ვექტორები: რა არის ისინი, ოპერაციები, აპლიკაციები და სავარჯიშოები

ვექტორი არის გამოსახულება, რომელიც განსაზღვრავს ვექტორული სიდიდის სიდიდეს, მიმართულებას და მიმართულებას. ვექტორები არის სწორი სეგმენტები, რომლებიც ორიენტირებულია ისრით ერთ ბოლოზე.

ვექტორებს ვასახელებთ ასოებით და პატარა ისრით.

ვექტორები ახასიათებენ ვექტორულ სიდიდეებს, რომლებიც არის სიდიდეები, რომლებსაც სჭირდებათ ორიენტაცია, ანუ მიმართულება და მიმართულება. რამდენიმე მაგალითია: ძალა, სიჩქარე, აჩქარება და გადაადგილება. რიცხვითი მნიშვნელობა არ არის საკმარისი, საჭიროა აღწეროთ სად მოქმედებს ეს რაოდენობები.

ვექტორის მოდული

ვექტორის მოდული ან ინტენსივობა არის მისი რიცხვითი მნიშვნელობა, რასაც მოჰყვება სიდიდის საზომი ერთეული, რომელიც მას წარმოადგენს, მაგალითად:

ვექტორი, რომელიც წარმოადგენს სიგრძის სიდიდეს, ორი მეტრიანი მოდულით.

ჩვენ მივუთითებთ მოდულს ზოლებს შორის, რომელიც ინახავს ისარს ან, უბრალოდ ასოს, ზოლების გარეშე და ისრის გარეშე.

ვექტორის სიგრძე მოდულის პროპორციულია. უფრო დიდი ვექტორი წარმოადგენს უფრო დიდ მოდულს.

ვექტორული მოდული არის 4 ერთეული, ხოლო ვექტორი არის 2 ერთეული.

ვექტორის მიმართულება

ვექტორის მიმართულება არის საყრდენი ხაზის დახრილობა, რომელზეც ის განისაზღვრება. თითოეული ვექტორისთვის არის მხოლოდ ერთი მიმართულება.

ვექტორების ვერტიკალური, ჰორიზონტალური და ირიბი (დახრილი) მიმართულებები.

ვექტორის გრძნობა

ვექტორის მიმართულება ნაჩვენებია ისრით. ერთი და იგივე მიმართულება შეიძლება შეიცავდეს ორ მიმართულებას, როგორიცაა ზემოთ ან ქვემოთ და მარცხნივ ან მარჯვნივ.

ვექტორები ერთნაირი, ჰორიზონტალური და საპირისპირო მიმართულებებით.

მიმართულების მიღება დადებითად, საპირისპირო მიმართულება, უარყოფითი, წარმოდგენილია მინუს ნიშნით ვექტორის სიმბოლომდე.

შედეგად ვექტორი

მიღებული ვექტორი არის ვექტორული მოქმედებების შედეგი და უდრის ვექტორთა სიმრავლეს. მოსახერხებელია ვიცოდეთ ვექტორი, რომელიც წარმოადგენს ერთზე მეტი ვექტორის მიერ წარმოქმნილ ეფექტს.

მაგალითად, სხეულს შეიძლება დაექვემდებაროს ძალების ერთობლიობა და ჩვენ გვინდა ვიცოდეთ, რა შედეგს გამოიღებს ისინი, ყველა ერთად, ამ სხეულზე. თითოეული ძალა წარმოდგენილია ვექტორით, მაგრამ შედეგი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მხოლოდ ერთი ვექტორით: შედეგიანი ვექტორით.

შედეგად მიღებული ვექტორი, , ჰორიზონტალური მიმართულებისა და მიმართულების მარჯვნივ, არის ვექტორების მიმატებისა და გამოკლების შედეგი. , , და . მიღებული ვექტორი გვიჩვენებს სხეულის ამ ორიენტაციის მოძრაობის ტენდენციას.

ვერტიკალური მიმართულების ვექტორებს აქვთ იგივე ზომა, ანუ იგივე მოდული. იმის გამო, რომ მათ აქვთ საპირისპირო მნიშვნელობა, ისინი ანადგურებენ ერთმანეთს. ეს აჩვენებს, რომ არ იქნება კრატის მოძრაობა ვერტიკალური მიმართულებით.

ვექტორების ანალიზისას და , რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მიმართულება და საპირისპირო მიმართულებები, ვხვდებით, რომ ძალის ნაწილი "რჩება" მარჯვნივ, როგორც ვექტორი. უფრო დიდია ვიდრე , ანუ მოდული უფრო დიდია.

მიღებული ვექტორის დასადგენად ვასრულებთ ვექტორის შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციებს.

ერთნაირი მიმართულების ვექტორების შეკრება და გამოკლება

თან თანაბარი გრძნობები, ვამატებთ მოდულებს და ვიცავთ მიმართულებას და მიმართულებას.

მაგალითი:

გრაფიკულად ვათავსებთ ვექტორებს თანმიმდევრობით, მათი მოდულების შეცვლის გარეშე. ერთის დასაწყისი მეორის დასასრულს უნდა ემთხვეოდეს.

დამატების კომუტაციური თვისება მოქმედებს, რადგან ბრძანება არ ცვლის შედეგს.

თან საპირისპირო გრძნობები, ვაკლებთ მოდულებს და ვიცავთ მიმართულებას. მიღებული ვექტორის მიმართულება არის ყველაზე დიდი მოდულის მქონე ვექტორის მიმართულება.

მაგალითი:

ვექტორი არის დარჩენილი ნაწილი , გაყვანის შემდეგ .

ერთი ვექტორის გამოკლება მეორის საპირისპიროდ შეკრების ტოლფასია.

პერპენდიკულარული ვექტორების შეკრება და გამოკლება

პერპენდიკულარული მიმართულების ორი ვექტორის დასამატებლად, ვექტორებს მოდულის შეცვლის გარეშე გადავიტანთ ისე, რომ ერთის დასაწყისი ემთხვევა მეორის დასასრულს.

მიღებული ვექტორი აკავშირებს პირველის დასაწყისს მეორის ბოლოს.

ორ პერპენდიკულარულ ვექტორს შორის მიღებული ვექტორის სიდიდის დასადგენად, ჩვენ ვამთხვევთ ორი ვექტორის საწყისს.

მიღებული ვექტორის მოდული განისაზღვრება პითაგორას თეორემით.

ირიბი ვექტორების შეკრება და გამოკლება

ორი ვექტორი ირიბია, როდესაც ისინი ქმნიან კუთხეს მათ მიმართულებებს შორის, გარდა 0°, 90° და 180°. ირიბი ვექტორების დასამატებლად ან გამოკლებისთვის გამოიყენება პარალელოგრამისა და მრავალკუთხა ხაზის მეთოდები.

პარალელოგრამის მეთოდი

ორ ვექტორს შორის პარალელოგრამის მეთოდის ან წესის შესასრულებლად და მიღებული ვექტორის დასახაზად, ჩვენ მივყვებით შემდეგ ნაბიჯებს:

პირველი ნაბიჯი არის მათი საწყისის განლაგება იმავე წერტილში და ვექტორების პარალელურად ხაზების დახატვა პარალელოგრამის შესაქმნელად.

მეორე არის დიაგონალური ვექტორის დახატვა პარალელოგრამაზე, ვექტორების გაერთიანებასა და პარალელური წრფეების გაერთიანებას შორის.

წერტილოვანი ხაზები ვექტორების პარალელურია და გეომეტრიული ფიგურა არის პარალელოგრამი.

შედეგად მიღებული ვექტორი არის ვექტორების წარმოშობის პარალელებთან დამაკავშირებელი ხაზი.

ო მიღებული ვექტორის მოდული მიღებულია კოსინუს კანონით.

სად:

R არის მიღებული ვექტორის სიდიდე;
a არის ვექტორული მოდული ;
b არის ვექტორის მოდული ;
არის კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ვექტორების მიმართულებებს შორის.

პარალელოგრამის მეთოდი გამოიყენება ვექტორების წყვილის დასამატებლად. თუ გსურთ ორზე მეტი ვექტორის დამატება, უნდა დაამატოთ ისინი ორ-ორად. პირველი ორის ჯამის შედეგად მიღებულ ვექტორს ვამატებთ მესამეს და ა.შ.

ორზე მეტი ვექტორის დამატების კიდევ ერთი გზაა მრავალკუთხედის ხაზის მეთოდის გამოყენება.

პოლიგონური ხაზის მეთოდი

მრავალკუთხა ხაზის მეთოდი გამოიყენება ვექტორების დამატების შედეგად მიღებული ვექტორის საპოვნელად. ეს მეთოდი განსაკუთრებით სასარგებლოა ორზე მეტი ვექტორის დამატებისას, როგორიცაა შემდეგი ვექტორები , , და .

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად ვექტორები ისე უნდა დავალაგოთ, რომ ერთის (ისრის) ბოლო ემთხვევა მეორის დასაწყისს. მნიშვნელოვანია მოდულის, მიმართულების და მიმართულების შენარჩუნება.

ყველა ვექტორის მრავალკუთხა წრფის დალაგების შემდეგ უნდა მივყვეთ მიღებულ ვექტორს, რომელიც მიდის პირველის დასაწყისიდან უკანასკნელის ბოლომდე.

მნიშვნელოვანია, რომ მიღებულმა ვექტორმა დახუროს მრავალკუთხედი, მისი ისარი ემთხვევა ბოლო ვექტორის ისარს.

კომუტაციური თვისება მოქმედებს, ვინაიდან ნახაზ-ვექტორების განლაგების თანმიმდევრობა არ ცვლის მიღებულ ვექტორს.

ვექტორის დაშლა

ვექტორის დაშლა ნიშნავს ამ ვექტორის შემადგენელი კომპონენტების ჩაწერას. ეს კომპონენტები სხვა ვექტორებია.

ყველა ვექტორი შეიძლება დაიწეროს, როგორც სხვა ვექტორების შემადგენლობა, ვექტორული ჯამის მეშვეობით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ვექტორი, როგორც ორი ვექტორის ჯამი, რომელსაც ჩვენ ვუწოდებთ კომპონენტებს.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით, პერპენდიკულარული x და y ღერძებით, ვადგენთ ვექტორის კომპონენტებს.

ვექტორი არის კომპონენტ ვექტორებს შორის ვექტორული ჯამის შედეგი. და .

ვექტორი დახრილობა ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს x ღერძით. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ კომპონენტის ვექტორების მოდულებს ტრიგონომეტრიის გამოყენებით.

კომპონენტი მოდულის ცული.

კომპონენტის მოდული ay.

ვექტორული მოდული მიღებულია პითაგორას თეორემიდან.

მაგალითი
ძალა ხორციელდება ბლოკის მიწიდან ამოღებით. 50 N მოდულის ძალა დახრილია ჰორიზონტალურიდან 30°-ით. განსაზღვრეთ ამ ძალის ჰორიზონტალური და ვერტიკალური კომპონენტები.

მონაცემები:

რეალური რიცხვის გამრავლება ვექტორზე

რეალური რიცხვის ვექტორზე გამრავლებით, შედეგი იქნება ახალი ვექტორი, რომელსაც აქვს შემდეგი მახასიათებლები:

• იგივე მიმართულება, თუ რეალური რიცხვი არ არის ნული;
• ერთი და იგივე მიმართულება, თუ რეალური რიცხვი დადებითია და საპირისპირო მიმართულებით, თუ ის უარყოფითია;
• მოდული იქნება რეალური რიცხვის მოდულისა და გამრავლებული ვექტორის მოდულის ნამრავლი.

ნამრავლი რეალურ რიცხვსა და ვექტორს შორის

სად:
არის გამრავლების შედეგად მიღებული ვექტორი;
არის რეალური რიცხვი;
არის ვექტორი გამრავლებული.

