THE 余弦定理 は、他の測定値を知って、任意の三角形の1つの辺または未知の角度の測定値を計算するために使用されます。
ステートメントと式
コサイン定理は次のように述べています。
"どの三角形でも、一方の辺の正方形は、他の2つの辺の正方形の合計から、それらの2つの辺の角度の余弦による2倍の積を引いたものです。."
したがって、余弦定理により、三角形の辺と角度の間には次の関係があります。
例
1. 三角形の2つの辺は20cmと12cmで、それらの間で120°の角度を形成します。 3番目の辺の測定値を計算します。
解決
3番目の辺の測度を計算するには、余弦定理を使用します。 このために、考えてみましょう：
b = 20 cm
c = 12 cm
cosα=cos120º= -0.5（三角関数表にある値）。
式でこれらの値を置き換える：
ザ・2 = 202 + 122 - 2. 20. 12. (- 0,5)
ザ・2 = 400 + 144 + 240
ザ・2 = 784
a =√784
a = 28 cm
だから第三側の対策 28cm.
2. 次の図から、辺ACの測度とAの頂点との角度の測度を決定します。
まず、AC = bを決定しましょう。
B2 = 82 + 102 – 2. 8. 10. cos50日
B2 = 164 – 160. cos50日
B2 = 164 – 160. 0,64279
b≈7.82
それでは、余弦定理によって角度の尺度を決定しましょう。
82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161.1524 –156.4cosÂ
cosÂ= 0.62
 = 52º
注意：コサイン角の値を見つけるために、 三角関数表. その中には、三角関数（正弦、余弦、正接）ごとに1ºから90ºの角度の値があります。
応用
余弦定理はどの三角形にも適用できます。 鋭角（内角90°未満）、鈍角（内角90°より大きい）、または長方形（内角90°）のいずれでもかまいません。
長方形の三角形はどうですか？
以下に示すように、余弦定理を90°の角度の反対側に適用してみましょう。
ザ・2 = b2 + c2 - 2. B。 ç。 cos90º
cos90º= 0であるため、上記の式は次のようになります。
ザ・2 = b2 + c2
これはの表現と同じです ピタゴラスの定理. したがって、この定理は余弦定理の特定のケースであると言えます。
余弦定理は、2つの辺とそれらの間の角度がわかっていて、3番目の辺を見つけたい問題に適しています。
三角形の3つの辺がわかっていて、その角度の1つを知りたい場合でも、これを使用できます。
2つの角度と片側だけがわかっていて、もう一方の側を決定したい場合は、 罪の法則.
コサインとサインの定義
角度のコサインとサインは次のように定義されます。 三角関数の比率 直角三角形で。 次の図に示すように、直角（90°）の反対側は斜辺と呼ばれ、他の2つの側は脚と呼ばれます。
コサインは、隣接する側の測定値と斜辺の比率として定義されます。
サインは、反対側の脚の測定値と斜辺の比率です。
入試演習
1. （UFSCar）三角形の辺がx、x +1およびx + 2を測定する場合、 バツ 実数で1より大きい場合、この三角形の最大内角の余弦は次のようになります。
a）x / x + 1
b）x / x + 2
c）x + 1 / x + 2
d）x – 2 / 3x
e）x – 3 / 2x
代替案e）x – 3 / 2x
2. （UFRS）下の図に示されている三角形では、ABとACの測度は同じであり、辺BCに対する高さはBCの測度の2/3に等しくなります。
これらのデータに基づくと、角度CÂBのコサインは次のとおりです。
a）7/25
b）7/20
c）4/5
d）5/7
e）5/6
代替案a）7/25
3. （UF-Juiz de Fora）三角形の2つの辺は8mと10mで、60°の角度を形成します。 この三角形の3番目の辺は次のように測定します。
a）2√21m
b）2√31m
c）2√41m
d）2√51m
e）2√61m
代替案a）2√21m
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