პითაგორას თეორემა: ფორმულა და სავარჯიშოები

ო პითაგორას თეორემა ჩამოთვლის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძეს. ეს გეომეტრიული ფიგურა იქმნება 90 ° შიდა კუთხით, რომელსაც ეწოდება მართკუთხედი.

ამ თეორემის დებულებაა:

"თქვენი ფეხების კვადრატების ჯამი შეესაბამება თქვენი ჰიპოტენუზის კვადრატს."

პითაგორას თეორემის ფორმულა

პითაგორას თეორემის განცხადების თანახმად, ფორმულა წარმოდგენილია შემდეგნაირად:

² = ბ² + გ²

ყოფნა,

: ჰიპოტენუზა
ბ: კატეტო
ჩ: კატეტო

ჰიპოტენუზა არის მართკუთხა სამკუთხედის გრძელი მხარე და მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირე მხარე. დანარჩენი ორი მხარეა ფეხები. ამ ორი მხარის მიერ შექმნილ კუთხეს აქვს 90º (სწორი კუთხე) ტოლი ზომა.

ჩვენ ასევე დავადგინეთ ფეხები, მითითების კუთხის შესაბამისად. ანუ მხარეს შეიძლება ეწოდოს მომიჯნავე ან მოპირდაპირე მხარე.

როდესაც ფეხი ახლოს არის მითითების კუთხესთან, მას უწოდებენ მიმდებარემეორეს მხრივ, თუ ეს ეწინააღმდეგება ამ კუთხეს, მას უწოდებენ საწინააღმდეგო.

ქვემოთ მოცემულია პითაგორას თეორემის გამოყენების სამი მაგალითი მართკუთხა სამკუთხედის მეტრულ მიმართებებზე.

მაგალითი 1: გამოთვალეთ ჰიპოტენუზის ზომა

თუ მართკუთხა სამკუთხედს აქვს 3 სმ და 4 სმ, როგორც ფეხების საზომი, რა არის ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა?

ამიტომ, მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებია 3 სმ, 4 სმ და 5 სმ.

მაგალითი 2: გამოთვალეთ ერთი ფეხის ზომა

განსაზღვრეთ ფეხის ზომა, რომელიც მართკუთხა სამკუთხედის ნაწილია, რომლის ჰიპოტენუზაა 20 სმ, ხოლო მეორე ფეხის ზომა 16 სმ.

ამიტომ, მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების გაზომვებია 12 სმ, 16 სმ და 20 სმ.

მაგალითი 3: შეამოწმეთ არის თუ არა სამკუთხედი მართკუთხედი

სამკუთხედს აქვს გვერდები 5 სმ, 12 სმ და 13 სმ. საიდან იცით, მართკუთხა სამკუთხედია?

იმის დასამტკიცებლად, რომ მართკუთხა სამკუთხედი მართალია, მისი გვერდების გაზომვები უნდა დაემორჩილოს პითაგორას თეორემას.

რადგან მოცემული ზომები აკმაყოფილებს პითაგორას თეორემას, ანუ ჰიპოტენუზის კვადრატი ტოლია ფეხების კვადრატის ჯამის, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სამკუთხედი მართკუთხედია.

წაიკითხეთ ასევე: მეტრული ურთიერთობები მართკუთხედის სამკუთხედში

პითაგორას სამკუთხედი

როდესაც ზომავს მხარეებს a მართკუთხა სამკუთხედი პოზიტიური მთელი რიცხვია, სამკუთხედს პითაგორას სამკუთხედს უწოდებენ.

ამ შემთხვევაში, ფეხებს და ჰიპოტენუზას ეწოდება "პითაგორას სარჩელი" ან "პითაგორას ტრიო". იმის გასამოწმებლად, ქმნის თუ არა სამი რიცხვი პითაგორას სამეულს, ვიყენებთ მიმართებას² = ბ² + გ².

ყველაზე ცნობილი პითაგორას სამეული წარმოდგენილია ციფრებით: 3, 4, 5. ჰიპოტენუზა უდრის 5-ს, უფრო დიდი ფეხი უდრის 4-ს და პატარა ფეხი უდრის 3-ს.

გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედის თითოეულ მხარეს გამოსახული კვადრატების ფართობი დაკავშირებულია ისევე, როგორც პითაგორას თეორემა: მოედნის ფართობი გრძელი მხრიდან შეესაბამება დანარჩენი ორი ფართობის ჯამს მოედანი.

საინტერესოა, რომ ამ რიცხვების ჯერადი ასევე ქმნის პითაგორას სარჩელს. მაგალითად, თუ ტრიო 3, 4 და 5 გავამრავლოთ 3-ზე, მივიღებთ რიცხვებს 9, 12 და 15, რომლებიც ასევე ქმნიან პითაგორას სარჩელს.

3, 4 და 5 სარჩელების გარდა, უამრავი სხვა სარჩელიც არსებობს. მაგალითად, შეგვიძლია აღვნიშნოთ:

• 5, 12 და 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 და 29
• 12, 35 და 37

წაიკითხეთ ასევე: ტრიგონომეტრია მართკუთხედის სამკუთხედში

ვინ იყო პითაგორა?

ისტორიის მიხედვით სამოსის პითაგორა (570 ა. ჩ. - 495 ა. გ.) ბერძენი ფილოსოფოსი და მათემატიკოსი იყო, რომელმაც დააარსა პითაგორას სკოლა, რომელიც სამხრეთ იტალიაში მდებარეობს. მას პითაგორას საზოგადოებასაც უწოდებდნენ და მოიცავს სწავლებას მათემატიკაში, ასტრონომიასა და მუსიკაში.

მართალია მართკუთხა სამკუთხედის მეტრული ურთიერთობები უკვე იცოდნენ ბაბილონელებმა, რომლებიც პითაგორას გაცილებით ადრე ცხოვრობდნენ, პირველი მტკიცებულება იმისა, რომ ეს თეორემა გამოიყენება ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის შესახებ, სავარაუდოდ, მან შექმნა პითაგორა.

პითაგორას თეორემა ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი, ყველაზე მნიშვნელოვანი და გამოყენებული თეორემაა მათემატიკაში. ეს აუცილებელია ანალიტიკური გეომეტრიის, სიბრტყის გეომეტრიის, სივრცული გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად.

თეორემის გარდა, პითაგორას მათემატიკის საზოგადოების სხვა მნიშვნელოვანი წვლილი იყო:

• ირაციონალური რიცხვების აღმოჩენა;
• მთელი რიცხვების თვისებები;
• MMC და MDC.

წაიკითხეთ ასევე: მათემატიკის ფორმულები

პითაგორას თეორემის მტკიცებულებები

პითაგორას თეორემის დასადასტურებლად რამდენიმე გზა არსებობს. მაგალითად, წიგნი პითაგორას წინადადებაგამოქვეყნდა 1927 წელს, წარმოდგენილი იყო მისი დემონსტრირების 230 გზა, ხოლო 1940 წელს გამოქვეყნებული კიდევ ერთი გამოცემა 370 დემონსტრაციამდე გაიზარდა.

იხილეთ ვიდეო ქვემოთ და გაეცანით პითაგორას თეორემის რამდენიმე დემონსტრაციას.

რამდენი გზა არსებობს პითაგორას თეორემის დასადასტურებლად? - ბეტი ფეი

კომენტირებული სავარჯიშოები პითაგორას თეორემაზე

კითხვა 1

(PUC) მართკუთხა სამკუთხედის სამი გვერდის კვადრატების ჯამი 32-ის ტოლია. რამდენ ხანს არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზა?

ა) 3
ბ) 4
გ) 5
დ) 6

იხილეთ პასუხი

სწორი ალტერნატივა: ბ) 4.

განცხადებაში მოცემული ინფორმაციის მიხედვით, ჩვენ ვიცით, რომ² + ბ² + გ² = 32. მეორეს მხრივ, პითაგორას თეორემის საშუალებით ჩვენ გვინდა² = ბ² + გ² .

B- ის მნიშვნელობის ჩანაცვლება²+ გ² ავტორი² პირველ გამოთქმაში ვხვდებით:

² +² =32 ⇒ 2.² = 32 ⇒ დან² = 32/2 ⇒ დან² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

დამატებითი კითხვებისთვის იხილეთ: პითაგორას თეორემა - სავარჯიშოები

კითხვა 2

(და არც)

ზემოთ მოყვანილ ფიგურაში, რომელიც წარმოადგენს კიბის დიზაინს, რომლის სიმაღლეა 5 საფეხური, ბილიკის მთლიანი სიგრძე ტოლია:

ა) 1.9 მ
ბ) 2.1 მ
გ) 2.0 მ
დ) 1.8 მ
ე) 2.2 მ

იხილეთ პასუხი

სწორი ალტერნატივა: ბ) 2.1 მ.

მოაჯირის მთლიანი სიგრძე ტოლი იქნება სიგრძის ორი მონაკვეთის ჯამი, რომელიც უდრის 30 სმ-ს იმ მონაკვეთთან, რომლის ზომაც არ ვიცით.

ნახატიდან შეგვიძლია დავაკვირდეთ, რომ უცნობი განყოფილება წარმოადგენს მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას, რომლის ერთ-ერთი ფეხის ზომა ტოლია 90 სმ.

მეორე ფეხის ზომის სანახავად უნდა დავამატოთ 5 საფეხურის სიგრძე. ამიტომ, ჩვენ გვაქვს b = 5. 24 = 120 სმ.

ჰიპოტენუზის გამოსათვლელად მოდით გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა ამ სამკუთხედზე.

² = 90² + 120² რომ² = 8100 + 14 400 მდე² = 22 500 a = √ 22 500 = 150 სმ

გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპოტენუზის გამოსათვლელად შეგვეძლო გამოგვეყენებინა პითაგორას სარჩელების იდეა, რადგან ფეხები (90 და 120) 3, 4 და 5 სარჩელის ჯერადია (ყველა ტერმინების გამრავლება 30-ზე).

ამ გზით, მოაჯირის მთლიანი ზომა იქნება:

30 + 30 + 150 = 210 სმ = 2.1 მ

შეამოწმე შენი ცოდნა ტრიგონომეტრიის სავარჯიშოები

კითხვა 3

(UERJ) მილერ ფერნანდესმა, მათემატიკის მშვენიერ ხარკში, დაწერა ლექსი, საიდანაც ფრაგმენტს გამოვყოფთ ქვემოთ:

მათემატიკის წიგნის ამდენი ფურცელი,
კოოტიენტს ერთ დღეს ველურად შეუყვარდა
უცნობი.
თავისი უთვალავი მზერით შეხედა
და ნახა იგი მწვერვალიდან ბოლოში: უცნაური ფიგურა;
რომბოიდული თვალები, ტრაპეციული პირი,
მართკუთხა სხეული, სფეროსებრი მკერდი.
გააკეთე შენი ცხოვრება მისი პარალელურად,
სანამ ისინი უსასრულობაში შეხვდებოდნენ.
"Ვინ ხარ?" - იკითხა მან რადიკალური შფოთვით.
”მე ვარ ფეხების კვადრატების ჯამი.
მაგრამ შეგიძლია ჰიპოტენუზა დამიძახო.”

(მილერ ფერნანდესი. ჩემი ოცდაათი წელი.)

ინკოგნიტამ არასწორად თქვა, ვინ იყო ეს. პითაგორას თეორემის დასაკმაყოფილებლად უნდა გაკეთდეს შემდეგი

ა) „მე ვარ ფეხების ჯამის კვადრატი. მაგრამ ჰიპოტენუზის მოედანზე დამირეკე ”.
ბ) „მე ვარ ფეხების ჯამი. მაგრამ შეგიძლია ჰიპოტენუზა დამიძახო ”.
გ) „მე ვარ ფეხების ჯამის კვადრატი. მაგრამ შეგიძლია ჰიპოტენუზა დამიძახო ”.
დ) „მე ვარ ფეხების კვადრატების ჯამი. მაგრამ ჰიპოტენუზის მოედანზე დამირეკე ”.

იხილეთ პასუხი

ალტერნატივა დ) „მე ვარ ფეხების კვადრატების ჯამი. მაგრამ ჰიპოტენუზის მოედანზე დამირეკე ”.

შეიტყვეთ მეტი ამ თემის შესახებ:

• ტოლფერდა სამკუთხედი
• სინუსი, კოსინუსი და ტანგესი
• მათემატიკა Enem- ში