三角数。 三角数を知る

ビー玉で遊んで三角形を作ることを想像してみてください。 最初に、ボールは小さな三角形のようなものであると考えることができます。

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次に、それらの下に2つのビー玉を配置し、の3つの頂点を形成します。 三角形:

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これらの下にさらに3つのボールを配置すると、別の三角形が形成されます。

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以前に配置された量に関連してボールを追加する各ステップで、常に三角形が形成されます。 さらに4つのボールを追加して形成された三角形を参照してください。

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各ステップのボールの総数は、と呼ばれる数のクラスを特徴づけます 三角数. 数学者カールフリードリヒガウスは、各三角形の合計量を示す式を発見しました。ここで、 NS₁最初の三角形に対応し、 NS₂, 2番目の三角形に、というように続きます。 ガウスによって記述された合計は NS と, 各段階で、最後に追加された番号の1単位上の番号に対応する番号が追加されました。

NS₁ = 1
​NS₂= 1 + 2 = 3
NS₃ = 1 + 2 + 3 = 6
NS₄= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
NS₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

これらの合計の結果は三角数でした：1、3、6、10、15.. .. これらの合計のそれぞれに確立されたパターンがあることに注意してください。 注意深く見ると、それぞれが 等差数列 理由1の。 だからここにあります ガウス和、これは、一定の比率の合計で、最初の要素を最後の要素に追加すると、2番目の要素を最後から2番目の要素に追加した場合と同じ結果が得られることを確立します。 合計のガウス和プロセスがどのように発生するかを見てみましょう。 NS₆ と NS₇:

三角数の合計に適用されるガウス和プロセス

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停止した場合 NS₆ と NS₇ 上の画像の合計があります。この合計を次のように再現してみましょう。 NS₈、 NS₉、 NS₁₀ と NS₁₁:

NS₈ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
NS₉= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
NS₁₀= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
NS₁₁= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66

一般化して合計を得ることができます NS_番号:

NS_番号 = NS。 （n + 1）、nが偶数の場合
2

NS_番号 = (n-1）。（n + 1）+ （n-1） + 1、nが奇数の場合
​2 2

のように ナンバーマジック、三角数に関する別の興味深い事実を示すことができます：後続の三角数の合計 常に完全な正方形として分類できる数、つまり根を持つ数になります 四角。 どれどれ：

NS₁ + S₂ = 1 + 3 = 4
​NS₂ + S₃ = 3 + 6 = 9
NS₃ + S₄ = 6 + 10 = 16
NS₄ + S₅ = 10 + 15 = 25
NS₅ + S₆ = 15 + 21 = 36
NS₆ + S₇ = 21 + 28 = 49
NS₇ + S₈ = 28 + 36 = 64
​NS₈ + S₉ = 36 + 45 = 81
NS₉ + S₁₀ = 45 + 55 = 100
NS₁₀ + S₁₁ = 55 + 66 = 121

得られた結果、4、9、16、25、36、49、64、81、100、および121は、すべて完全な正方形です。

アマンダ・ゴンサルベス
数学を卒業

学校や学業でこのテキストを参照しますか？ 見て：

リベイロ、アマンダゴンサルベス。 "三角数"; ブラジルの学校. で利用可能： https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. 2021年7月27日にアクセス。