Ალგებრა ეს მათემატიკის ის დარგია, რომელიც განზოგადებს არითმეტიკას. ეს ნიშნავს, რომ ცნებები და მოქმედებები არითმეტიკულიდან (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) და ა.შ.) შემოწმდება და მათი ეფექტურობა დადასტურდება ყველა სიმრავლისთვის, რომელიც ეკუთვნის გარკვეულ სიმრავლეებს რიცხვითი
მაგალითად, "დამატება" ოპერაცია ნამდვილად მუშაობს ყველა რიცხვზე, რომლებიც მიეკუთვნება ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლეს? თუ არსებობს ძალიან დიდი ბუნებრივი რიცხვი, უსასრულობასთან ახლოს, რომელიც სხვებისგან განსხვავებულად იქცევა, როდესაც ისინი ერთად შეგროვდება? ამ კითხვაზე პასუხს გასცემს ალგებრა: პირველ რიგში, განისაზღვრება ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლე და ოპერაცია ემატება; მაშინ დამტკიცებულია, რომ დამატების მოქმედება მუშაობს ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვისთვის.
ᲩᲕᲔᲜ ალგებრის შესწავლა, ასოები გამოიყენება ციფრების გამოსახატავად. ამ ასოებს შეუძლიათ წარმოადგინონ უცნობი ციფრები ან რიცხვითი სიმრავლის კუთვნილი ნებისმიერი რიცხვი. თუ x არის ლუწი რიცხვი, მაგალითად, x შეიძლება იყოს 2, 4, 6, 8, 10,... ამ გზით, x არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც მიეკუთვნება ლუწი რიცხვების სიმრავლეს და ნათელია, თუ რა არის x რიცხვი: 2-ის ჯერადი.
მათემატიკური ოპერაციების თვისებები
იმის ცოდნა, რომ სიმრავლეში შემავალი ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება ასოთი იყოს წარმოდგენილი, ჩათვალეთ x, y და z რიცხვები, როგორც რიცხვების სიმრავლე. ნამდვილი და ოპერაციები დამატება და გამრავლება შესაბამისად წარმოდგენილია "+" და "·". ასე რომ, შემდეგი თვისებები მოქმედებს x, y და z- ზე:
1 - ასოციაციურობა
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - Commutativity
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - ნეიტრალური ელემენტის არსებობა (1 გამრავლებისთვის და 0 დამატებისთვის)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - არსებობამოპირდაპირე (ან სიმეტრიული) ელემენტის.
x + (–x) = 0
x · 1 = 1
x
5 - განაწილება (ასევე უწოდებენ გამრავლების სადისტრიბუციო თვისებას დამატებისას)
x · (y + z) = x · y + x · z
ესენი ხუთი თვისება მოქმედებს ყველა რეალური x, y და z რიცხვებისთვის, რადგან ეს ასოები გამოიყენებოდა ნებისმიერი რეალური რიცხვის გამოსახატავად. ისინი ასევე მოქმედებს შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებისთვის.
ალგებრული გამონათქვამები
მათემატიკაში გამოხატვა არის ზოგიერთი რიცხვით შესრულებული მათემატიკური მოქმედებების თანმიმდევრობა. მაგალითად: 2 + 3 - 7 არის რიცხვითი გამოხატვა. როდესაც ეს გამონათქვამი შეიცავს უცნობი რიცხვებს (უცნობი), მას უწოდებენ ალგებრული გამოთქმა. ალგებრული გამონათქვამი, რომელსაც მხოლოდ ერთი ტერმინი აქვს, მონომიუმს უწოდებენ. ნებისმიერი ალგებრული გამოთქმა რომ ორ მონომს შორის დამატების ან გამოკლების შედეგია მრავალწევრი.
ალგებრული გამონათქვამები, monomials და polynomials არის ალგებრის კუთვნილი ელემენტების მაგალითები, რადგან ისინი წარმოიქმნება უცნობი რიცხვებით შესრულებული მოქმედებებისგან. გახსოვდეთ, რომ უცნობ რიცხვს შეუძლია წარმოადგინოს ნებისმიერი რიცხვი რიცხვითი სიმრავლით.
განტოლებები
განტოლებები ისინი არიან ალგებრული გამონათქვამები რომლებსაც აქვთ თანასწორობა. ამრიგად, განტოლება ეს არის მათემატიკის შინაარსი, რომელიც უკავშირებს რიცხვებს უცნობებს ტოლობის საშუალებით.
უცნობის არსებობა ახდენს კლასიფიკაციას განტოლება როგორც ალგებრული გამომეტყველება. თანასწორობის არსებობა საშუალებას იძლევა იპოვოთ განტოლების ამოხსნა, ეს არის უცნობი რიცხვითი მნიშვნელობა.
მაგალითები
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
როლები
ფუნქციის ოფიციალური განმარტება შემდეგია: ოკუპაცია ეს არის წესი, რომელიც უკავშირებს სიმრავლის თითოეულ ელემენტს მეორე სიმრავლის ერთ ელემენტს.
ეს წესი მათემატიკურად წარმოდგენილია ალგებრული გამოხატულებით, რომელსაც აქვს თანასწორობა, მაგრამ ეს უცნობს უკავშირებს უცნობს. ეს არის განსხვავება ფუნქციასა და განტოლებას შორის: განტოლება უცნობს უკავშირებს ფიქსირებულ რიცხვს; საათზე ოკუპაცია, უცნობი წარმოადგენს მთელ რიცხობრივ სიმრავლეს. ამ მიზეზით, ფუნქციების ფარგლებში უცნობებს ცვლადებს უწოდებენ, რადგან მათ შეუძლიათ მიიღონ ნებისმიერი მნიშვნელობა მათ მიერ წარმოდგენილ სიმრავლეში.
რადგან იგი მოიცავს ალგებრულ გამოთქმებს, ოკუპაცია ეს ასევე არის ალგებრის კუთვნილი შინაარსი, რადგან ასოები წარმოადგენს ნებისმიერი რიცხვის რიცხვს, რომელიც მიეკუთვნება ნებისმიერი სიმრავლის რიცხვს.
მაგალითები:
1) განვიხილოთ y = x ფუნქცია2, სადაც x არის ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი.
Ამაში ოკუპაცია, x ცვლადს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა რეალური რიცხვების სიმრავლეში. რადგან x- ით წარმოდგენილი რიცხვების y- ით წარმოდგენილ ციფრებთან დამაკავშირებელი წესი არის ძირითადი მათემატიკური ოპერაცია, ამიტომ y წარმოადგენს რეალურ ციფრებსაც. ამის შესახებ მხოლოდ დეტალს წარმოადგენს ის, რომ y ამ ფუნქციაში ვერ წარმოადგენს უარყოფით რეალურ რიცხვს, რადგან y არის ექსპონატის სიმძლავრის 2, რომელიც ყოველთვის დადებით შედეგს მიიღებს.
2) განვიხილოთ y = 2x ფუნქცია, სადაც x არის a ბუნებრივი რიცხვი.
Ამაში ოკუპაცია, x ცვლადს შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა ბუნებრივი რიცხვების სიმრავლეში. ეს რიცხვები არის დადებითი მთელი რიცხვები, ამიტომ მნიშვნელობები, რომელთა მიღებაც y- ს შეუძლია არის ბუნებრივი რიცხვები 2-ის ჯერადი. ამ გზით, y არის ლუწი რიცხვების სიმრავლის წარმომადგენელი.
კლასიკური ალგებრიდან აბსტრაქტულ ალგებრამდე
აქამდე ჩამოთვლილი ცნებები ქმნის კლასიკური ალგებრა. ალგებრის ეს ნაწილი უფრო უკავშირდება ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური, ირაციონალური, რეალური და რთული რიცხვების სიმრავლეებს და სწავლობს როგორც დაწყებით, ასევე უმაღლეს სასწავლებლებში. ალგებრის მეორე ნაწილი, რომელიც აბსტრაქტის სახელითაა ცნობილი, სწავლობს იგივე სტრუქტურებს, მაგრამ ნებისმიერი სიმრავლისთვის.
ამრიგად, ნებისმიერი სიმრავლის გათვალისწინებით, ნებისმიერი ელემენტით (რიცხვები თუ არა), შესაძლებელია განისაზღვროს ოპერაცია ”დამატება”, ოპერაცია "გამრავლება" და გადაამოწმონ ამ ოპერაციების თვისებების არსებობა, თუ არა, ასევე "განტოლებების", "ფუნქციების", "მრავალკუთვნების" ნამდვილობა და ა.შ.
ლუიზ პაულო მორეირას მიერ
დაამთავრა მათემატიკა
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm