ო პასკალის სამკუთხედი ეს საკმაოდ ძველი მათემატიკური ინსტრუმენტია. ისტორიის მანძილზე მას რამდენიმე სახელი აქვს მიღებული, მაგრამ დღეს ყველაზე მეტად მიღებულია არითმეტიკული სამკუთხედი და პასკალის სამკუთხედი. მეორე სახელი არის ხარკი მათემატიკოსისთვის, რომელმაც რამდენიმე წვლილი შეიტანა ამ სამკუთხედის შესწავლაში. ნიშნავს, რომ სამკუთხედი გამოიგონა მან, მაგრამ ის იყო ის, ვინც უფრო ღრმად შეისწავლა ეს ხელსაწყო.
პასკალის სამკუთხედის თვისებებიდან შესაძლებელია მისი ლოგიკურად აგება. ასევე გამოირჩევა თქვენი ურთიერთობა ვიღაცასთან კომბინაციები შესწავლილია კომბინატორულ ანალიზში. პასკალის სამკუთხედის ტერმინები ასევე შეესაბამება ბინომიურ კოეფიციენტებს და, შესაბამისად, ის ძალიან სასარგებლოა ნებისმიერი ნიუტონის ბინომის გამოსათვლელად.
წაიკითხეთ ასევე: Briot-Ruffini მოწყობილობა - მრავალწევრების გაყოფის მეთოდი
პასკალის სამკუთხედის აგება
პასკალის სამკუთხედი წარმოიქმნება კომბინაციების შედეგად, თუმცა არსებობს პრაქტიკული მეთოდი, რომელიც აადვილებს მის აგებას. პირველი სტრიქონი და პირველი სვეტი ითვლება როგორც ნულოვანი მწკრივი და სვეტი ნული.
ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ იმდენი ხაზი, რამდენიც საჭიროა ამ კონსტრუქციაში, ამიტომ სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს უსასრულო ხაზები. სტრიქონების დამუშავების მსჯელობა ყოველთვის ერთი და იგივეა. შეხედე:
ჩვენ ეს ვიცით სამკუთხედის ტერმინები არის კომბინაციები, სწავლობდა კომბინატორული ანალიზი. პასკალის სამკუთხედის რიცხვითი მნიშვნელობებით ჩანაცვლებისთვის ჩვენ ვიცით, რომ რიცხვის ნულთან და რიცხვთან თავის თავთან კომბინაცია ყოველთვის 1-ის ტოლია. ამიტომ, პირველი და ბოლო მნიშვნელობები ყოველთვის არის 1.
სხვათა საპოვნელად ვიწყებთ მე-2 სტრიქონით, რადგან 0 და 1 სტრიქონი უკვე დასრულებულია. მე-2 სტრიქონში 2-დან 1-ის კომბინაციის საპოვნელად, ზემოთ მოცემულ სტრიქონში, ანუ 1 სტრიქონში, დავუმატოთ ტერმინი მის ზემოთ იმავე სვეტში და მის ზემოთ ტერმინი წინა სვეტში, როგორც ნაჩვენებია სურათზე. :
მე-2 ხაზის აშენების შემდეგ შესაძლებელია მე-3 ხაზის აშენება იგივე პროცედურის განხორციელებით.
ამ პროცედურის გაგრძელებით, ჩვენ ვიპოვით ყველა ტერმინს - ამ შემთხვევაში, მე-5 სტრიქონამდე - მაგრამ შესაძლებელია იმდენი ხაზის აშენება, რამდენიც საჭიროა.
პასკალის სამკუთხედის თვისებები
Იქ არის რამდენიმე პასკალის სამკუთხედის თვისებები, მისი აგების კანონზომიერების გამო. ეს თვისებები სასარგებლოა კომბინაციებთან მუშაობისთვის, თავად სამკუთხედის ხაზების ასაგებად და ხაზების, სვეტების და დიაგონალების ჯამისთვის.
1-ლი ქონება
პირველი თვისება იყო ის, რაც ჩვენ გამოვიყენეთ სამკუთხედის ასაგებად. ასე რომ იპოვნეთ ტერმინი პასკალის სამკუთხედში, უბრალოდ დაამატეთ ტერმინი, რომელიც არის მის ზემოთ მწკრივში და იგივე სვეტი ტერმინით, რომელიც არის მის წინ სვეტსა და მწკრივში. ეს ქონება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
ეს ქონება ცნობილია როგორც სტიფელის ურთიერთობა და მნიშვნელოვანია სამკუთხედის აგების ხელშეწყობა და თითოეული ხაზის მნიშვნელობების პოვნა.
მე-2 ქონება
ზედიზედ ყველა ტერმინის ჯამი გამოითვლება შემდეგით:
სარა=2არა, რაზე არა არის ხაზის ნომერი.
მაგალითები:
ამ ქონებით შესაძლებელია იცოდე ყველა ტერმინის ჯამი ხაზზე პასკალის სამკუთხედის აუცილებლობის გარეშე. მე-10 სტრიქონის ჯამი, მაგალითად, შეიძლება გამოითვალოს 2-ით10 = 1024. მიუხედავად იმისა, რომ ყველა ტერმინი ცნობილი არ არის, უკვე შესაძლებელია მთელი ხაზის ჯამის მნიშვნელობის ცოდნა.
მე-3 ქონება
ტერმინების ჯამი, რომლებიც თანმიმდევრულია მოცემული სვეტის დასაწყისიდან ამისთვის გარკვეულ ხაზამდე არა იგივეა, რაც ხაზის ტერმინი n+1 უკან და სვეტი p+1 მოგვიანებით, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:
მე-4 ქონება
დიაგონალის ჯამი, რომელიც იწყება 0 სვეტიდან და მიდის ტერმინამდე სვეტში p და n მწკრივში, ტოლია იმავე სვეტის (p), მაგრამ ქვემოთ მოცემულ მწკრივში (n+1), როგორც ნაჩვენებია სურათზე. :
მე-5 ქონება
პასკალის სამკუთხედის ხაზებში არის სიმეტრია. პირველი და მეორე წევრი ტოლია, მეორე და წინაბოლო წევრი ტოლია და ა.შ.
მაგალითი:
ხაზი 6: 1615 20 156 1.
გაითვალისწინეთ, რომ ტერმინები უდრის ორს ორს, გარდა ცენტრალური ტერმინისა.
იხილეთ ასევე: პოლინომიური გაყოფა: როგორ გადავჭრათ იგი?
ნიუტონის ბინომი
ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიუტონის ბინომს a ერთის ძალა მრავალწევრი რომელსაც აქვს ორი ტერმინი. ბინომის გამოთვლა დაკავშირებულია პასკალის სამკუთხედთან, რომელიც ხდება მექანიზმი გამოთვლის, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ ბინომიურ კოეფიციენტებს. ბინომის გამოსათვლელად ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას:
გაითვალისწინეთ, რომ მაჩვენებლის მნიშვნელობა The ის მცირდება, სანამ ბოლო ტერმინი არ გაუტოლდება The0. ჩვენ ვიცით, რომ 0-მდე აყვანილი ყოველი რიცხვი უდრის 1-ს, აქედან მოდის ტერმინი The ბოლო ტერმინში არ ჩანს. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ მაჩვენებლის ბ იწყება ბ0, მალე ბ არ ჩნდება პირველ ვადაში და მატულობს მიღწევამდე ბარა, ბოლო ვადაში.
გარდა ამისა, რიცხვი, რომელიც თან ახლავს თითოეულ ტერმინს, არის ის, რასაც ჩვენ ვუწოდებთ კოეფიციენტს - ამ შემთხვევაში ცნობილია როგორც ბინომიალური კოეფიციენტი. ამ ტიპის ბინომის ამოხსნის უკეთ გასაგებად, შედით ჩვენს ტექსტში: ნიუტონის ბინომი.
ბინომალური კოეფიციენტი
ბინომალური კოეფიციენტი სხვა არაფერია, თუ არა კომბინაცია, რომელიც შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:
თუმცა, ნიუტონის ბინომის გამოთვლის გასაადვილებლად აუცილებელია პასკალის სამკუთხედის გამოყენება, რადგან ის უფრო სწრაფად გვაძლევს კომბინაციის შედეგს.
მაგალითი:
ბინომიალური კოეფიციენტის შედეგის საპოვნელად ვიპოვოთ პასკალის სამკუთხედის მე-5 მწკრივის მნიშვნელობები, რომლებიც არის {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3წ2+ 10x2წ3 + 5xy4+1წ5
მარტივად რომ ვთქვათ:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3წ2+ 10x2წ3 + 5xy4+y5
ამოხსნილი სავარჯიშოები
Კითხვა 1 - ქვემოთ მოცემული გამოხატვის მნიშვნელობა არის?
ა) 8
ბ) 16
გ) 2
დ) 32
ე) 24
რეზოლუცია
ალტერნატივა ა.
დადებითი და უარყოფითი მნიშვნელობების გადაჯგუფებით, ჩვენ უნდა:
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ რეალურად ვიანგარიშებთ გამოკლებას პასკალის სამკუთხედის 4 და 3 ხაზებს შორის. ქონების მიხედვით ჩვენ ვიცით, რომ:
ს4 = 24 = 16
ს3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
კითხვა 2 - რა მნიშვნელობა აქვს ქვემოთ მოცემულ გამოთქმას?
ა) 32
ბ) 28
გ) 256
დ) 24
ე) 54
რეზოლუცია
ალტერნატივა B.
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ვამატებთ ტერმინებს პასკალის სამკუთხედის 1-ლი სვეტიდან მე-7 მწკრივს, შემდეგ მე-3-ში. თვისება, ამ ჯამის მნიშვნელობა უდრის ტერმინს, რომელიც იკავებს 7+1 მწკრივს და სვეტს 1+1, ანუ მე-8 მწკრივს, სვეტი 2. ვინაიდან ჩვენ მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა გვინდა, მთელი პასკალის სამკუთხედის აგება არ არის მოსახერხებელი.
რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
