THE 組み合わせ分析 は、カウントルールに関連する数学の研究分野です。 18世紀の初めに、サイコロとトランプを含むゲームの研究により、数え上げ理論が大きく発展しました。
組み合わせ論の仕事 ますます正確なカウントの実現を可能にします。カウントの基本原理 （PFC）、階乗とグループ化のタイプは、組み合わせ分析で研究された概念の例であり、提供することに加えて、 より大きい 精度が役立ちます 番号数学の他の分野の開発、 ザ・ 確率と O ニュートンの二項式.
あまりにも読む: アレンジメントまたは ç組み合わせ？
組み合わせ分析とは何ですか？
組み合わせ分析は、カウントプロセスに関連付けられています。つまり、数学のこの領域の研究により、実行に役立つツールを開発できます。 より効率的にカウント. 典型的なカウントの問題を見てみましょう。以下を参照してください。
例1
高速道路Rで接続された3つの都市A、B、Cについて考えてみます。1、R2、R3、R4 およびR5. 都市Bを経由して都市Aから都市Cに到達できる方法の数を決定します。
都市Aを離れて都市Bに行く必要があることに注意してください。そうして初めて、都市Cに移動できるので、すべてを分析してみましょう。 可能性 高速道路に続いてイベントを実行します。
1番目の方法： R1 → R3
2番目の方法： R1 → R4
3番目の方法： R1 → R5
4番目の方法： R2 → R3
5番目の方法： R2 → R4
6番目の方法： R2 → R5
したがって、都市Aから都市Bを経由して都市Cに移動する6つの異なる方法があります。 ただし、提案された問題は比較的単純であり、実行された分析はほとんど面倒ではなかったことに注意してください。 そこで、これからは、はるかに少ない労力で問題を解決できる、より洗練されたツールを研究していきます。
カウントの基本原理（PFC）
n個の独立した連続したステップで実行できるイベントEについて考えてみます。 ここで、最初のステップを実行する可能性の数がPに等しいと考えます。1、また、第2段階を実行する可能性の数がPであると想像してください2、など、最後のステージに到達するまで、Pがあります。番号 実行される可能性。
カウントの基本原則（PFC）は、 トータルの可能性 イベントEを開催することは次のように与えられます。
P1 ・p2 ・…・P番号
したがって、合計は、イベントEを構成する各ステップの可能性の積によって与えられます。 なお、イベントEを開催する可能性の合計を決定するためには、各ステージの可能性の合計を知る必要があります。
例2
カウントの基本原理を使用して、例1をやり直してみましょう。
例1の画像について考えてみます。
イベントは2段階で実行できることに注意してください。1つ目は都市Aから都市Bに、2つ目は都市Bから都市Cに移動します。 最初のステップを実行するには、2つの可能性があります（道路R1 およびR2）、そして第2段階を実行するには、3つの可能性があります（R3、R4 およびR5).
最初のステップ→2つの可能性
第2段階→3つの可能性
カウントの基本原則により、 かける 各ステップの総合的な可能性.
2 · 3
6
したがって、都市Aから都市Bを経由して都市Cに移動するには、合計6つの可能性があります。
例3
3つのオリンピックメダルを次の競技会で配布できる方法はいくつありますか マウンテンバイク 5人の競争相手と？
メダルの配布を整理することは、3段階で実行できるイベントです。 最初のステップは、誰が金メダルを獲得するかという全体的な可能性を分析することです。 五 可能性。
2番目のステップは、誰が銀メダルを獲得する可能性を分析することです。 四、 そもそもこの選択を入力しないので。 3番目のステップは、誰が銅メダルを獲得するかという全体的な可能性を分析することです。 三、 最初の2つはすでに選択されているので。
最初のステップ→5つの可能性
第2段階→4つの可能性
第3段階→3つの可能性
したがって、カウントの基本原則により、次のようになります。
5 · 4 · 3
60の可能性
も参照してください： 加法カウントの原則-1つ以上のセットの結合
階乗
O 階乗 の方法です 自然数を分解する. 数値の階乗を計算するには、数値1までのすべての先行要素を掛けるだけです。 階乗は感嘆符「！」で表されます。
いくつかの数の階乗を計算する方法のいくつかの例を参照してください。
） 2! （読み取り：2階乗）
計算では、次のように、階乗に付随する数に、その前任者の数を1まで乗算します。
2! = 2 ·1 = 2
B） 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç） 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d） 1! = 1
正式には、階乗は次のように書くことができます。
自然数n> 2を考えてみましょう。 nの階乗はnで示されます！ そして、nにそのすべての正の整数の先行関数を掛けることによって与えられます。
番号！ = n（n – 1）・（n – 2）・（n – 3）・…・1
次の階乗に注意してください。
4! と5！
次に、両方の開発を実行します。
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
5の開発では注意してください！ 4！の開発が登場。 だから私たちは5を書くことができます！ したがって：
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
例4
階乗秒を計算します遠吠え：
その15を参照してください！ 13まで開発されました！。 また、分数の分子では、要素が乗算されているため、13！を「カット」して、15・14しか得られないことに注意してください。
観察：0! = 1
グループ化タイプ
一部のカウントの問題はより複雑で、新しいツールを使用するとより簡単に解決できます。 これらのツールは、要素をさまざまな方法でグループ化し、カウントプロセスを容易にするため、グループ化と呼ばれます。 これらのグループ化は、単純な配置、順列、および単純な組み合わせです。
シンプルなアレンジ
n個の異なる要素を持つセットを考えてみましょう。 それを呼びましょう 配置 nから、pからpに取得された要素、pで順序付けられた任意のシーケンス、および要素の中から選択された個別の要素。
したがって、p個の要素によって形成されるサブセットの数は、pからpまでのn個の要素の配置になります。 アレンジメントの数を計算できる式は、次の式で与えられます。
例5
Aの値を計算します4,2 + A5,2.
式の値を計算するには、各配列を決定してから、それらの値を一緒に追加しましょう。 各配列の値を決定するには、数式の値を代入する必要があります。
n = 4とp = 2の両方が、式に代入されていることに注意してください。 ここで、2つずつ取得した5つの要素の配列の値を計算する必要があります。
したがって、次のことを行う必要があります。
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
例6
2、3、4、5、6、7、8、および9の数を使用して、いくつの異なる4桁の自然数を形成できますか？
この問題では、2435≠4235であるため、単純な配置を使用できます。 場合によっては、要素の順序によって要素が区別されないため、配置を使用できないことがわかります。
形成できる数の合計を決定したいので、要素の合計がに等しいことに注意してください。 8、そしてそれらを4つずつグループ化したいので：
単純な順列
n個の要素を持つセットを考えてみましょう。 それを呼びましょう 単純な順列 n個の要素の nからnまでのn個の要素のすべての配置. したがって、次のことを行う必要があります。
概念間に混乱が生じないように、n個の要素の単純な順列をPで表します。番号. したがって、次のことを行う必要があります。
P番号 = n！
例7
Pを計算する7 およびP3.
これらの順列を計算するには、数式の値を代入する必要があります。 見てください：
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
例8
ブラジルという単語に含まれるアナグラムの数を決定します。
アナグラムとして、単語の文字のすべての可能な転置を理解します。たとえば、「Lisarb」は アナグラム ブラジルという言葉の。 アナグラムの数を決定するには、単語内の文字の順列を計算する必要があるため、次のことを行う必要があります。
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
したがって、ブラジルという単語には720のアナグラムがあります。
また、アクセス： 繰り返される要素による順列
シンプルな組み合わせ
n個の異なる要素を持つ集合Aを考えてみましょう。 それを呼びましょう 組み合わせ pからpまでのn個の要素の p要素によって形成されるAのサブセット. 組み合わせを計算する式は次の式で与えられます。
例9
4から4までの10個の要素の組み合わせを計算します。
例10
幾つ 四辺形 点A、B、C、D、E、Fの頂点で明確に形成できますか？
ABCD四辺形は、このコンテキストではCDBA四辺形と同じであるため、配列ではなく組み合わせを使用する必要があることに注意してください。 合計6つのポイントがあり、次のように4つずつ組み合わせます。
したがって、15個の異なる四辺形を形成できます。
組み合わせ分析と確率
の研究 確率は、組み合わせ分析の研究と密接に関連しています。. 一部の確率問題では、特定のイベントのすべての可能な結果によって形成されたセットで構成されるサンプル空間を決定する必要があります。
場合によっては、公正なコインの裏返しのように、サンプル空間Eが非常に直接書き込まれます。この場合、考えられる結果は表または裏であり、次のように示されます。
E = {頭、尾}
ここで、次の状況を想像してみてください。サイコロが3回連続して投げられ、この実験のサンプル空間を決定することに関心があります。 すべての可能性を書き留めるのはもはや簡単な作業ではないことに注意してください。カウントの基本原理（PFC）を使用する必要があります。 イベントは3つの段階で実行できます。ダイには次のように6つの面があるため、それぞれに6つの可能性があります。
第一段階→6つの可能性
第2段階→6つの可能性
第3段階→6つの可能性
PFCによると、可能性の合計は次のとおりです。
6 · 6 · 6
216
したがって、このイベントのサンプルスペースは216であると言えます。
確率の研究についてはそれが コンビナトリアル分析の基本的な知識が必要です。なぜなら、実験のサンプル空間を決定せずに、確率演習の大部分を解決することは不可能だからです。 詳細については この数学の分野については、次のテキストを読んでください。確率.
解決された演習
質問1 –「城」という単語のアナグラムの数を決定します。 次に、文字cで始まるアナグラムの数を決定します。
解決
アナグラムの数を決定するには、次のように文字数の順列を計算する必要があります。
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
単語には5040のアナグラムがあります。 ここで、文字cで始まるアナグラムの数を決定するには、文字を修正し、他のアナグラムを計算する必要があります。以下を参照してください。
Ç__ __ __ __ __ __
文字cを修正するとき、次のように、順列を計算するための6つのフィールドが残っていることに注意してください。
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
つまり、文字cで始まる城という単語のアナグラムが720個あります。
質問2 –教室には、5人の男性と7人の女性がいます。 3人の男性と4人の女性のグループをいくつ形成できますか？
解決
まず、Joãoによって形成されたグループなど、人を選択する順序は重要ではないことを確認してください。 マルコスとホセはマルコス、ジョアン、ホセによって形成された同じグループであるため、 計算。
男性と女性が形成できるグループの数を別々に計算してみましょう。 次に、これらの結果を乗算してみましょう。男性の各グループは、 女性。
男性
合計→5
グループ内の数量→3
女性
合計→7
グループ内の数量→4
したがって、3人の男性と4人の女性が形成できるグループの総数は次のとおりです。
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
ロブソンルイス
数学の先生
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm