დისპერსიული ზომები: ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა

შესწავლისას სტატისტიკა, ჩვენ გვაქვს რამდენიმე სტრატეგია, რომ გადავამოწმოთ, არის მონაცემთა ბაზაში წარმოდგენილი მნიშვნელობები განაწილებული თუ არა და რამდენად დაშორებულია ისინი. ამის შესაძენად გამოყენებული ინსტრუმენტები კლასიფიცირებულია როგორც დისპერსიული ზომები და დაურეკა ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა. ვნახოთ რას წარმოადგენს თითოეული მათგანი:

ვარიაცია:

• მონაცემთა ნაკრების გათვალისწინებით, ვარიაცია არის დისპერსიის საზომი, რომელიც აჩვენებს, თუ რამდენად დაშორებულია ამ სიმრავლეში თითოეული მნიშვნელობა ცენტრალურ (საშუალო) მნიშვნელობას.

• რაც უფრო მცირეა ვარიაცია, მით უფრო ახლოს არის მნიშვნელობები საშუალო მნიშვნელობასთან; მაგრამ რაც უფრო დიდია ის, მით უფრო შორსაა მნიშვნელობები საშუალოდან.

• გაითვალისწინეთ ის x₁, x₂,, X_არაისინი არიან არა ელემენტები ა ნიმუში ის არის X და ამ ელემენტების არითმეტიკული საშუალო. გაანგარიშება ნიმუშის ვარიაცია ამას იძლევა:

  ვარ ნიმუში = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_არა – x)²
  ​n - 1

• თუ, მეორე მხრივ, გვინდა გამოვთვალოთ მოსახლეობის ვარიაცია, ჩვენ გავითვალისწინებთ მოსახლეობის ყველა ელემენტს და არა მხოლოდ ნიმუშს. ამ შემთხვევაში, გაანგარიშებას მცირე განსხვავება აქვს. Უყურებს:

  ვარ მოსახლეობა = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_არა – x)²
  არა

Სტანდარტული გადახრა:

• სტანდარტულ გადახრას შეუძლია დაადგინოს ”შეცდომა” მონაცემთა ნაკრებში, თუ გვსურდა შეგროვებული ერთ-ერთი მნიშვნელობის ჩანაცვლება არითმეტიკული საშუალოთი.

• სტანდარტული გადახრა გამოჩნდება არითმეტიკული საშუალო მნიშვნელობის გვერდით, აცნობებს რამდენად ”საიმედოა” ეს მნიშვნელობა. წარმოდგენილია შემდეგნაირად:

  საშუალო არითმეტიკა (x) ± სტანდარტული გადახრა (sd)

• სტანდარტული გადახრის გაანგარიშება ხდება ვარიანტის დადებითი კვადრატული ფესვიდან. ამიტომ:

  dp = √var

მოდით ახლა გამოვიყენოთ ვარიაცია და სტანდარტული გადახრის გაანგარიშება მაგალითში:

ერთ სკოლაში საბჭომ გადაწყვიტა გაეცნო იმ სტუდენტების რაოდენობა, რომლებსაც ყველა საგანში აქვთ საშუალოზე მაღალი ყველა შეფასება. ამის უკეთ გასაანალიზებლად, დირექტორმა ანამ გადაწყვიტა წელიწადში ოთხი კლასის ნიმუშში აეწყო მაგიდა "ლურჯი" კლასების რაოდენობით. იხილეთ დირექტორის მიერ ორგანიზებული ცხრილი:

დისპერსიის გამოანგარიშებამდე აუცილებელია შემოწმება საშუალო არითმეტიკა(x) თითოეულ კლასში საშუალოზე მაღალი სტუდენტების რაოდენობა:

მე -6 კურსი → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

მე -7 წელი → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

მე -8 წელი → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

მე -9 წელი → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

თითოეულ კლასში საშუალოზე მაღალი სტუდენტების რაოდენობის ვარიანტის გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ ა ნიმუში, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ ფორმულის ნიმუშის ვარიაცია:

ვარ ნიმუში = (x₁ – x) ² + (x₂ – x) ² + (x₃ – x)² +... + (x_არა – x)²
n - 1

მე -6 კურსი → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

მე -7 წელი → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8.00

მე -8 წელი → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

მე -9 წელი → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

მას შემდეგ, რაც ცნობილია თითოეული კლასის ვარიაცია, მოდით ახლა გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა:

მე -6 კურსი dp = √var dp = 334,33 ​dp 2,08

მე -7 წელი dp = √var dp = .008.00 ​dp 2,83

მე -8 წელი dp = √var dp = 916,91 ​dp 2,63

მე -9 წელი dp = √var dp = .13,66 ​dp 3,70

მისი ანალიზის დასასრულებლად, დირექტორს შეუძლია წარმოადგინოს შემდეგი მნიშვნელობები, რომლებიც მიუთითებს საშუალო კლასის სტუდენტების საშუალო რაოდენობაზე გამოკითხულ კლასში:

მე -6 კურსი: 7.50 ± 2.08 სტუდენტი საშუალოზე მაღლა თითო ტერმინში;
მე -7 წელი: 8.00 ± 2.83 სტუდენტი საშუალოზე მაღალია ორ თვეში;
მე -8 წელი: 8.75 ± 2.63 სტუდენტი საშუალოზე მაღალია ორ თვეში;
მე -9 წელი: 8.50 ± 3.70 სტუდენტი საშუალოზე მაღალია ორ თვეში;

დისპერსიის კიდევ ერთი ღონისძიებაა ვარიაციის კოეფიციენტი. შეხედე აქ როგორ გამოვთვალოთ ეს!

ამანდა გონსალვესის მიერ
დაამთავრა მათემატიკა

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm