複素数は 実数部と虚数部で構成される数.
それらは、要素が実数（R）のセットに属するすべての順序対（x、y）のセットを表します。
複素数のセットは、によって示されます。 Ç と操作によって定義されます：
- 平等：（a、b）=（c、d）↔a= cおよびb = d
- 添加：（a、b）+（c、d）=（a + b + c + d）
- 乗算：（a、b）。 （c、d）=（ac – bd、ad + bc）
虚数単位（i）
文字で示されます 私、虚数単位は順序対（0、1）です。 すぐに：
私。 i =-1↔i2 = –1
したがって、 私 は–1の平方根です。
Zの代数形式
Zの代数形式は、次の式を使用して複素数を表すために使用されます。
Z = x + yi
どこ：
- バツ x = Re（Z）で示される実数であり、 Zの実数部.
- y y = Im（Z）で示される実数であり、呼び出されます Zの虚数部.
複素数共役
複素数の共役は次のように示されます。 z、 によって定義されます z = a --bi. したがって、その虚数部の符号が交換されます。
したがって、z = a + biの場合、z = a – bi
複素数にその共役を掛けると、結果は実数になります。
複素数間の等式
2つの複素数Zであること1 =（a、b）およびZ2 =（c、d）、a = cおよびb = dの場合は等しくなります。 それは、それらが同一の実数部と虚数部を持っているためです。 したがって：
a + bi = c + di いつ a = cおよびb = d
複素数の演算
複素数を使用すると、加算、減算、乗算、除算の演算を実行できます。 以下の定義と例を確認してください。
添加
Z1 + Z2 =（a + c、b + d）
代数形式では、次のようになります。
（a + bi）+（c + di）=（a + c）+ i（b + d）
例:
（2 + 3i）+（– 4 + 5i）
（2-4）+ i（3 + 5）
–2 + 8i
減算
Z1 – z2 =（a-c、b-d）
代数形式では、次のようになります。
（a + bi）-（c + di）=（a-c）+ i（b-d）
例:
（4-5i）-（2 + i）
（4 – 2）+ i（–5 –1）
2-6i
乗算
（a、b）。 （c、d）=（ac – bd、ad + bc）
代数形式では、分配法則を使用します。
（a + bi）。 （c + di）= ac + adi + bci + bdi
2 （私2 = –1)（a + bi）。 （c + di）= ac + adi + bci – bd
（a + bi）。 （c + di）=（ac --bd）+ i（ad + bc）
例:
（4 + 3i）。 （2-5i）
8 – 20i + 6i – 15i2
8-14i + 15
23 – 14i
分割
Z1/ Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
上記の等式で、Zの場合3 = x + yi、次のようになります。
Z1 = Z2. Z3
a + bi =（c + di）。 （x + yi）
a + bi =（cx-dy）+ i（cy + dx）
未知数xとyのシステムにより、次のようになります。
cx-dy = a
dx + cy = b
すぐに、
x = ac + bd / c2 + d2
y = bc-ad / c2 + d2
例:
2-5i / i
2 – 5i /。 （– i）/（– i）
-2i + 5i2/–i2
5-2i
フィードバック付き入試演習
1. （UF-TO）検討する 私 複素数の虚数単位。 式（i + 1）の値8 é:
a）32i
b）32
c）16
d）16i
代替案c：16
2. （UEL-PR）方程式iz – 2w（1 + i）= 0（w z）の共役が次のとおりであることを示します。
a）z = 1 + i
b）z =（1/3）-i
c）z =（1-i）/ 3
d）z = 1 +（i / 3）
e）z = 1-i
代替e：z = 1-i
3. （Vunesp-SP）複素数z =cosπ/ 6 +isinπ/ 6を考えます。 Zの値3 + Z6 + Z12 é:
そこ
b）½+√3/ 2i
c）i – 2
d）i
e）2i
代替案d：i
コメント付きの解決策とともに、他の質問をチェックしてください。 複素数の演習.
ビデオレッスン
複素数の知識を広げるには、ビデオをご覧ください "複素数の紹介"
複素数の歴史
複素数の発見は、数学者Girolamo Cardano（1501-1576）の貢献のおかげで16世紀に行われました。
しかし、これらの研究が数学者カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）によって公式化されたのは、18世紀になってからでした。
負の数は平方根を持ち、複素数の発見までは不可能と考えられていたため、これは数学の大きな前進でした。
詳細については、こちらもご覧ください。
- 数値セット
- 多項式
- 無理数
- 1次方程式
- 増強と放射線
