მოქმედება და გაყოფა არის გამრავლების შებრუნებული მოქმედება, რადიაცია არის გაძლიერების შებრუნებული მოქმედება. ამგვარად, რეალური დადებითი x-ისთვის და y-სთვის და მთელი n-სთვის (2-ზე მეტი ან ტოლი), თუ x ამაღლებული n-ზე უდრის y-ს, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ y-ის n-ე ფესვი უდრის x-ს. მათემატიკური აღნიშვნით: \(x^n=y\მარჯვენა ისარი\sqrt[n]{y}=x\).
წაიკითხეთ ასევე:წილადების გაძლიერება და გამოსხივება - როგორ გავაკეთოთ ეს?
რეზიუმე დაფესვიანების შესახებ
Rootification არის მათემატიკური ოპერაცია.
გამოსხივება და გაძლიერება არის შებრუნებული ოპერაციები, ანუ დადებითი x და y, \(x^n=y\მარჯვენა ისარი\sqrt[n]{y}=x\).
y რიცხვის n-ე ფესვის გამოთვლა ნიშნავს x რიცხვის პოვნას ისე, რომ x გაზრდილი n-მდე y-ის ტოლი იყოს.
ფესვის წაკითხვა დამოკიდებულია ინდექსზე n. თუ n = 2, ჩვენ მას ვუწოდებთ კვადრატულ ფესვს, ხოლო თუ n = 3, ჩვენ ვუწოდებთ მას კუბურ ფესვს.
რადიკალებთან ოპერაციებში ჩვენ ვიყენებთ ტერმინებს იგივე ინდექსით.
რადიაციას აქვს მნიშვნელოვანი თვისებები, რაც ხელს უწყობს მის გამოთვლას.
ვიდეო გაკვეთილი ფესვების შესახებ
ფესვის წარმოდგენა
დასაფესვიანებლად გამოსაყენებლად, ჩვენ უნდა გავითვალისწინოთ სამი ელემენტი: რადიკანდი, ინდექსი და ფესვი. სიმბოლო \(√\) რადიკალს უწოდებენ.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
ამ მაგალითში, y არის რადიკანდი, n არის ინდექსი და x არის ფესვი. იკითხება "y-ის n-ე ფესვი არის x". ხოლო x და y წარმოადგენენ დადებით რეალურ რიცხვებს, n წარმოადგენს მთელ რიცხვს, რომელიც ტოლია ან მეტია 2-ზე. მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ n = 2-ისთვის, ინდექსი შეიძლება გამოტოვდეს. ასე, მაგალითად, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ გამოსხივება რადიკანდის გამოყენებით წილადის მაჩვენებლით. ფორმალურად, ჩვენ ვამბობთ, რომ n-ე ფესვი \(y^m\) შეიძლება დაიწეროს, როგორც y გაზრდილი წილადის მაჩვენებელზე \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
იხილეთ მაგალითები:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
განსხვავებები რადიაციასა და გაძლიერებას შორის
გაძლიერება და გამოსხივება არის შებრუნებული მათემატიკური მოქმედებები. ეს ნიშნავს, რომ თუ \(x^n=y\), მაშინ \(\sqrt[n]{y}=x\). რთული ჩანს? მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.
თუ \(3^2=9\), მაშინ \(\sqrt[2]{9}=3\).
თუ \(2^3=8\), მაშინ \(\sqrt[3]{8}=2\).
თუ \(5^4=625\), მაშინ \(\sqrt[4]{625}=5\).
როგორ წავიკითხოთ root?
ფესვის წასაკითხად, ჩვენ უნდა გავითვალისწინოთ ინდექსი ნ. თუ n = 2, ჩვენ მას კვადრატულ ფესვს ვუწოდებთ. თუ n = 3, ჩვენ მას კუბის ფესვს ვუწოდებთ. ღირებულებებისთვის ნ უფრო დიდი, ჩვენ ვიყენებთ ნომენკლატურას რიგითი რიცხვებისთვის: მეოთხე ფესვი (თუ n = 4), მეხუთე ფესვი (თუ n = 5) და ა.შ. იხილეთ რამდენიმე მაგალითი:
\(\sqrt[2]{9}\) - კვადრატული ფესვი 9-დან.
\(\sqrt[3]{8}\) - კუბური ფესვი 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – 625-ის მეოთხე ძირი.
როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის ფესვი?
ქვემოთ ვნახავთ, როგორ გამოვთვალოთ დადებითი რეალური რიცხვის ფესვი. რიცხვის ფესვის გამოსათვლელად, უნდა განვიხილოთ დაკავშირებული შებრუნებული ოპერაცია. ანუ, თუ ვეძებთ y რიცხვის n-ე ფესვს, უნდა მოვძებნოთ რიცხვი x ისე, რომ \(x^n=y\).
y-ის (ანუ რადიკანდის) მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ეს პროცესი შეიძლება იყოს მარტივი ან შრომატევადი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს, თუ როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის ფესვი.
მაგალითი 1:
რა არის 144-ის კვადრატული ფესვი?
რეზოლუცია:
მოდით დავურეკოთ ნომერს, რომელსაც ვეძებთ x, ანუ, \(\sqrt{144}=x\). გაითვალისწინეთ, რომ ეს ნიშნავს x რიცხვის ძიებას ისე, რომ \(x^2=144\). მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე შესაძლებლობა ნატურალური რიცხვებით:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
ამიტომ, \(\sqrt{144}=12\).
მაგალითი 2:
რა არის 100-ის კუბური ფესვი?
რეზოლუცია:
მოდით დავურეკოთ ნომერს, რომელსაც ვეძებთ x, ანუ, \(\sqrt[3]{100}=x\). Ეს ნიშნავს რომ \(x^3=100\). მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე შესაძლებლობა:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ვეძებთ რიცხვს, რომელიც არის 4-დან 5-მდე, როგორც \(4^3=64\) Ეს არის \(5^3=125\). მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე შესაძლებლობა 4-დან 5-მდე რიცხვებით:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
როგორც \(4,6^3 \) არის რიცხვი ახლოს და 100-ზე ნაკლები, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ 4.6 არის 100-ის კუბურ ფესვის მიახლოება. ამიტომ, \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
Მნიშვნელოვანი:როდესაც ფესვი რაციონალური რიცხვია, ჩვენ ვამბობთ, რომ ფესვი ზუსტია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფესვი არ არის ზუსტი. ზემოთ მოცემულ მაგალითში ჩვენ განვსაზღვრავთ დიაპაზონს ზუსტ ფესვებს შორის, სადაც არის მოძიებული ფესვი:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
ეს სტრატეგია ძალიან სასარგებლოა ფესვის მიახლოების გამოსათვლელად.
ოპერაციები რადიკალებთან
რადიკალებთან ოპერაციებში ჩვენ ვიყენებთ ტერმინებს იგივე ინდექსით. ამის გათვალისწინებით, ყურადღებით წაიკითხეთ შემდეგი ინფორმაცია.
→ შეკრება და გამოკლება რადიკალებს შორის
რადიკალებს შორის შეკრების ან გამოკლების ამოსახსნელად, თითოეული რადიკალის ფესვი ცალკე უნდა გამოვთვალოთ.
მაგალითები:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Მნიშვნელოვანი: შეკრების და გამოკლების ოპერაციებში რადიკალების შესრულება შეუძლებელია. გაითვალისწინეთ, რომ, მაგალითად, ოპერაცია \(\sqrt4+\sqrt9\) იწვევს სხვადასხვა რაოდენობას \(\sqrt{13}\), მაშინაც კი როცა \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ გამრავლება და გაყოფა რადიკალებს შორის
რადიკალებს შორის გამრავლების ან გაყოფის ამოსახსნელად შეგვიძლია გამოვთვალოთ თითოეული რადიკალის ფესვი ცალ-ცალკე, მაგრამ ასევე გამოვიყენოთ გამოსხივების თვისებები, რასაც ქვემოთ ვნახავთ.
მაგალითები:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
რა თვისებები აქვს რადიაციას?
→ გამოსხივების თვისება 1
თუ y დადებითი რიცხვია, მაშინ n-ის ფესვი \(y^n\) უდრის y-ს.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
იხილეთ მაგალითი:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
ეს თვისება ფართოდ გამოიყენება რადიკალების გამონათქვამების გასამარტივებლად.
→ გამოსხივების თვისება 2
პროდუქტის n-ე ფესვი \(y⋅z\) უდრის y და z-ის n-ე ფესვების ნამრავლს.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
იხილეთ მაგალითი:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Მნიშვნელოვანი: როდესაც ვიანგარიშებთ დიდი რიცხვის ფესვს, ეს ძალიან სასარგებლოა რადიკანდის ფაქტორი (დაშლა) მარტივ რიცხვებად და გამოიყენეთ თვისებები 1 და 2. იხილეთ შემდეგი მაგალითი, რომელშიც გვინდა გამოვთვალოთ \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Ამგვარად,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ საკუთრება 3დაფესვიანების
კოეფიციენტის n-ე ფესვი \(\frac{y}z\), თან \(z≠0\), უდრის y და z-ის n-ე ფესვების კოეფიციენტს.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
იხილეთ მაგალითი:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ გამოსხივების თვისება 4
y-ის n-ე ფესვი, რომელიც გაიზარდა m მაჩვენებელზე, უდრის n-ის ფესვს \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
იხილეთ მაგალითი:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
იხილეთ ასევე: რა თვისებები აქვს გაძლიერებას?
ამოხსნილი სავარჯიშოები რადიაციაზე
კითხვა 1
(FGV) გამარტივება \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), თქვენ მიიღებთ:
ა) 0
ბ) - 23
გ) - 43
დ) - 63
დ) - 83
რეზოლუცია:
ალტერნატივა C.
გაითვალისწინეთ, რომ რადიაციის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ გვაქვს
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ განცხადების გამოხატულება როგორც
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
ვადის დაყენება \(\sqrt3\) მტკიცებულება, ჩვენ ვასკვნით, რომ
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
კითხვა 2
(ცეფეტი) რომელ რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ რიცხვი 0,75 ისე, რომ მიღებული ნამრავლის კვადრატული ფესვი იყოს 45-ის ტოლი?
ა) 2700
ბ) 2800
გ) 2900
დ) 3000
რეზოლუცია:
ალტერნატივა ა.
საძიებო რიცხვი არის x. ამრიგად, განცხადების მიხედვით,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
ამიტომ,
\(0.75⋅x=45^2\)
\(0.75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
