სამკუთხედების მსგავსება: კომენტარიანი და ამოხსნილი სავარჯიშოები

სამკუთხედის მსგავსი გამოიყენება ერთი სამკუთხედის უცნობი ზომის დასადგენად, მეორე სამკუთხედის ზომების ცოდნით.

როდესაც ორი სამკუთხედი მსგავსია, მათი შესაბამისი გვერდების გაზომვები პროპორციულია. ეს ურთიერთობა გამოიყენება მრავალი გეომეტრიის პრობლემის გადასაჭრელად.

ასე რომ, ისარგებლეთ კომენტარებით და გადაჭრილ სავარჯიშოებით, ყველა თქვენი ეჭვის გასარკვევად.

გადაჭრილ იქნა საკითხები

1) მეზღვაურის შეგირდი - 2017 წ

იხილეთ ქვემოთ მოცემული ფიგურა

შენობა 30 მ სიგრძის ჩრდილს აყენებს მიწაზე იმავე წამს, როდესაც 6 მ სიმაღლის ადამიანი 2.0 მ ჩრდილს აყენებს. შეიძლება ითქვას, რომ შენობის სიმაღლე ღირს

ა) 27 მ
ბ) 30 მ
გ) 33 მ
დ) 36 მ
ე) 40 მ

იხილეთ პასუხი

შეგვიძლია ჩავთვალოთ, რომ შენობა, მისი დაპროექტებული ჩრდილი და მზის სხივი ქმნის სამკუთხედს. ანალოგიურად, ჩვენ ასევე გვაქვს სამკუთხედი, რომელიც აყალიბებს ადამიანს, მის ჩრდილს და მზის სხივს.

იმის გათვალისწინებით, რომ მზის სხივები პარალელურია და რომ კუთხე შენობასა და მიწასა და პიროვნებას შორის არის მიწა ტოლია 90º-ის, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში მითითებული სამკუთხედები მსგავსია (ორი კუთხე) ტოლია).

რადგან სამკუთხედები მსგავსია, შეგვიძლია შემდეგი პროპორციის დაწერა:

ალტერნატივა: ა) 27 მ

2) ფუვესტი - 2017 წელი

ფიგურაში, ABCD მართკუთხედს აქვს AB = 4 და BC = 2 სიგრძის გვერდები. მოდით M იყოს მხარის შუა წერტილი და გვერდით შუა წერტილი . სეგმენტები ჩაჭრა სეგმენტი შესაბამისად E და F წერტილებში.

AEF სამკუთხედის ფართობი ტოლია

იხილეთ პასუხი

AEF სამკუთხედის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ABE სამკუთხედის ფართობის შემცირებით AFB სამკუთხედის ფართობიდან, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:

დავიწყოთ AFB სამკუთხედის ფართობის მოძიებით. ამისათვის ჩვენ უნდა გავეცნოთ ამ სამკუთხედის სიმაღლის მნიშვნელობას, რადგან ცნობილია ფუძის მნიშვნელობა (AB = 4).

გაითვალისწინეთ, რომ AFB და CFN სამკუთხედები მსგავსია იმით, რომ მათ აქვთ ორი თანაბარი კუთხე (საქმე AA), როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში:

მოდით დავხატოთ H სიმაღლე₁, AB გვერდის მიმართ, AFB სამკუთხედში. ვინაიდან CB გვერდის ზომა უდრის 2-ს, შეგვიძლია ჩავთვალოთ, რომ გვერდითი მიმართულების სიმაღლე FNC სამკუთხედში ტოლია 2 - H₁.

შემდეგ შეგვიძლია შემდეგი პროპორციის დაწერა:

ვიცით სამკუთხედის სიმაღლე, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფართობი:

იმისათვის, რომ იპოვოთ ABE სამკუთხედის ფართობი, ასევე უნდა გამოთვალოთ მისი სიმაღლის მნიშვნელობა. ამისათვის გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ ABM და AOE სამკუთხედები, რომლებიც მოცემულია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში, მსგავსია.

გარდა ამისა, OEB სამკუთხედი არის მართკუთხა სამკუთხედი და დანარჩენი ორი კუთხე ტოლია (45º), ამიტომ ის არის ტოლფერდა სამკუთხედი. ამრიგად, ამ სამკუთხედის ორი ფეხი ღირს H₂, როგორც ქვემოთ მოცემული სურათი:

ამრიგად, AOE სამკუთხედის AO გვერდი ტოლია 4 - H_2. ამ ინფორმაციის საფუძველზე შეგვიძლია მიუთითოთ შემდეგი პროპორცია:

ვიცით სიმაღლის მნიშვნელობა, ახლა შეგვიძლია გამოვთვალოთ ABE სამკუთხედის ფართობი:

ამრიგად, სამკუთხედის AFE ფართობი ტოლი იქნება:

ალტერნატივა: დ)

3) ცეფეტი / MG - 2015 წ

შემდეგი ილუსტრაცია წარმოადგენს მართკუთხა აუზის მაგიდას, რომლის სიგანე და სიგრძე უდრის შესაბამისად 1.5 და 2.0 მ. მოთამაშემ უნდა დააგდოს თეთრი ბურთი B წერტილიდან და დაარტყა შავი ბურთი P წერტილში, პირველ რიგში სხვის დარტყმის გარეშე. რადგან ყვითელი არის A წერტილში, ეს მოთამაშე გადააგდებს თეთრ ბურთს L წერტილამდე, ასე რომ მას შეუძლია გადახტომა და დაეჯახოს შავ ბურთს.

თუ ბურთის შემთხვევითი გზის კუთხე მაგიდის მხარეს და ხტუნვის კუთხე ტოლია, როგორც სურათზეა ნაჩვენები, მაშინ მანძილი P- დან Q- მდე, სმ-ში არის დაახლოებით

ა) 67
ბ) 70
გ) 74
დ) 81

იხილეთ პასუხი

ქვემოთ მოცემულ სურათზე წითელი ფერით მონიშნული სამკუთხედები მსგავსია, რადგან მათ აქვთ ორი თანაბარი კუთხე (კუთხე ტოლია α და კუთხე ტოლია 90º).

აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია შემდეგი პროპორციის დაწერა:

ალტერნატივა: ა) 67

4) სამხედრო კოლეჯი / RJ - 2015 წ

ABC სამკუთხედში D და E წერტილები შესაბამისად მიეკუთვნება AB და AC მხარეებს და არის ისეთი, რომ DE / / BC. თუ F არის AB წერტილი, რომ EF / / CD და AF და FD e გაზომვები იყოს შესაბამისად 4 და 6, DB სეგმენტის გაზომვაა:

ა) 15.
ბ) 10.
გ) 20.
დ) 16.
ე) 36.

იხილეთ პასუხი

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ სამკუთხედი ABC, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:

მას შემდეგ, რაც სეგმენტი DE პარალელურია ძვ.წ., ამიტომ სამკუთხედები ADE და ABC მსგავსია იმით, რომ მათი კუთხეები თანხვედრაა.

შემდეგ შეგვიძლია შემდეგი პროპორციის დაწერა:

სამკუთხედები FED და DBC ასევე მსგავსია, რადგან FE და DC სეგმენტები პარალელურია. ამრიგად, მართებულია შემდეგი პროპორციაც:

ამ პროპორციით y- ს გამოყოფა გვაქვს:

Y მნიშვნელობის ჩანაცვლება პირველ თანასწორობაში:

ალტერნატივა: ა) 15

5) ეპკარი - 2016 წ

მართკუთხა სამკუთხედის ფორმის მიწა დაყოფილი იქნება ორ ლოტად ჰიპოტენუზის ბისტერზე გაკეთებული ღობით, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე.

ცნობილია, რომ ამ რელიეფის მხარეები AB და BC ზომავს, შესაბამისად, 80 მ და 100 მ. ამრიგად, შეფარდება I ლოტის პერიმეტრსა და II ლოტის პერიმეტრს შორის, ამ თანმიმდევრობით, არის

იხილეთ პასუხი

პერიმეტრებს შორის თანაფარდობის გასარკვევად, უნდა ვიცოდეთ I და II ნახაზის ყველა მხარის მნიშვნელობა.

გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპოტენუზის ნახევარმცველი BC მხარეს ყოფს ორ შესატყვის სეგმენტად, ამიტომ CM და MB სეგმენტები 50 მ-ს შეადგენს.

ვინაიდან ABC სამკუთხედი მართკუთხედია, შეგვიძლია გამოვთვალოთ AC გვერდი, პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ ეს სამკუთხედი არის პითაგორას სამკუთხედი.

ამრიგად, ჰიპოტენუზა უდრის 100-ს (5. 20) და ერთი ორი ფეხი უდრის 80-ს (4.20), მაშინ მეორე ფეხი შეიძლება იყოს მხოლოდ 60-ის ტოლი (3.20).

ჩვენ ასევე დავადგინეთ, რომ ABC და MBP სამკუთხედები მსგავსია (საქმე AA), რადგან მათ აქვთ საერთო კუთხე, ხოლო მეორე ტოლია 90º.

X– ის მნიშვნელობის მოსაძებნად შეგვიძლია შემდეგი პროპორციის დაწერა:

Z- ის მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ პროპორციის გათვალისწინებით:

Y- ს მნიშვნელობა ასევე შეგვიძლია გავაკეთოთ:

ახლა, როდესაც ყველა მხარე ვიცით, შეგვიძლია პერიმეტრის გამოთვლა.

ფიგურის I პერიმეტრი:

ნახაზის პერიმეტრი II:

ამიტომ, თანაფარდობა პერიმეტრებს შორის ტოლი იქნება:

ალტერნატივა: დ)

6) Enem - 2013 წელი

მეურნეობის მეპატრონეს სურს საყრდენი ჯოხის დადება, რომ უკეთესად დაიცვას ორი ადგილი, რომელთა სიგრძეა 6 მ და 4 მ. ფიგურა წარმოადგენს რეალურ სიტუაციას, რომელშიც შეტყობინებები აღწერილია სეგმენტებით AC და BD და ჯოხით წარმოდგენილია EF სეგმენტით, მიწის პერპენდიკულარულად, რაც მითითებულია სწორი ხაზის სეგმენტით AB AD და BC სეგმენტები წარმოადგენს ფოლადის კაბელებს, რომლებიც დამონტაჟდება.

რა უნდა იყოს ღირებულება ჯოხის სიგრძე EF?

ა) 1 მ
ბ) 2 მ
გ) 2,4 მ
დ) 3 მ
ე) 2 მ

იხილეთ პასუხი

პრობლემის გადასაჭრელად მოდით დავუძახოთ ღეროს სიმაღლე ისე ზ და AF და FB სეგმენტების გაზომვები x და yშესაბამისად, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:

ADB სამკუთხედი AEF სამკუთხედის მსგავსია იმით, რომ ორივეს აქვს 90 ° -ის ტოლი და საერთო კუთხე, ამიტომ ისინი მსგავსია AA– ს შემთხვევაში.

აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია შემდეგი პროპორციის დაწერა:

გამრავლებით "ჯვარში", მივიღებთ თანასწორობას:

6x = h (x + y) (I)

მეორე მხრივ, ACB და FEB სამკუთხედებიც მსგავსი იქნება, ზემოთ წარმოდგენილი იგივე მიზეზების გამო. პროპორცია გვაქვს:

გადაჭრა იგივე გზით:

4y = h (x + y) (II)

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებებს (I) და (II) აქვთ იგივე გამოხატვა ტოლობის ნიშნის შემდეგ, ასე რომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ:

6x = 4y

X განტოლების შეცვლა მეორე განტოლებაში:

ალტერნატივა: გ) 2.4 მ

7) ფუვესტი - 2010 წ

ნახატზე, ABC სამკუთხედი მართკუთხაა, გვერდები BC = 3 და AB = 4. გარდა ამისა, D წერტილი ეკუთვნის საყრდენ ძვალს. , E წერტილი ეკუთვნის საყრდენ ძვალს და F წერტილი ჰიპოტენუზას ეკუთვნის , ისეთი, რომ DECF არის პარალელოგრამი. თუკი , ასე რომ DECF პარალელოგრამის ფართობი ღირს

იხილეთ პასუხი

პარალელოგრამის ფართობი გვხვდება საბაზისო მნიშვნელობის სიმაღლეზე გამრავლებით. მოდით ვუწოდოთ h სიმაღლეს და x ბაზის ზომას, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:

მას შემდეგ, რაც DECF არის პარალელოგრამი, მისი გვერდები პარალელურია ორიდან ორზე. ამ გზით, AC და DE მხარეები პარალელურია. ასე რომ, კუთხეები ერთი და იგივეა.

ამის შემდეგ შეგვიძლია დავადგინოთ, რომ ABC და DBE სამკუთხედები მსგავსია (შემთხვევა AA). ასევე გვაქვს ის, რომ ABC სამკუთხედის ჰიპოტენუზა უდრის 5-ს (სამკუთხედი 3,4 და 5).

ამ გზით, მოდით დავწეროთ შემდეგი პროპორცია:

ფუძის x ზომის მოსაძებნად განვიხილავთ შემდეგ პროპორციას:

პარალელოგრამის არეალის გაანგარიშებით, ჩვენ გვაქვს:

ალტერნატივა: ა)