მაგალითი
მოდით რეალური რიცხვი n = 3 და ვექტორი მოდულო 2-ის ნამრავლი მათ შორის უდრის:

მოდულის გაანგარიშება

მიმართულება და მიმართულება იგივე იქნება.

სავარჯიშო 1

(Enem 2011) ხახუნის ძალა არის ძალა, რომელიც დამოკიდებულია სხეულებს შორის კონტაქტზე. ის შეიძლება განისაზღვროს, როგორც სხეულების გადაადგილების ტენდენციის საწინააღმდეგო ძალა და წარმოიქმნება კონტაქტში მყოფ ორ ზედაპირს შორის დარღვევის გამო. ნახატზე ისრები წარმოადგენს სხეულზე მოქმედ ძალებს, ხოლო გაფართოებული წერტილი წარმოადგენს ორ ზედაპირს შორის არსებულ დარღვევებს.

ნახატზე, ვექტორები, რომლებიც წარმოადგენენ ძალებს, რომლებიც იწვევენ გადაადგილებას და ხახუნს, შესაბამისად არის:

)

ბ)

ჩ)

დ)

და)

იხილეთ პასუხი

სწორი პასუხი: ასო ა)

ისრები წარმოადგენს ძალების ვექტორებს, რომლებიც მოქმედებენ მოძრაობაში ჰორიზონტალური მიმართულებით, როგორც მოქმედება-რეაქციის წყვილი, მათ აქვთ საპირისპირო მიმართულებები.

ვერტიკალური ისრები წარმოადგენენ წონის ძალისა და ნორმალური ძალის მოქმედებებს და, რადგან ისინი თანაბარია, ისინი ანადგურებენ ერთმანეთს, ვერტიკალური მიმართულებით მოძრაობის გარეშე.

სავარჯიშო 2

(UEFS 2011) ნახატზე მოცემული ვექტორული დიაგრამა ასახავს ორთოდონტიულ მკურნალობას გავლილი პირის კბილზე ორი რეზინის ზოლის ძალებს.

ვივარაუდოთ F = 10.0N, sen45° = 0.7 და cos45° = 0.7, კბილზე ელასტიკების მიერ გამოყენებული ძალის ინტენსივობა N-ში უდრის

ა) 3√10
ბ) 2√30
გ) 2√85
დ) 3√35
ე) 2√45

იხილეთ პასუხი

სწორი პასუხი: გ) 2√85

კბილზე გამოყენებული ძალის ინტენსივობა მიღებულია კოსინუსების კანონით.

a და b უდრის 10 N-ს.

კვადრატული ფესვის ფაქტორინგი გვაძლევს:

მაშასადამე, კბილზე რეზინის ზოლებით მიღებული ძალის ინტენსივობა არის .

სავარჯიშო 3

(PUC RJ 2016) ძალები F1, F2, F3 და F4, სურათზე, ქმნიან მართ კუთხეებს ერთმანეთთან და მათი მოდულები, შესაბამისად, არის 1 N, 2 N, 3 N და 4 N.

გამოთვალეთ წმინდა ძალის მოდული, N-ში.

ა) 0
ბ) √2
გ) 2
დ) 2√ 2
ე) 10

იხილეთ პასუხი

სწორი პასუხი: დ) 2√ 2

მიღებული ვექტორის დასადგენად ვიყენებთ მრავალკუთხა ხაზის მეთოდს. ამისათვის ჩვენ ვაწყობთ ვექტორებს ისე, რომ ერთის დასასრული ემთხვევა მეორის დასაწყისს, ასე:

მიღებული ვექტორის დასაწყისში წარმოშობის კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ მისი კომპონენტების მოდულები შემდეგნაირად:

ამრიგად, ჩვენ უნდა:

Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N

მიღებული ვექტორის სიდიდე განისაზღვრება პითაგორას თეორემით.

ამრიგად, წმინდა ძალის მოდული უდრის .

შეიტყვეთ მეტი

• ვექტორები: შეკრება, გამოკლება და დაშლა.
• ვექტორული რაოდენობები

✖