3 (n≤3) ნაკლები ან ტოლი წესრიგის კვადრატული მატრიცების დეტერმინანტების დეტერმინანტების გამოსათვლელად, ჩვენ გვაქვს რამდენიმე პრაქტიკული წესი ამ გამოთვლების შესასრულებლად. ამასთან, როდესაც შეკვეთა 3-ზე მეტია (n> 3), ამ წესებიდან ბევრი არ გამოიყენება.
ასე რომ, ჩვენ ვნახავთ ლაპლასის თეორემას, რომელიც კოფაქტორის კონცეფციის გამოყენებით იწვევს დეტერმინანტების გაანგარიშებას წესების ნებისმიერ კვადრატულ მატრიცებზე.
ლაპლასის თეორემა შედგება მატრიცის მწკრივების (მწკრივის ან სვეტის) ერთ-ერთი არჩევისა და ამ რიგის ელემენტების პროდუქტების მათი შესაბამისი კოფაქტორების დამატებაში.
ალგებრული ილუსტრაცია:
მოდით ვნახოთ მაგალითი:
გამოთვალეთ C მატრიცის განმსაზღვრელი ლაპლასის თეორემის გამოყენებით:
ლაპლასის თეორემის თანახმად, დეტერმინანტის გამოსათვლელად უნდა ავირჩიოთ მწკრივი (მწკრივი ან სვეტი). გამოვიყენოთ პირველი სვეტი:
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოფაქტორის მნიშვნელობები:
ამრიგად, ლაპლასის თეორემის მიხედვით, C მატრიცის განმსაზღვრელი მოცემულია შემდეგი გამოთქმით:
გაითვალისწინეთ, რომ არ იყო აუცილებელი მატრიცის ელემენტის კოფაქტორის გამოთვლა, რომელიც ნულის ტოლი იყო, ყოველივე ამის შემდეგ, როდესაც კოფაქტორს გავამრავლებთ, შედეგი მაინც იქნება ნული. ამიტომ, როდესაც მატრიცებს წავაწყდებით, რომლებსაც ერთ რიგში აქვთ მრავალი ნული, ლაპლასის თეორემის გამოყენება საინტერესო ხდება, რადგან საჭირო არ იქნება რამდენიმე გამოთვლა კოფაქტორები.
მოდით ვნახოთ ამ ფაქტის მაგალითი:
გამოთვალეთ B მატრიცის განმსაზღვრელი ლაპლასის თეორემის გამოყენებით:
გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სვეტი არის მწკრივი, რომელსაც აქვს უდიდესი რაოდენობის ნულები, ამიტომ ამ სტრიქონს გამოვიყენებთ მაპრიზის დეტერმინანტის გამოსათვლელად ლაპლასის თეორემის საშუალებით.
ამიტომ, B მატრიცის დეტერმინანტის დასადგენად, უბრალოდ იპოვნეთ კოფაქტორი A22.
აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია დავასრულოთ დეტერმინანტის გამოთვლები:
დეტ ბ = (- 1). (- 65) = 65
გაბრიელ ალესანდრო დე ოლივეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა
ბრაზილიის სკოლის გუნდი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm