რა არის რთული რიცხვები?

XVI საუკუნის შუა ხანებამდე ისეთი განტოლებები, როგორიცაა x² - 6x + 10 = 0 უბრალოდ განიხილეს "გამოსავალი არ არის". ეს იმიტომ მოხდა, რომ ბასკარას ფორმულის თანახმად, ამ განტოლების ამოხსნისას აღმოჩნდა შედეგი:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

პრობლემა იქნა ნაპოვნი √– 4 – ში, რომელსაც არ აქვს გადაჭრა რეალური რიცხვების სიმრავლეში, ანუ არა არსებობს რეალური რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავისზე, იძლევა yield– 4, რადგან 2 · 2 = 4 და (–2) (- 2) = 4.

1572 წელს რაფაელ ბომბელი დაკავებული იყო x განტოლების ამოხსნით³ - 15x - 4 = 0 კარდანოს ფორმულის გამოყენებით. ამ ფორმულის საშუალებით დაასკვნეს, რომ ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, რადგან საბოლოოდ საჭიროა to– 121 გამოთვლა. ამასთან, რამდენიმე მცდელობის შემდეგ, შესაძლებელია დადგინდეს, რომ 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 და ამიტომ x = 4 არის ამ განტოლების ფუძე.

კარდანოს ფორმულით არ გამოხატული რეალური ფესვების არსებობის გათვალისწინებით, ბომბელის ვარაუდის იდეა ჰქონდა რომ √– 121 გამოიწვევს √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 და ეს შეიძლება იყოს "არარეალური" ფესვი განტოლებისთვის სწავლობდა. ამრიგად, √– 121 იქნება ახალი ტიპის რიცხვის ნაწილი, რომელიც ქმნის ამ განტოლების სხვა უსაფუძვლო ფესვებს. X განტოლება

³ - 15x - 4 = 0, რომელსაც აქვს სამი ფესვი, ექნება x = 4 როგორც ნამდვილი ფესვი და ორი სხვა ფესვი, რომელიც მიეკუთვნება ამ ახალი ტიპის რიცხვს.

მე -18 საუკუნის ბოლოს გაუსმა დაასახელა ეს რიცხვები ასე რთული რიცხვები. იმ დროს რთული რიცხვები უკვე სახეს იღებდა a + bi, თან i = √– 1. გარდა ამისა, და ბ ისინი უკვე ითვლებოდნენ კარტეზიული თვითმფრინავის წერტილებად, რომლებიც ცნობილია როგორც არგანდ-გაუსის თვითმფრინავი. ამრიგად, Z = a + bi კომპლექსურ რიცხვს გეომეტრიულ გამოსახულებად ჰქონდა კარტესიანული სიბრტყის P (a, b) წერტილი.

ნუ გაჩერდები ახლა... რეკლამის შემდეგ მეტია;)

ამიტომ, გამოთქმა „რთული რიცხვები”დაიწყო გამოყენება იმ ციფრული სიმრავლის მითითებით, რომლის წარმომადგენლები არიან: Z = a + bi, i = √– 1-ით და თან და ბ რეალური რიცხვების სიმრავლეს მიეკუთვნება. ამ წარმოდგენას ეწოდება რთული რიცხვის Z ალგებრული ფორმა.

ვინაიდან რთული რიცხვები იქმნება ორი რეალური რიცხვით და ერთი მათგანი მრავლდება √– 1, ამ რეალურ რიცხვებს სპეციალური სახელი მიენიჭა. რთული რიცხვის გათვალისწინებით Z = a + bi, a არის "Z- ს ნამდვილი ნაწილი" და b არის "Z- ის წარმოსახვითი ნაწილი". მათემატიკურად, შეგვიძლია, შესაბამისად, დავწეროთ: Re (Z) = a და Im (Z) = b.

რთული რიცხვის მოდულის იდეა კრისტალიზებულია რეალური რიცხვის მოდულის ანალოგიურად. P (a, b) წერტილის გათვალისწინებით, როგორც კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიული გამოსახვა Z = a + bi, მანძილი P წერტილს და წერტილს (0,0) შორის მოცემულია

| Z | = √(² + ბ²)

რთული რიცხვების წარმოდგენის მეორე გზაა პოლარული ან ტრიგონომეტრიული ფორმა. ეს ფორმა კონსტიტუციაში იყენებს რთული რიცხვის მოდულს. რთული რიცხვი Z, ალგებრულად Z = a + bi, შეიძლება წარმოდგეს პოლარული ფორმით:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ კარტეზიული სიბრტყე განისაზღვრება ორი ორთოგონალური ხაზით, რომლებიც ცნობილია როგორც x და y ღერძი. ჩვენ ვიცით, რომ ნამდვილი რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ხაზით, რომელზეც განთავსებულია ყველა რაციონალური რიცხვი. დარჩენილი ადგილები ივსება ირაციონალური რიცხვებით. ვინაიდან ნამდვილი ციფრები ყველასათვისაა ცნობილი, როგორც ცნობილია X ღერძი კარტეზიული სიბრტყიდან, ამ სიბრტყის კუთვნილი ყველა სხვა წერტილი იქნება განსხვავება რთულ რიცხვებსა და რეალურ რიცხვებს შორის. ამრიგად, რეალური რიცხვების სიმრავლე შეიცავს კომპლექსურ რიცხვებს.

ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა

გსურთ მიუთითოთ ეს ტექსტი სასკოლო ან აკადემიურ ნაშრომში? შეხედე:

სილვა, ლუიზ პაულო მორეირა. "რა არის რთული რიცხვები?"; ბრაზილიის სკოლა. Ხელმისაწვდომია: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. წვდომა 2021 წლის 27 ივნისს.