ベクトルと幾何学的表現による操作

彼によって形成された幾何学的図形とは異なり、 スコア 定義はありません。 つまり、ジオメトリでは、ポイントは他のオブジェクトの定義に使用される未定義のオブジェクトです。 たとえば、線は点のセットです。 それらは明確に定義されているように見えますが、2つ以上の点を含むセットは直線と見なされるため、線にも定義がありません。

一方、解析幾何学では、点が位置として扱われます。 任意の場所を点で表すことができ、さらに、その点の「アドレス」は座標によって与えられます。

ただし、解析幾何学では、点は位置を示すことしかできません。 軌道、方向、方向、強度を示すには、他のオブジェクトが必要です。 これらの最後の3つの場合、デカルト平面でそれらを表すために選択されたオブジェクトは ベクター.

→ベクトルとは？

ベクトルしたがって、は方向、感覚、強さを示すオブジェクトです。 それらは通常、原点から始まる矢印で表され、最後の点の座標が使用されます。

上の画像では、ベクトルはこのように表されています。つまり、座標が最終点に対応する矢印です。 ベクトルuの座標は（2,2）で、ベクトルvの座標は（4,2）です。 また、矢印は方向と方向を示すために使用され、そのサイズは強度を示します。

→数値によるベクトル乗算

ベクトルv =（a、b）が与えられると、vによる実数kの積は次の式で与えられます。

k・v = k・（a、b）=（k・a、k・b）

つまり、実数にベクトルを掛けるには、実数にそれぞれの座標を掛ける必要があります。

幾何学的に、ベクトルに実数を掛けると、ベクトルのサイズが直線的に増加します。

上記の例では、ベクトルuの座標は（2.2）であり、ベクトルu・kの座標は（4.4）であることに注意してください。 方程式（4.4）= k（2.2）を解くと、k = 2であると結論付けることができます。

→ベクトルの追加

2つのベクトルu =（a、b）とv =（c、d）が与えられると、それらの間の合計は次の式で得られます。

u + v =（a + c、b + d）

つまり、各ベクトルの対応する座標を合計するだけです。 この演算は、3次元以上の3つ以上のベクトルの合計に拡張できます。

幾何学的には、ベクトルuの端点から開始して、ベクトルv 'がベクトルvと平行に描画されます。 ベクトルvから開始して、ベクトルu 'がベクトルuと平行に描画されます。 これらの4つのベクトルは平行四辺形を形成します。 ベクトルu + vは、この平行四辺形の次の対角線です。

ベクトルを減算するには、減算を1つのベクトルと別のベクトルの反対の合計と見なします。 たとえば、ベクトルuからベクトルvを引くには、次のように記述します。u– v = u +（-v）。 -vベクトルはvベクトルですが、座標符号が逆になっています。

よく見ると、「ベクトルに数値を掛ける」操作と「ベクトルを足す」操作 実数に対して乗算および加算演算を使用しますが、 ベクター。 したがって、ベクトルの場合、実数の加算と乗算のすべてのプロパティが有効です。

ベクトルu、v、wと実数k、lが与えられると、

i）（u + v）+ w =​​ u +（v + w）

ii）u + v = v + u

iii）v + 0 = vとなるようなベクトル0 =（0.0）があります

iv）v +（-v）= 0となるようなベクトル-vがあります

v）k（u + v）= ku + kv

vi）（k + l）v = kv + lv

vii）kl（v）= k（lv）

viii）1v = v

→ベクトルの標準

ベクトルのノルムは、実数の大きさ、つまり、ベクトルと点（0,0）の間の距離、または参照フレームによってはベクトルの長さに相当します。

ベクトルv =（a、b）のノルムは|| v ||で表されます。 次の式を使用して計算できます。

|| v || =√（a² + b²)

→内部製品

内積は、ベクトル間の積に匹敵します。 上記の積は、ベクトルと実数の積であることに注意してください。 ここで、問題の「製品」は2つのベクトルの間にあります。 ただし、「2つのベクトル間の積」ではなく、「2つのベクトル間の内部積」と言う必要があります。 ベクトルv =（a、b）とu =（c、d）の間の内積は、で表されます。 次のように計算できます。

= a・c + b・d

また、次の表記を使用するのが通例です。

=

ベクトルv =（a、b）のノルムを使用して、ノルムと内積を関連付けることができることに注意してください。

|| v || =√（a² + b²）=√（a・a + b・b）=√（)

ルイス・パウロ・モレイラ
数学を卒業

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm