პროგრესიები: რა არის ეს, ტიპები, ფორმულები, მაგალითები

ჩვენ ვიცით როგორ პროგრესიები განსაკუთრებული შემთხვევები რიცხვების მიმდევრობა. პროგრესირების ორი შემთხვევაა:

• არითმეტიკული პროგრესიით

• გეომეტრიული პროგრესია

იმისათვის, რომ იყოს პროგრესია, საჭიროა გავაანალიზოთ თანმიმდევრობის მახასიათებლები თუ არსებობს მიზეზი, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ. როდესაც პროგრესია არითმეტიკა, მიზეზი სხვა არაფერია, თუ არა მუდმივი, რომელსაც ვუმატებთ ტერმინს, რათა თანმიმდევრობით ვიპოვოთ მისი მემკვიდრე; ახლა, როდესაც პროგრესირებით მუშაობს გეომეტრიული, მიზეზს მსგავსი ფუნქცია აქვს, მხოლოდ ამ შემთხვევაში მიზეზია მუდმივი ტერმინი, რომლითაც ჩვენ მიმდევრობით ვამრავლებთ ტერმინს მისი მემკვიდრის მოსაძებნად.

Იმის გამო პროგნოზირებადი ქცევა პროგრესიით, ამ მიმდევრობებში არსებობს სპეციალური ფორმულები ნებისმიერი ტერმინის პოვნისა და ასევე შესაძლებელია a თითოეული მათგანის ფორმულა (ეს არის ერთი არითმეტიკული პროგრესიისა და ერთი გეომეტრიული პროგრესისთვის) ჯამის გამოსათვლელად. დანარა ამ პროგრესის პირველი პირობები.

წაიკითხეთ ასევე: ფუნქციები - რა არის ისინი და რისთვის იყენებენ?

ლობიოს რაოდენობა ერთ მოსავალზე გეომეტრიული პროგრესირების მსგავსად იქცევა

რიცხვების თანმიმდევრობა

იმის გასაგებად, თუ რა არის პროგრესი, ჯერ უნდა გვესმოდეს, რა არის ეს რიცხვების მიმდევრობა. როგორც სახელი გვთავაზობს, ჩვენ ვიცით რიცხვების თანმიმდევრობა a რიცხვების ერთობლიობა, რომლებიც პატივს სცემენ წესრიგს, კარგად განსაზღვრული თუ არა. განსხვავებით ადგენს რიცხვითი თანმიმდევრობით, რიცხვითი თანმიმდევრობით, წესრიგი აუცილებელია, მაგალითად:

თანმიმდევრობა (1, 2, 3, 4, 5) განსხვავდება (5, 4, 3, 2, 1), რომელიც განსხვავდება მიმდევრობისგან (1, 5, 4, 3, 2). მაშინაც კი, თუ ელემენტები ერთი და იგივეა, რადგან რიგი განსხვავებულია, ამიტომ ჩვენ სხვადასხვა თანმიმდევრობა გვაქვს.

მაგალითები:

ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ თანმიმდევრობა, რომელთა წარმონაქმნების ნახვა ადვილია:

ა) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) even ლუწი რიცხვების თანმიმდევრობა 12-ზე ნაკლები ან ტოლი.

ბ) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) d კენტი რიცხვების რეგრესიული თანმიმდევრობა 17 – დან 5 – მდე.

გ) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13) → ცნობილი როგორც ფიბონაჩის თანმიმდევრობა.

დ) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → თუმცა ამ თანმიმდევრობის აღწერა სხვების მსგავსად შეუძლებელია, ადვილია იმის პროგნოზირება, თუ რა იქნება მისი შემდეგი ტერმინები.

სხვა შემთხვევაში, მიმდევრობას შეიძლება ჰქონდეს ტოტალური შემთხვევითი მნიშვნელობაყოველ შემთხვევაში, უნდა იყოს თანმიმდევრობა, რა მნიშვნელობა აქვს დალაგებული მნიშვნელობების ერთობლიობას.

1-მდე; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

ბ) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

რამდენადაც შეუძლებელია ვიწინასწარმეტყველოთ b ასოში შემდეგი ტერმინები, ჩვენ მაინც ვმუშაობთ გაგრძელებაზე.

Ზოგადად, სტრიქონები ყოველთვის არის ფრჩხილებში (), შემდეგი გზით:

(₁, ა₂,₃, ა₄,₅, ა₆, ა₇, ა₈ …) უსასრულო თანმიმდევრობა

(₁, ა₂,₃, ა₄,₅, ა₆, ა₇, ა₈ ა_არა) → სასრული თანმიმდევრობა

ორივეში გვაქვს შემდეგი წარმომადგენლობა:

₁ პირველი ტერმინი

₂ → მეორე ვადა

₃ → მესამე ვადა

.

.

.

_არა მეცხრე ვადა

დაკვირვება: დიდი მნიშვნელობა აქვს იმას, რომ თანმიმდევრობის წარმოდგენისას მონაცემები ფრჩხილებში იყოს ჩასმული. თანმიმდევრობის აღნიშვნა ხშირად ერევა მითითებული აღნიშვნით. კომპლექტი წარმოდგენილია საყრდენებში, და ნაკრებში წესრიგი არ არის მნიშვნელოვანი, რაც ამ შემთხვევაში ყველა განსხვავებას ქმნის.

(1, 2, 3, 4, 5) მიმდევრობა

{1, 2, 3, 4, 5} დაყენებულია

თანმიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევებია, რომლებიც ცნობილია, როგორც პროგრესიები.

იხილეთ აგრეთვე: რა არის დათვლის ფუნდამენტური პრინციპი?

რა არის პროგრესიები?

თანმიმდევრობა განისაზღვრება, როგორც პროგრესია, როდესაც მას აქვს a კანონზომიერება ერთი ტერმინიდან მეორეში, ცნობილია როგორც მიზეზი. პროგრესირების ორი შემთხვევაა, არითმეტიკული პროგრესირება და გეომეტრიული პროგრესია. იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა განვასხვაოთ თითოეული მათგანი, უნდა გვესმოდეს რა არის პროგრესირების მიზეზი და როგორ ურთიერთქმედებს ეს მიზეზი თანმიმდევრობის პირობებთან.

როდესაც თანმიმდევრობით ერთი ტერმინიდან მეორეზე მაქვს ა მუდმივი ჯამი, ეს თანმიმდევრობა განისაზღვრება, როგორც პროგრესია, და ამ შემთხვევაში ის არის a არითმეტიკული პროგრესიით. ეს მნიშვნელობა, რომელსაც მუდმივად ვამატებთ, ცნობილია, როგორც შეფარდება. სხვა შემთხვევა, ანუ როდესაც თანმიმდევრობა არის a გეომეტრიული პროგრესია, ერთი ტერმინიდან მეორეზე არსებობს გამრავლება მუდმივი მნიშვნელობით. ანალოგურად, ეს მნიშვნელობა არის გეომეტრიული პროგრესიის თანაფარდობა.

მაგალითები:

ა) (1, 4, 7, 10, 13, 16) → ვამჩნევთ, რომ ჩვენ ყოველთვის ვამატებთ 3-ს ერთი ტერმინიდან მეორეში, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს თანაფარდობის არითმეტიკული პროგრესია

ბ) (1, 10, 100, 1000, 10000) case ამ შემთხვევაში ჩვენ ყოველთვის ვამრავლებთ 10-ზე ერთი ტერმინიდან მეორეზე და საქმე გვაქვს 10 თანაფარდობის გეომეტრიულ პროგრესიასთან.

გ) (0, 2, 8, 26…) the ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, მხოლოდ ერთი თანმიმდევრობაა. შემდეგი ტერმინის მოსაძებნად, ტერმინს ვამრავლებთ 3-ზე და ვამატებთ 2-ს. ამ შემთხვევაში, მიუხედავად იმისა, რომ არსებობს კანონზომიერება შემდეგი ტერმინების პოვნისა, ეს მხოლოდ თანმიმდევრობაა და არა არითმეტიკული ან გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიით

როდესაც რიცხვების მიმდევრობებთან ვმუშაობთ, ის მიმდევრობები, რომლებშიც მათი შემდეგი ტერმინების პროგნოზირება შეგვიძლია, საკმაოდ განმეორებადია. ამ თანმიმდევრობით რომ კლასიფიცირდეს როგორც არითმეტიკული პროგრესიით, საჭიროა არსებობდეს ა მიზეზი ა პირველი ტერმინიდან შემდეგი ტერმინია აგებულია წინა ვადის ჯამით მიზეზით რ.

მაგალითები:

ა) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

ეს არის თანმიმდევრობა, რომელიც შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც არითმეტიკული პროგრესია, რადგან მიზეზი რ = 3 და პირველი ტერმინი არის 4.

ბ) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია, რომელსაც აქვს კარგი მიზეზი. რ = -5, ხოლო მისი პირველი ვადაა 7.

• PA- ს პირობები

ხშირ შემთხვევაში, ჩვენი ინტერესია პროგრესის კონკრეტული ტერმინის მოძებნა, მთლიანი თანმიმდევრობის დანიშვნის გარეშე. პირველი ტერმინის მნიშვნელობისა და შეფარდების ცოდნით, არითმეტიკული პროგრესიით შესაძლებელია ნებისმიერი ტერმინის მნიშვნელობის პოვნა. არიმეტული პროგრესიის პირობების დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

_არა =₁+ (n - 1) რ

მაგალითი:

იპოვნეთ P.A 25-ე ტერმინი, რომლის თანაფარდობაა 3 და პირველი ტერმინი არის 12.

მონაცემები რ = 3,₁ = 12. ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ 25-ე ტერმინი, ანუ n = 25.

_არა =₁+ (n - 1) რ

₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

₂₅ = 12 + 24 · 3

₂₅ = 12 + 72

₂₅ = 84

• პ.ა.-ს ზოგადი ვადა

ზოგადი ტერმინის ფორმულა არის a AP ტერმინის ფორმულის გამარტივების გზა უფრო სწრაფად იპოვონ ნებისმიერი პროგრესიული ტერმინი. მას შემდეგ, რაც პირველი ტერმინი და მიზეზი ცნობილი იქნება, საკმარისია ფორმულაში ჩავანაცვლოთ P.A. ტერმინი, რათა არითმეტიკული პროგრესიის ზოგადი ტერმი ვიპოვოთ, რაც დამოკიდებულია მხოლოდ არა.

მაგალითი:

იპოვნეთ P.A– ს ზოგადი ტერმინი, რომელსაც აქვს რ = 3 და₁ = 2.

_არა = 2 + (n -1) რ

_არა = 2 + (n -1) 3

_არა = 2 + 3n - 3

_არა = 2n - 1

ეს არის P.A– ს ზოგადი ტერმინი, რომელიც ემსახურება ამ პროგრესიაში ნებისმიერი ტერმინის პოვნას.

• PA– ს პირობების ჯამი

PA– ს პირობების ჯამი საკმაოდ შრომატევადი იქნებოდა, თუკი საჭირო იქნებოდა თითოეული მისი ტერმინების პოვნა და მათი დამატება. ყველათა ჯამის გამოთვლის ფორმულა არსებობს არა არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ტერმინები:

მაგალითი:

იპოვნეთ ყველა უცნაური რიცხვების ჯამი 1-დან 100-მდე.

ჩვენ ვიცით, რომ უცნაური რიცხვები არის 2: (1, 3, 5, 7… 99) არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესიაში 50 ტერმინია, რადგან 1-დან 100-მდე რიცხვების ნახევარი ლუწია, ხოლო მეორე ნახევარი უცნაურია.

ამიტომ, ჩვენ უნდა:

n = 50

₁ = 1

_არა = 99

აგრეთვე წვდომა: 1 ხარისხის ფუნქცია - არითმეტიკული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენება

გეომეტრიული პროგრესია

სტრიქონი ასევე შეიძლება კლასიფიცირდეს, როგორც progression გეომეტრიული (PG) იმისათვის, რომ მიმდევრობა იყოს გეომეტრიული პროგრესია, მას უნდა ჰქონდეს მიზეზი, მაგრამ ამ შემთხვევაში, პირველი ტერმიდან შემდეგი ტერმინის პოვნა, ჩვენ ვასრულებთ კოეფიციენტის გამრავლება წინა ტერმინზე.

მაგალითები:

ა) (3, 6, 12, 24, 48) ratio თანაფარდობის 2 გეომეტრიული პროგრესია და მისი პირველი ტერმინია 3.

ბ) (20, 200, 2000, 20 000) ratio თანაფარდობის 10 გეომეტრიული პროგრესია და მისი პირველი ტერმინია 20.

• PG– ს ვადა

გეომეტრიული პროგრესიით, ჩვენ წარმოვადგენთ წერილის მიზეზს რა. გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

_არა =₁ · რა^{n - 1}

მაგალითი:

იპოვნეთ PG– ის მე –10 ვადა, ამის ცოდნა რა = 2 და₁ = 5.

_არა =₁ · რა^{n - 1}

₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

₁₀ = 5 · 2⁹

₁₀ = 5 · 512

₁₀ = 2560

• PG– ს ზოგადი ვადა

როდესაც ვიცით პირველი ტერმინი და მიზეზი, შესაძლებელია ზოგადი ტერმინის ფორმულის გენერირება გეომეტრიული პროგრესიიდან, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ არა. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ უნდა შეცვალოთ პირველი ტერმინი და თანაფარდობა, და ჩვენ ვიპოვით განტოლებას, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ არა.

წინა მაგალითის გამოყენებით, სადაც თანაფარდობაა 2 და პირველი ტერმინი არის 5, ამ GP– ს ზოგადი ტერმინია:

_არა =₁ · რა^{n - 1}

_არა = 5 · 2^{n - 1}

• PG– ის პირობების ჯამი

პროგრესირების ყველა პირობის დამატება დიდ შრომას მოითხოვს. ხშირ შემთხვევაში, ამ თანხის მისაღწევად მთელი თანმიმდევრობის დაწერა შრომატევადია. ამ გაანგარიშების გასაადვილებლად, გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ფორმულა, რომელიც ემსახურება გამოთვლას ჯამი არა პირველი ელემენტები სასრული PG:

მაგალითი:

იპოვნეთ GP- ის პირველი 10 ტერმინების ჯამი (1, 2, 4, 8, 16, 32).

გაითვალისწინეთ, რომ ამ PG- ის თანაფარდობა ტოლია 2-ის.

₁ = 1

რა = 2

არა = 10

წაიკითხეთ ასევე: ექსპონენციალური ფუნქცია - გეომეტრიული პროგრესიის პრაქტიკული გამოყენება

ამოხსნილი სავარჯიშოები

Კითხვა 1 - მეცნიერები რამდენიმე დღის განმავლობაში აკვირდებიან ბაქტერიების კონკრეტულ კულტურას. ერთ-ერთი მათგანი აანალიზებს ამ პოპულაციის ზრდას და მან შენიშნა, რომ პირველ დღეს 100 ბაქტერია იყო. მეორეში, 300 ბაქტერია; მესამეში, 900 ბაქტერია და ა.შ. ამ თანმიმდევრობის გაანალიზებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის:

ა) არითმეტიკული პროგრესის მიზეზი 200.

ბ) 200-ის შეფარდების გეომეტრიული პროგრესიით.

გ) არიმეტული პროგრესის მიზეზი 3.

დ) 3-ის თანაფარდობის გეომეტრიული პროგრესიით.

ე) თანმიმდევრობა, მაგრამ არა პროგრესირება.

რეზოლუცია

ალტერნატივა დ.

თანმიმდევრობის გაანალიზებით, ჩვენ გვაქვს ტერმინები:

გაითვალისწინეთ, რომ 900/300 = 3, ასევე 300/100 = 3. ამიტომ, ჩვენ ვმუშაობთ 3 თანაფარდობის PG– ით, რადგან პირველი ტერმინიდან სამზე ვამრავლებთ.

კითხვა 2 - (Enem - PPL) დამწყებთათვის სირბილში განისაზღვრა შემდეგი ყოველდღიური ტრენინგის გეგმა: პირველ დღეს გაიქეცი 300 მეტრი, ხოლო მეორედან გაიზარდა დღეში 200 მეტრი. მისი შესრულების დასათვლელად, ის გამოიყენებს ჩიპს, რომელიც მიმაგრებულია მის sneaker- ს, ტრენინგის მანძილზე გასაზომად. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ჩიპი, მეხსიერებაში, ინახავს მაქსიმუმ 9.5 კმ სირბილს და სიარულს, ხოლო ტრენინგის დასაწყისში უნდა განთავსდეს და გადაყარეთ მონაცემთა რეზერვის სივრცის ამოწურვის შემდეგ. თუ ეს სპორტსმენი გამოიყენებს ჩიპს ვარჯიშის პირველი დღიდან, ზედიზედ რამდენი დღის განმავლობაში შეძლებს ამ ჩიპს ყოველდღიური ვარჯიშის გეგმის გარბენის შენახვას?

ა) 7

ბ) 8

გ) 9

დ) 12

ე) 13

რეზოლუცია

ალტერნატივა B.

სიტუაციის გაანალიზებით, ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ გვაქვს PA 200 მიზეზის გამო და საწყისი შეწყვეტა უდრის 300-ს.

გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ ჯამი S_არა = 9,5 კმ = 9500 მეტრი.

ამ მონაცემებით მოდით ვიპოვოთ ტერმინი a_არა, რაც არის შენახვის ბოლო დღეს დაფიქსირებული კილომეტრის რაოდენობა.

აღსანიშნავია ისიც, რომ ნებისმიერი ტერმინი ა_არა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

_არა =₁ + (n - 1)რ

200n² + 400n - 19000 = 0 განტოლების გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ ყველა ტერმინი 200-ზე, გავამარტივოთ განტოლება და ვიპოვოთ: n² + 2n - 95 = 0.

დელტასა და ბასკარასთვის ჩვენ უნდა:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

ჩვენ ვიცით, რომ 8.75 შეესაბამება 8 დღეს და რამდენიმე საათს. ამ შემთხვევაში გაზომვის ჩატარების დღეების რაოდენობაა 8.

რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm