კვადრატული დასრულების მეთოდი

X რიცხვითი მნიშვნელობის პოვნის გზებს შორის, ეს პროცესი ასევე ცნობილია როგორც იპოვნეთ განტოლების ფესვები ან იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი, გამორჩეული: ბასკარას ფორმულა ეს არის მოედნების დასრულების პროცესი. ეს უკანასკნელი დღევანდელი ტექსტის ყურადღების ცენტრშია.

განტოლების ამოხსნების რაოდენობა მოცემულია მისი ხარისხით. ამიტომ, პირველი ხარისხის განტოლებებს აქვთ მხოლოდ ერთი ამოხსნა, მესამე ხარისხის განტოლებებს აქვთ სამი ამოხსნა და კვადრატულ განტოლებებს აქვთ ორი ამოხსნა, რომელსაც ასევე უწოდებენ ფესვებს..

მეორე ხარისხის განტოლებები, მათი შემცირებული ფორმით, შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ნაჯახი² + bx + c = 0

კვადრატული დასრულების მეთოდი

ამ შემთხვევაში კვადრატული განტოლება არის სრულყოფილი კვადრატული სამეული

შესანიშნავი ხარისხის პროდუქტის შედეგად მიღებული მეორე ხარისხის განტოლებები ცნობილია, როგორც სრულყოფილი კვადრატული სამეული. მისი ფესვების მოსაძებნად გამოვიყენებთ ქვემოთ აღწერილ მეთოდს:

მაგალითი: გამოთვალეთ x განტოლების ფესვები² + 6x + 9 = 0.

გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტი b არის 6 = 2 · 3. იმისათვის, რომ დაწეროთ იგი შესანიშნავი პროდუქტის სახით, შეამოწმეთ c = 3

², რაც მართალია, 3 წლიდან² = 9 = გ ამ გზით შეგვიძლია დავწეროთ:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0

გაითვალისწინეთ, რომ საყურადღებო პროდუქტი არის პროდუქტი ორ თანაბარ მრავალკუთხედს შორის. ამ განტოლების შემთხვევაში გვექნება:

(x + 3)² = (x + 3) (x + 3) = 0

პროდუქტი მხოლოდ ნულის ტოლია, როდესაც მისი რომელიმე ფაქტორი ნულის ტოლია. ამიტომ, (x + 3) (x + 3) = 0, აუცილებელია რომ (x + 3) = 0 ან (x + 3) = 0. აქედან გამომდინარეობს ორი ტოლი შედეგი x განტოლებისთვის² + 6x + 9 = 0, რომლებიც არიან: x = - 3 ან x = - 3.

Მოკლედ: x განტოლების ამოხსნა² + 6x + 9 = 0, დაწერეთ:

x² + 6x + 9 = 0

(x + 3)² = 0

(x + 3) (x + 3) = 0

x = - 3 ან x = - 3

ამ შემთხვევაში კვადრატული განტოლება არ არის სრულყოფილი კვადრატული სამეული

მეორის განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი b და c კოეფიციენტი არ აკმაყოფილებს ზემოთ დამყარებულ ურთიერთობებს, არ არის სრულყოფილი კვადრატული ტრინუმი. ამ შემთხვევაში, ზემოთ გამოკვეთილი გადაჭრის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას რამდენიმე ნაბიჯის დამატებით. გაითვალისწინეთ შემდეგი მაგალითი:

მაგალითი: გამოთვალეთ x განტოლების ფესვები² + 6x - 7 = 0.

გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება არ არის სრულყოფილი კვადრატული სამეული. ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი ოპერაციები:

გაითვალისწინეთ, რომ b = 2 · 3, ასე რომ, პირველ წევრში გამოხატვა უნდა იყოს x² + 6x + 9, რადგან ამ გამოთქმაში b = 2 · 3 და c = 3².

ამ "ტრანსფორმაციისთვის" დაამატეთ 3² ამ განტოლების ორ წევრზე, "გადასცეს" - 7 მეორე წევრს, შეასრულეთ შესაძლო მოქმედებები და დააკვირდით შედეგებს:

x² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

x² + 6x + 3² = 3² + 7

x² + 6x + 9 = 9 + 7

x² + 6x + 9 = 16

(x + 3)² = 16

√ (x + 3)² = √16

x + 3 = 4 ან x + 3 = - 4

ეს ბოლო ნაბიჯი უნდა გაიყოს ორ განტოლებად, რადგან 16-ის ფუძე შეიძლება იყოს 4 ან - 4 (ეს ხდება მხოლოდ განტოლებებში. კითხვაზე, თუ რა არის 16-ის ფუძე, პასუხია მხოლოდ 4). ასე რომ, საჭიროა ყველა შესაძლო შედეგის პოვნა. გაგრძელება:

x + 3 = 4 ან x + 3 = - 4

x = 4 - 3 ან x = - 4 - 3

x = 1 ან x = - 7

ამ შემთხვევაში კოეფიციენტი "ა" არ უდრის 1-ს

წინა შემთხვევები განკუთვნილია კვადრატული განტოლებებისთვის, სადაც კოეფიციენტი "a" უდრის 1-ს. თუ კოეფიციენტი "ა" განსხვავებულია 1-ისგან, უბრალოდ მთლიანი განტოლება გაყავით "ა" -ს მნიშვნელობაზე და გააგრძელეთ გამოთვლები ისევე, როგორც წინა შემთხვევაში.

მაგალითი: გამოთვალეთ 2x ფესვები² + 16x - 18 = 0

გაითვალისწინეთ, რომ a = 2. ასე რომ, მთლიანი განტოლება გაყავით 2-ზე და გაამარტივეთ შედეგები:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

x² + 8x - 9 = 0

ამის შემდეგ გაიმეორეთ წინა საქმის პროცედურები.

x² + 8x - 9 = 0

x² + 8x - 9 + 16 = 0 + 16

x² + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)² = 25

√ (x + 4)² = √25

x + 4 = 5 ან x + 4 = –5

x = 5 - 4 ან x = - 5 - 4

x = 1 ან x = - 9

აღსანიშნავია პროდუქტები და მეორე ხარისხის განტოლებები: კვადრატის დასრულების მეთოდის წარმოშობა

კვადრატული განტოლებები ჰგავს შესანიშნავი პროდუქტებს ჯამი კვადრატი და განსხვავების კვადრატი.

ჯამი კვადრატში, მაგალითად, ჯამია ორი მონომი კვადრატში. Უყურებს:

(x + k)² = x² + 2 კგ + კ²

ზემოაღნიშნული თანასწორობის პირველი წევრი ცნობილია, როგორც შესანიშნავი პროდუქტი და მეორე როგორ სრულყოფილი კვადრატული სამეული. ეს უკანასკნელი ძალიან ჰგავს მეორე ხარისხის განტოლებას. Უყურებს:

სრულყოფილი კვადრატული ტრინუმი: x² + 2 კგ + კ²

მეორე ხარისხის განტოლება: ნაჯახი² + bx + c = 0

ამ გზით, თუ რაიმე გზა არსებობს კვადრატული განტოლების, როგორც შესანიშნავი პროდუქტის დასაწერად, იქნებ ასევე არსებობს გზა თქვენი შედეგების მოსაძებნად ფორმულის გამოყენების გარეშე ბასკარა.

ამისათვის გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ აღნიშნულ ცნობილ პროდუქტში a = 1, b = 2 · k და c = k². ამ გზით შესაძლებელია განტოლებების დაწერა, რომლებიც ამ მოთხოვნებს აკმაყოფილებს შესანიშნავი პროდუქტის სახით.

ასე რომ, გადახედეთ კოეფიციენტებს განტოლებაში. თუ "ა" განსხვავებულია 1-ისგან, მთელი განტოლება გაყავით "ა" -ს მნიშვნელობაზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დაიცავით კოეფიციენტი "ბ". ამ კოეფიციენტის ნახევრის რიცხვითი მნიშვნელობა უნდა ტოლი იყოს კოეფიციენტის ”c” კვადრატული ფესვის რიცხვითი მნიშვნელობით. მათემატიკურად, განტოლების ცულის გათვალისწინებით² + bx + c = 0, თუ a = 1 და გარდა ამისა:

ბ = გ
2

ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს განტოლება შემდეგნაირად:

ნაჯახი² + bx + c = (x + ბ) = 0
2

და მისი ფესვები იქნება - ბ და + ბ.
2 2

აქედან გამომდინარე, ყველა თეორია გამოიყენება კვადრატული განტოლების ფესვების გამოსათვლელად კვადრატების შევსების მეთოდით.

ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm