オイラーの関係は、凸多面体の頂点、辺、面の数を関連付ける等式です。 これは、面の数に頂点の数を加えたものが、エッジの数に2を加えたものに等しいことを示しています。
オイラー関係は次の式で与えられます。
どこ、
F 顔の数です、
V 頂点の数、
THE エッジの数。
多面体が凸であるときはいつでも、オイラーの関係を使用して、V、F、またはAの未知の値を決定または確認できます。
| 多面体 | F | V | THE | F + V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| キューブ | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| 三角錐 | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| 五角形ベースプリズム | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| 正八面体 | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
例
凸多面体には、20の面と12の頂点があります。 エッジの数を決定します。
オイラーの関係を使用してAを分離する：
FとVの値を代入する：
面、頂点、エッジ
多面体は、側面が丸くない、立体的な3次元の幾何学的形状です。 これらの側面は、多面体の面（F）です。
顔の出会い、エッジ（A）と呼びます。
頂点は、3つ以上のエッジが交わる点です。
凸多面体
凸多面体は、凹面を示さない幾何学的な立体であるため、それらの面のいずれにも、180°を超える内角はありません。
この多面体では、青色でマークされた内角が180度を超えているため、凸多面体ではありません。
詳細を見る 多面体.
オイラーの関係に関する演習
演習1
9つのエッジと6つの頂点を持つ多面体の面の数を見つけます。
正解：5面。
オイラーの関係を使用する：
F + V = A + 2
F = A + 2-V
F = 9 + 2-6
F = 11-6
F = 5
演習2
十二面体は、12面の正多面体です。 20個の頂点があることを知って、エッジの数を決定します。
正しい答え：
オイラーの関係を使用する：
F + V = A + 2
F + V-2 = A
12 + 20-2 = A
32-2 = A
30 = A
演習3
面が三角形である面の数に関連して、4つの頂点と6つのエッジを持つ多面体の名前は何ですか？
回答：四面体。
その面の数を決定する必要があります。
F + V = A + 2
F = A + 2-V
F = 6 + 2-4
F = 8-4
F = 4
三角形の形をした4つの面を持つ多面体は四面体と呼ばれます。
レオンハルト・ポール・オイラーは誰でしたか？
レオンハルト・ポール・オイラー（1707-1783）は、天文学研究に貢献しただけでなく、歴史上最も熟練した数学者および物理学者の1人でした。 ドイツ語を話すスイス人で、彼はサンクトペテルブルク科学アカデミーで物理学の教授を務め、後にベルリンアカデミーで教授を務めました。 彼は数学に関するいくつかの研究を発表しています。
また学ぶ：
- 幾何学的な立体
- 空間ジオメトリ
- 幾何学模様
- プリズム-幾何学的図形
- ピラミッド
- 敷石
- キューブ
