მოდულური განტოლება არის a განტოლება რომ პირველ ან მეორე წევრში აქვს ტერმინები მოდულში. მოდული, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, უკავშირდება მანძილს, რომელსაც რიცხვი ნულამდე მიდის. რადგან დისტანციაზე ვსაუბრობთ, რიცხვის მოდული ყოველთვის დადებითია. მოდულური განტოლების პრობლემების გადაჭრა მოითხოვს მოდულის განსაზღვრის გამოყენებას, ჩვენ, ჩვეულებრივ, განტოლებას ვყოფთ ორი შესაძლო შემთხვევა:
როდესაც ის, რაც მოდულის შიგნით არის პოზიტიური და
როდესაც მოდულის შიგნით უარყოფითია.
წაიკითხეთ ასევე: რა განსხვავებაა ფუნქციასა და განტოლებას შორის?
ერთი რეალური ნომრის მოდული
იმისათვის, რომ შეძლოთ მოდულური განტოლების ამოცანების ამოხსნა, საჭიროა მახსოვდეს მოდულის განმარტება. მოდული ყოველთვის იგივეა, რაც მანძილი რიცხვს ნულამდე აქვს, და რიცხვის მოდულის წარმოდგენა არა, ჩვენ ვიყენებთ პირდაპირ ზოლს შემდეგნაირად: |არა|. გამოთვლა |არა|, ჩვენ დავყოთ ორ შემთხვევაში:
ამიტომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ |არა| იგივეა რაც საკუთარი არა როდესაც ეს არის დადებითი რიცხვი ან ტოლია ნულის, და, მეორე შემთხვევაში, |
არა| საპირისპიროს ტოლია არა თუ ის უარყოფითია. გახსოვდეთ, რომ უარყოფითი რიცხვის საწინააღმდეგო ყოველთვის დადებითია, ამიტომ |არა| ყოველთვის აქვს დადებითი რიცხვის ტოლი შედეგი.მაგალითები:
ა) | 2 | = 2
ბ) | -1 | = - (- 1) = 1
იხილეთ აგრეთვე: როგორ გადავჭრათ ლოგარითმული განტოლება?
როგორ გადავჭრათ მოდულური განტოლება?
მოდულური განტოლების ამოხსნის მოსაძებნად საჭიროა თითოეული შესაძლებლობის გაანალიზება, ანუ გაყოფა, ყოველთვის ორ შემთხვევაში, თითოეული მოდული. მოდულის განსაზღვრის გარდა, მოდულური განტოლებების ამოხსნის გარდა, აუცილებელია იცოდეთ როგორ მოგვარება მრავალწევრის განტოლებები.
მაგალითი 1:
| x - 3 | = 5
ამ განტოლების გადაწყვეტის მოსაძებნად მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ არსებობს ორი შესაძლო შედეგი, რომელიც ქმნის |არა| = 5, ესენი არიან, არა = -5, რადგან | -5 | = 5, და ასევე არა = 5, რადგან | 5 | = 5 ამ იდეის გამოყენებით, ჩვენ უნდა:
I → x - 3 = 5 ან
II → x - 3 = -5
ერთ-ერთი განტოლების ცალკე გადაჭრა:
რეზოლუცია I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
რეზოლუცია II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
ასე რომ, არსებობს ორი გამოსავალი: S = {-2, 8}.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ x = 8, განტოლება მართალია, რადგან:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თუ x = -2, განტოლება ასევე მართებულია:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
მაგალითი 2:
| 2x + 3 | = 5
როგორც 1 მაგალითში, გამოსავალი უნდა მოძებნოთ იგი ორ შემთხვევაში, მოდულის განმარტების შესაბამისად.
მე → 2x + 3 = 5
II 2x + 3 = -5
რეზოლუცია I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
რეზოლუცია II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Შემდეგ დადგენილი ამონახსნებია: S = {1, -4}.
მაგალითი 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
როდესაც ორი მოდულის თანასწორობა გვაქვს, ეს უნდა დავყოთ ორ შემთხვევაში:
პირველი ნიშანი, ერთი და იგივე ნიშნის პირველი და მეორე წევრი.
საპირისპირო ნიშნების მე -2 შემთხვევა, პირველი და მეორე წევრი.
რეზოლუცია I:
ჩვენ გავაკეთებთ ორ მხარეს ნულზე მეტი, ანუ ჩვენ უბრალოდ მოვშორებთ მოდულს. ჩვენ ასევე შეგვიძლია გავაკეთოთ ორივე უარყოფითი მხარე, მაგრამ შედეგი იგივე იქნება.
X + 3 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
რეზოლუცია II:
საპირისპირო ნიშნების მხარეები. ჩვენ ვირჩევთ ერთ მხარეს პოზიტიურს, ხოლო მეორე მხარეს უარყოფითს.
Არჩევა:
| x + 3 | 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
ასე რომ, ჩვენ უნდა:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
ასე რომ, ამონახსნების ერთობლიობაა: S = {4, -2/3}.
აგრეთვე წვდომა: რა არის ირაციონალური განტოლებები?
სავარჯიშოები მოგვარებულია
Კითხვა 1 - (UFJF) მოდულური განტოლების უარყოფითი ამოხსნების რაოდენობა | 5x - 6 | = x² არის:
ა) 0
ბ) 1
გ) 2
დ) 3
ე) 4
რეზოლუცია
ალტერნატივა E
ჩვენ გვინდა მოვაგვაროთ მოდულური განტოლება:
| 5x - 6 | = x²
მოდით, გავყოთ ის ორ შემთხვევაში:
რეზოლუცია I:
5x - 6> 0 | 5x - 6 | = 5x - 6
ასე რომ, ჩვენ უნდა:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
გახსოვდეთ, რომ დელტა მნიშვნელობა გვეუბნება რამდენი ამოხსნა აქვს კვადრატულ განტოლებას:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
მას შემდეგ, რაც 1 დადებითია, ამ შემთხვევაში ორი რეალური გამოსავალი არსებობს.
რეზოლუცია II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
მას შემდეგ, რაც Δ ამ შემთხვევაშიც პოზიტიურია, ორი რეალური ამოხსნა არსებობს, ამიტომ რეალური ამონახსნების ჯამია 4.
კითხვა 2 - (PUC SP) ამონახსნი S განტოლების S | 2x - 1 | = x - 1 არის:
ა) S = {0, 2/3}
ბ) S = {0, 1/3}
გ) S =
დ) S = {0, -1}
ე) S = {0, 4/3}
რეზოლუცია
ალტერნატივა A
რეზოლუცია I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
ასე რომ, ჩვენ უნდა:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
რეზოლუცია II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
