მრავალწევრები: რა არის ისინი, როგორ უნდა ამოხსნან, მაგალითები

ჩვენ ვიცით როგორ მრავალხმიანობა გამონათქვამი, რომელიც მიუთითებს მონომების ალგებრული ჯამი, რომლებიც არ ჰგავს ერთმანეთს, ანუ მრავალწევრი ერთი ალგებრული გამოთქმა მონომებს შორის. მონომიუმი არის ალგებრული ტერმინი, რომელსაც აქვს კოეფიციენტი და სიტყვასიტყვითი ნაწილი.

როდესაც მრავალკუთვნებს შორის მსგავსი ტერმინებია, შესაძლებელია შევასრულოთ მისი ვადების შემცირება ორი მრავალწევრის შეკრებასა და გამოკლებაში. ასევე შესაძლებელია განაწილდეს თვისების საშუალებით ორი მრავალწევრის გამრავლება. დაყოფა ხორციელდება გასაღებების მეთოდის გამოყენებით.

წაიკითხეთ ასევე: მრავალწევრის განტოლება - განტოლება, რომელსაც ახასიათებს 0-ის ტოლი მრავალკუთხედის ქონა

პოლინომები ალგებრული გამონათქვამებია, რომლებსაც მონომები გამოყოფენ შეკრებით ან გამოკლებით.

რა არის მონომები?

იმის გასაგებად, თუ რა არის მრავალწევრი, მნიშვნელოვანია, პირველ რიგში, გავიგოთ მონომიუმის მნიშვნელობა. ალგებრული გამონათქვამი ცნობილია, როგორც მონომიუმი, როდესაც აქვს რიცხვები და ასოები და მათი ექსპონატები გამოყოფილია მხოლოდ გამრავლებით. რიცხვი ცნობილია როგორც კოეფიციენტი, ხოლო ასოები და მათი ექსპონატები ცნობილია როგორც პირდაპირი ნაწილი.

მაგალითები:

• 2x² → 2 არის კოეფიციენტი; x² არის პირდაპირი ნაწილი.

• Ax5ax → √5 არის კოეფიციენტი; ცული არის ლიტერატურული ნაწილი.

• b³yz² 1 არის კოეფიციენტი; b³yz² არის პირდაპირი ნაწილი.

რა არის მრავალწევრი?

მრავალწევრი სხვა არაფერია, თუ არა მონომების ალგებრული ჯამი, ანუ, ისინი უფრო მონომები არიან, რომლებიც ერთმანეთისგან შეკრებილი ან გამოკლებითაა გამოყოფილი.

მაგალითები:

• ax² + + 3-ით

• 5c³d - 4ab + 3c²

• -2ab + b - 3xa

ზოგადად რომ ვთქვათ, პოლინომს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ტერმინი, იგი ალგებრალურად არის წარმოდგენილი:

_არაx^არა +_(n-1) x^(n-1) + +₂x² + ა₁x + ა

იხილეთ აგრეთვე: რა არის მრავალწევრის კლასები?

მრავალწევრის ხარისხი

მრავალწევრის ხარისხის მოსაძებნად, გამოვყოთ იგი ორ შემთხვევაში, როდესაც მას აქვს ერთი ცვლადი და როდესაც მას აქვს მეტი ცვლადი. მრავალწევრის ხარისხს იძლევა მისი მონომების უდიდესი ხარისხი ორივე შემთხვევაში.

საკმაოდ ხშირია მრავალწევართან მუშაობა, რომელსაც მხოლოდ ერთი ცვლადი აქვს. როდესაც ეს მოხდება, ო უფრო დიდი მონომია ხარისხი რაც მიუთითებს ხარისხზე მრავალწევრის ტოლია ცვლადის უდიდესი ექსპონენტისა:

მაგალითები:

ერთჯერადი ცვლადის მრავალარხიანი

ა) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → გაითვალისწინეთ, რომ ცვლადი x არის, ხოლო უდიდესი გამონათქვამი მას აქვს 3, ასე რომ, ეს არის 3 ხარისხის მრავალწევრი.

ბ) 2y⁵ + 4y² - 2y + 8 → ცვლადი არის y, ხოლო უდიდესი ექსპონატი არის 5, ასე რომ, ეს არის 5 ხარისხის პოლინომი.

როდესაც პოლინომს აქვს ერთზე მეტი ცვლადი მონომიაში, ამ ტერმინის ხარისხი უნდა იპოვოთ დამატება-თუკი თითოეული ცვლადის გამოხატულების ხარისხი. ამრიგად, მრავალწევრის ხარისხი, ამ შემთხვევაში, მაინც ტოლია ყველაზე დიდი მონომის ხარისხს, მაგრამ საჭიროა ვიზრუნოთ თითოეული მონომის ცვლადების ექსპონენტების დამატებაზე.

მაგალითები:

ა) 2xy + 4x²y³ - 5y⁴

თითოეული ტერმინის ლიტერატურული ნაწილის ანალიზი, ჩვენ უნდა:

xy → კლასი 2 (1 + 1)

x²y³ 5 ხარისხი 5 (2 + 3)

3 კლასი

გაითვალისწინეთ, რომ ყველაზე დიდ ტერმინს აქვს 5 ხარისხი, ასე რომ, ეს არის მე –5 ხარისხის მრავალწევრი.

ბ) 8a²b - ab + 2a²b²

თითოეული მონომიის ლიტერატურული ნაწილის ანალიზი:

a ² კლასი 3 (2 + 1)

ab² → ხარისხი 2 (1 + 1)

a²b² → კლასი 4 (2 + 2)

ამრიგად, პოლინომს აქვს 4 ხარისხი.

მრავალწევრების დამატება

რომ დამატება ორ მრავალწერტილს შორისმოდით განვახორციელოთ მსგავსი მონომების შემცირება. ორი მონომია მსგავსია, თუ მათ აქვთ თანაბარი ლიტერატურული ნაწილები. როდესაც ეს მოხდება, შესაძლებელია მრავალწევრის გამარტივება.

მაგალითი:

მოდით P (x) = 2x² + 4x + 3 და Q (x) = 4x² - 2x + 4. იპოვნეთ P (x) + Q (x) მნიშვნელობა.

2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4

მსგავსი ტერმინების პოვნა (რომლებსაც აქვთ იგივე ლიტერატურული ნაწილები):

2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4

ახლა მოდით დავამატოთ მსგავსი მონომები:

(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4

6x² + 2x +7

მრავალწევრის გამოკლება

გამოკლება დიდად არ განსხვავდება შეკრებისგან. მნიშვნელოვანი დეტალი ისაა ჯერ უნდა დავწეროთ საპირისპირო მრავალკუთხედი სანამ მსგავსი ტერმინების გამარტივებას განვახორციელებთ.

მაგალითი:

მონაცემები: P (x) = 2x² + 4x + 3 და Q (x) = 4x² - 2x + 4. გამოთვალეთ P (x) - Q (x).

პოლინომი -Q (x) არის Q (x) - ის საპირისპირო, რომ ვიპოვოთ Q (x) - ის საპირისპირო, უბრალოდ შეცვალოთ მისი თითოეული ტერმინის ნიშანი, ამიტომ ჩვენ უნდა:

-Q (x) = -4x² + 2x - 4

შემდეგ გამოვთვლით:

P (x) + (-Q (x))

2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4

მსგავსი ტერმინების გამარტივება გვაქვს:

(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)

-2x² + 6x + (-1)

-2x² + 6x - 1

მრავალწევრის გამრავლება

ორი მრავალწევრის გამრავლების შესასრულებლად ვიყენებთ ცნობილს განაწილების თვისება ორ პოლინომს შორის, მოქმედებს პირველი მრავალწევრის მონომების გამრავლება მეორეზე.

მაგალითი:

მოდით P (x) = 2a² + b და Q (x) = a³ + 3ab + 4b². გამოთვალეთ P (x) · Q (x).

P (x) · Q (x)

(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)

განაწილების თვისების გამოყენებით გვექნება:

2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²

მე -2⁵ + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³

თუ ისინი არსებობენ, შეგვიძლია გავამარტივოთ მსგავსი ტერმინები:

მე -2⁵ + 6a³b + 8a²b² + აბ + 3ab² + 4b³

გაითვალისწინეთ, რომ ერთადერთი მსგავსი მონომია მონიშნულია ნარინჯისფერში, მათ შორის გამარტივებით, პასუხად შემდეგი პოლინომი გვექნება:

მე -2⁵ + (6 + 1) აბ + 8a²b² + 3ab² + 4b³

მე -2⁵ + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

აგრეთვე წვდომა: როგორ გავაკეთოთ ალგებრული წილადის გამრავლება?

მრავალწევრის დაყოფა

შეასრულე მრავალწევრების დაყოფა შეიძლება საკმაოდ შრომატევადი იყოს, ჩვენ ვიყენებთ იმას რასაც ჰქვია გასაღებების მეთოდი, მაგრამ ამისათვის რამდენიმე მეთოდი არსებობს. ორი მრავალწევრის დაყოფა მხოლოდ მაშინ არის შესაძლებელი, თუ გამყოფის ხარისხი უფრო მცირეა. P (x) მრავალწევრის დაყოფით D (x) მრავალწევრისთვის, ჩვენ ვეძებთ პოლინომს Q (x), მაგალითად:

ამრიგად, დაყოფის ალგორითმით, გვაქვს: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

P (x) დივიდენდი

D (x) გამყოფი

Q (x) კოეფიციენტი

R (x) დარჩენილი

განყოფილების მუშაობისას, P (x) პოლინომი იყოფა პოლინომზე D (x), თუ დარჩენილი ნულოვანია.

მაგალითი:

მოდით ვიმოქმედოთ პოლინომის P (x) = 15x² + 11x + 2 დაყოფით მრავალწევრის D (x) = 3x + 1.

ჩვენ გვინდა გავაზიაროთ:

(15x² + 11x + 2): (3x + 1)

პირველი ნაბიჯი: ჩვენ გავყოფთ დივიდენდის პირველ მონოუმს გამყოფის პირველთან:

15x²: 3x = 5x

მე -2 ნაბიჯი: ვამრავლებთ 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x და გამოვაკლებთ P (x) შედეგს. გამოკლების შესასრულებლად აუცილებელია გამრავლების შედეგის ნიშნების შემობრუნება, მრავალწევრის პოვნა:

მე -3 ნაბიჯი: ჩვენ ვასრულებთ გამოკლების პირველი ტერმინის დაყოფას გამყოფი პირველი ტერმინისთვის:

6x: 3x = 2

მე -4 ნაბიჯი: ასე რომ, ჩვენ გვაქვს (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.

ამიტომ, ჩვენ უნდა:

Q (x) = 5x + 2

R (x) = 0

წაიკითხეთ ასევე: Briot-Ruffini– ის პრაქტიკული მოწყობილობა - მრავალწევრების დაყოფა

ამოხსნილი სავარჯიშოები

Კითხვა 1 - რა უნდა იყოს m- ის მნიშვნელობა, რომ პოლინომი P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m ჰქონდეს 2 ხარისხი?

ა) 3

ბ) -3

გ) ± 3

დ) 9

ე) -9

რეზოლუცია

ალტერნატივა A

იმისათვის, რომ P (x) გქონდეს 2 ხარისხი, x³ კოეფიციენტი უნდა იყოს ნულის ტოლი, ხოლო x² კოეფიციენტი უნდა განსხვავდებოდეს ნულისგან.

ასე რომ, ჩვენ გავაკეთებთ:

მ² - 9 = 0

m² = 9

მ = ± 9

მ = ± 3

მეორეს მხრივ, ჩვენ გვაქვს ეს m + 3 0.

ასე რომ, მ ≠ -3.

ამრიგად, პირველი განტოლების ამოხსნად გვაქვს, რომ m = 3 ან m = -3, თუმცა მეორისთვის გვაქვს m ≠ -3, ამიტომ ერთადერთი გამოსავალი, რაც P (x) აქვს 2 ხარისხის, არის: m = 3

კითხვა 2 - (IFMA 2017) ფიგურის პერიმეტრი შეიძლება დაიწეროს მრავალწევრის მიერ:

ა) 8x + 5

ბ) 8x + 3

გ) 12 + 5

დ) 12x + 10

ე) 12x + 8

რეზოლუცია

ალტერნატივა დ

სურათიდან, როდესაც მოცემულ სიგრძეს და სიგანეს ვაანალიზებთ, ვიცით, რომ პერიმეტრი არის ყველა გვერდის ჯამი. რადგან სიგრძე და სიმაღლე ერთნაირია, ჩვენ უბრალოდ გავამრავლებთ მოცემული მრავალწევრის ჯამს 2-ზე.

2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი