סינוס, קוסינוס ומשיק הם השמות שניתנו ל יחסים טריגונומטריים. רוב הבעיות הכרוכות בחישובי מרחק נפתרות באמצעות טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה. ולשם כך, חשוב מאוד להבין את יסודותיו, החל מ- משולש ישר זווית.
יחסים טריגונומטריים חשובים מאוד, מכיוון שהם מתייחסים למדידות משני צידי השטח משולש עם אחת הזוויות החריפות, הקושרת מערכת יחסים זו עם מספר ממשי.
ראה עוד: זיהוי רביעי המחזור הטריגונומטרי
תכונות של המשולש הנכון
המשולש הימני נוצר על ידי a זָוִית 90 ° (זווית ישרה). הזוויות האחרות קטנות מ- 90 מעלות, כלומר הן חריפות, ובנוסף אנו יודעים שהצדדים הגדולים ביותר תמיד מנוגדים לזוויות הגדולות ביותר. במשולש הימני, הצד הגדול ביותר נקרא אֲלַכסוֹן והוא "מול" הזווית הנכונה, הצדדים האחרים נקראים פקרי.
במשולש שלמעלה, יש לנו שהצדדים המודדים c ו- b הם הרגליים, והצד שמודד a הוא ההיפוטנוזה. בכל משולש נכון, היחסים ידעו כ משפט פיתגורס תקף.
ה2 = ב2 + ג2
פקרי הצווארון, מעתה ואילך, יקבל גם שמות מיוחדים. המינוח של הרגליים יהיה תלוי בזווית הייחוס. בהתחשב בזווית בכחול בתמונה לעיל, יש לנו שהצד שמודד את b הוא ה- רגל הנגדית, והצד שנמצא ליד הזווית, כלומר, המודד c הוא ה רגל סמוכה.
סינוס
לפני שנגדיר נוסחה לסינוס של זווית, בואו נבין את רעיון הסינוס. דמיין רמפה, עליה נוכל לקבוע את סיבה בין גובה למסלול, נכון? יחס זה ייקרא סינוס הזווית α.
לכן,
חטא α = גוֹבַה
מַסלוּל
קוסינוס
אנלוגי לרעיון הסינוס, יש לנו את תחושת הקוסינוס, אולם ברמפה הקוסינוס הוא היחס בין המרחק מהקרקע לשביל לאורך הרמפה.
לכן:
cos α = הֲסָרָה
מַסלוּל
מַשִׁיק
בדומה לרעיונות הסינוס והקוסינוס, המשיק הוא היחס בין גובה ומרחק של רמפה.
לכן:
tg α = גוֹבַה
הֲסָרָה
המשיק נותן לנו את קצב טיפוס.
קרא גם: טריגונומטריה בכל משולש
הקשר בין סינוס, קוסינוס ומשיק
באופן כללי, לאחר מכן נוכל להגדיר סינוס, קוסינוס ומשיק בכל משולש נכון באמצעות הרעיונות הקודמים. ראה למטה:
ראשית לוקח את זווית α כהפניה, יש לנו:
חטא α = הצד הנגדי = ç
hypotenuse ל
cos α = קטט סמוך = ב
hypotenuse ל
tg α = הצד הנגדי = ç
קטט צמוד ב
עכשיו לוקחים את הזווית β כהפניה, יש לנו:
חטא β = הצד הנגדי = ב
hypotenuse ל
cos β = קטט סמוך = ç
hypotenuse ל
tg β = הצד הנגדי = ב
צנתר צמוד ג
טבלאות טריגונומטריות
ישנם שלושה ערכי זווית שעלינו לדעת. האם הם:
הערכים האחרים ניתנים בהצהרות התרגילים או שניתן לבדוק אותם בטבלה הבאה, אך אל דאגה, אין צורך לזכור אותם (למעט הערכים בטבלה הקודמת).
זווית (°) |
סינוס |
קוסינוס |
מַשִׁיק |
זווית (°) |
סינוס |
קוסינוס |
מַשִׁיק |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
גם יודע: סיקנט, קוסנט וקוטנג'נט
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - קבע את הערך של x ו- y במשולש הבא.
פִּתָרוֹן:
ראה במשולש שהזווית שניתנה הייתה 30 °. עדיין מסתכלים על המשולש, יש לנו את הצד שמודד איקס זה ה רגל הנגדית בזווית של 30 °, והצד שמודד y זה ה רגל סמוכה בזווית של 30 °. לפיכך, עלינו לחפש יחס טריגונומטרי המתייחס למה שאנחנו מחפשים עם מה שניתן (היפוטנוזה). בקרוב:
חטא 30 ° = הצד הנגדי
אֲלַכסוֹן
cos 30 ° = קטט סמוך
אֲלַכסוֹן
נקבע ערך x:
חטא 30 ° = הצד הנגדי
אֲלַכסוֹן
חטא 30 ° = איקס
2
במבט לשולחן עלינו:
חטא 30 ° = 1
2
אם נחליף אותה במשוואה, יהיה לנו:
1 = איקס
2 2
x = 1
באופן דומה, נשקול
לכן:
קוס 30 ° = √3
2
cos 30 ° = קטט סמוך
אֲלַכסוֹן
cos 30 ° = י
2
√3 = י
2 2
y = √3
שאלה 2 - (PUC-SP) מה הערך של x באיור הבא?
פִּתָרוֹן:
במבט על המשולש הגדול יותר, שים לב ש y הוא הפוך לזווית של 30 ° וכי 40 הוא ההיפוטנוזה, כלומר נוכל להשתמש ביחס הסינוס הטריגונומטרי.
חטא 30 ° = י
40
1 = י
2 40
2 y = 40
y = 20
עכשיו כשמתבוננים במשולש הקטן יותר, רואים שיש לנו את הערך של הצד הנגדי ואנחנו מחפשים את הערך של x, שהוא הצד הסמוך. הקשר הטריגונומטרי הכרוך בשתי הרגליים הללו הוא המשיק. לכן:
tg 60 ° = 20
איקס
√3= 20
איקס
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
