סטים: סימון, דרכי ייצוג, פעולות

ההבנה של סטים הוא הבסיס העיקרי לחקר אַלגֶבּרָה ומושגים בעלי חשיבות רבה במתמטיקה, כגון פונקציות ואי שוויון. הסימון שאנו משתמשים בו עבור קבוצות הוא תמיד אות גדולה מאות האלפבית שלנו (למשל קבוצה A או קבוצה B).

במונחים של ייצוג של סטים, זה יכול להיעשות על ידי דיאגרמת ון, על ידי תיאור פשוט של מאפייני יסודותיו, על ידי ספירת היסודות או על ידי תיאור תכונותיהם. כשעובדים עם בעיות הכוללות סטים, ישנם מצבים הדורשים ביצוע של פעולות בין סט לסט, להיות האיחוד, הצומת וההבדל. האם אנו הולכים ללמוד את כל זה בפירוט?

ראה גם: ביטויים מספריים - למדו לפתור אותם!

סימון וייצוג סטים

לייצוג של סט, אנו תמיד משתמשים ב- אות גדולה של האלף בית, והאלמנטים תמיד בין מקשים ומופרדים בפסיק. כדי לייצג את קבוצת המספרים הזוגיים הגדולים מ- 1 ופחות מ- 20, למשל, אנו משתמשים בסימון הבא: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.

• צורות ייצוג של סטים

1. ייצוג על ידי ספירה: אנחנו יכולים למנות את האלמנטים שלה, כלומר להכין רשימה, תמיד בין הפלטה. ראה דוגמה:

A = {1,5,9,12,14,20}

1. המתאר את התכונות: אנו יכולים לתאר בפשטות את המאפיין של הסט. לדוגמא, תן ל- X להיות סט, יש לנו ש- X = {x הוא מכפיל מספר חיובי של 5}; Y: הוא קבוצת חודשי השנה.

2. דיאגרמת ון: ניתן לייצג קבוצות גם בצורה של תרשים, המכונה a דיאגרמת ון, המהווה ייצוג יעיל יותר לביצוע פעולות.

דוגמא:

בהתחשב בקבוצת A = {1,2,3,4,5}, אנו יכולים לייצג אותה בתרשים ון הבא:

תרשים סט A

אלמנטים של מערכת יחסים וחברות

בהינתן כל אלמנט, אנו יכולים לומר כי היסוד שייך לסט או לא שייך לסט הזה. כדי לייצג קשר חברתי זה במהירות רבה יותר, אנו משתמשים בסמלים(נקרא כשייך) ו- ∉ (קרא כלא שייך). לדוגמה, תן ל- P להיות הסט של מספרים זוגיים, אנו יכולים לומר כי 7 ∉ P וכי 12  פ.

שוויון סטים

השוואה בין קבוצות היא בלתי נמנעת, ולכן אנו יכולים לומר ששתי קבוצות שוות או לא, תוך בדיקת כל אחד מהאלמנטים שלה. בואו A = {0,1,3,4,8} ו- B = {8,4,3,1,0}, גם אם האלמנטים בסדר שונה, אנו יכולים לומר שהקבוצות A ו- B שוות: A = B.

יחסי הכללה

כאשר משווים בין שתי קבוצות, אנו יכולים להיתקל בכמה מערכות יחסים, ואחת מהן היא יחסי ההכלה. עבור מערכת יחסים זו עלינו לדעת כמה סמלים:

⊃ → מכיל ⊂→ מכיל

⊅ → אינו מכיל ⊄→אינו כלול

טיפ: הצד הפותח של הסמל תמיד יפנה לסט הגדול יותר.

כשכל האלמנטים של קבוצה A שייכים גם לקבוצה B, אנו אומרים ש- A ⊂ B או ש- A כלול ב- B. לדוגמה, A = {1,2,3} ו- B = {1,2,3,4,5,6}. אפשר גם לבצע את הייצוג על ידי דיאגרמת ון, שייראה כך:

• A כלול ב- B:

A ⊂ B

תת-קבוצות

כש יחסי הכללהכלומר, קבוצה A כלולה בקבוצת B, אנו יכולים לומר ש A היא תת קבוצה של B. קבוצת המשנה נותרה קבוצה, ו סט יכול להכיל קבוצות משנה מרובות, בנוי מהיסודות השייכים לו.

לדוגמא: ת: {1,2,3,4,5,6,7,8} יש כקבוצות משנה את הקבוצות B: {1,2,3}; ג: {1,3,5,7}; D: {1} ואפילו הסט A {1,2,3,4,5,6,7,8}, כלומר A הוא תת קבוצה של עצמו.

סט יחידני

כפי שהשם כבר מרמז, זה קבע זאת יש רק אלמנט אחד, כמו הסט D: {1} שהוצג קודם. בהתחשב בערכה B: {1,2,3}, יש לנו את קבוצות המשנה {1}, {2} ו- {3}, שכולן קבוצות יחידות.

תשומת הלב: הקבוצה E: {0} היא גם קבוצה יחידה, מכיוון שיש בה אלמנט יחיד, "0", והיא אינה קבוצה ריקה.

קרא גם: סט שלמים - אלמנטים ומאפיינים

סט ריק

עם שם מרמז עוד יותר, לסט הריק אין אלמנטים והוא קבוצת משנה של קבוצה כלשהי. כדי לייצג את הסט הריק, ישנם שני ייצוגים אפשריים, הם V: {} או הסמל Ø.

סטים של חלקים

אנו מכירים כסטים של חלקים את כל קבוצות המשנה האפשריות של קבוצה נתונה. תן A: {1,2,3,4}, אנו יכולים לרשום את כל קבוצות המשנה של קבוצה זו A החל מהקבוצות ש- אין אלמנטים (ריקים) ואז אלה שיש להם אחד, שניים, שלושה וארבעה אלמנטים, בהתאמה.

• סט ריק: { };

• ערכות יחידות: {1}; {2};{3}; {4}.

• סטים עם שני אלמנטים: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.

• סטים עם שלושה אלמנטים: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.

• ערכה עם ארבעה אלמנטים: {1,2,3,4}.

לכן, אנו יכולים לתאר את קבוצת החלקים של A באופן זה:

P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}

כדי לברר כמה חלקים אפשר לחלק קבוצה, אנו משתמשים בנוסחה:

n [P (A)] = 2^לא

מספר החלקים של A מחושב על ידי a פּוֹטֵנצִיָה בסיס 2 הועלה ל לא, על מה לא הוא מספר האלמנטים בערכה.

שקול את סט A: {1,2,3,4}, הכולל ארבעה אלמנטים. סך כל קבוצות המשנה האפשריות של קבוצה זו הוא 2⁴ =16.

קרא גם: מהי קבוצת המספרים הלא רציונליים?

סט סופי ואינסופי

כשעובדים עם סטים אנו מוצאים סטים שכן מוגבל (סופי) ואלה שכן בלתי מוגבל (אינסופי). הסט של מספרים זוגיים או אי זוגיים, למשל, הוא אינסופי וכדי לייצג אותו אנו מתארים כמה מרכיבים ברצף, כך שניתן יהיה לחזות מה יהיו האלמנטים הבאים, ושמנו אליפסות ב סופי.

אני: {1,3,5,7,9,11 ...}

P: {2,4,6,8,10, ...}

בערכה סופית, לעומת זאת, אנו לא שמים את האליפסות בסוף, מכיוון שיש לה התחלה וסוף מוגדרים.

ת: {1,2,3,4}.

סט היקום

או סט היקום, מסומן על ידי U, מוגדר כמערכת שנוצרה על ידי כל האלמנטים שיש להתחשב בהם בבעיה. כל יסוד שייך לקבוצת היקום וכל קבוצה כלולה בקבוצת היקום.

פעולות עם סטים

הפעולות עם סטים הן: איחוד, צומת ושוני.

• צומת סטים

צומת הוא אחת הפעולות בין סט לסט.

צומת מתרחש כאשר אלמנטים שייכים בו זמנית לקבוצה אחת או יותר. בעת כתיבת A∩B, אנו מחפשים אלמנטים השייכים הן לקבוצה A והן לקבוצה B.

דוגמא:

שקול A = {1,2,3,4,5,6} ו- B = {2,4,6,7,8}, האלמנטים השייכים הן לקבוצה A והן לקבוצה B הם: A∩B = {2, 4,6}. הייצוג של פעולה זו נעשה באופן הבא:

­­ A∩B

כאשר לסטים אין אלמנטים משותפים, הם מכונים סטים מחוברים.

ייצוג סטים מחוברים

A∩B = Ø

• ההבדל בין הסטים

ההבדל בין סטים (A - B)

לחשב את ההבדל בין שתי סטים זה לחפש אלמנטים השייכים רק לאחת משתי הסטים. לדוגמא, ל- A - B יש כתשובה מערך המורכב מאלמנטים השייכים לקבוצת A ואינם שייכים לקבוצה B.

דוגמה: A: {1,2,3,4,5,6} ו- B: {2,4,6,7,8}. שים לב ש A ∩ B = {2,4,6}, אז יש לנו את זה:

א) A - B = {1,3,5}

ב) B - A = {7,8}

• אַחְדוּת

האיחוד של שתי קבוצות או יותר הוא מצטרף לתנאים שלך. אם יש אלמנטים שחוזרים על עצמם בשתי הערכות, הם נכתבים פעם אחת בלבד. לדוגמא: A = {1,2,3,4,5} ו- B = {4,5,6,7,10,14}. כדי לייצג את האיחוד, אנו משתמשים בסמל (נקרא: איחוד עם B).

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

למידע נוסף על פעולות אלה ובדיקת מספר תרגילים נפתרים, קרא: פעולות עם סטים.

חוקי מורגן

תן ל- A ו- B להיות שתי קבוצות ולתת U להיות קבוצת היקום, ישנם שני מאפיינים הניתנים על ידי חוקי מורגן, כלומר:

(A U B)^ç = א^ç ∩B^ç

(A ∩ B)^ç = א^ç U B^ç

דוגמא:

בהתחשב בערכות:

• U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

• ת: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

• ב: {5.10,15,20}

בואו נבדוק את זה (A U B)^ç = א^ç ∩B^ç. אז עלינו:

A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

לכן, (A U B)^ç={1,3,7,9,11,13,17,19}

כדי לבדוק את אמיתות השוויון, בואו ננתח את הפעולה א '^ç ∩B^ç:

ה^ç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

ב^ç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

לאחר מכן, ה^ç ∩B^ç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

(A U B)^ç = א^ç ∩B^ç

תרגילים נפתרו

01) שקול U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} ו- B: {4,5,6, 7,8,9}. הראה כי (A ∩ B)^ç = א^ç U B^ç.

פתרון הבעיה:

• שלב 1: מצא (A ∩ B)^ç. בשביל זה, יש לנו את A ∩ B = {4,5,6}, אז (A ∩ B)^ç ={1,2,3,7,8,9,10}.

• שלב שני: מצא^ç U B^ç. ה^ç: {7,8,9,10} ו- B^ç: {1,2,3,10}, אז א^ç U B^ç = {1,2,3,7,8,9,19}.

מוצג כי (A ∩ B)^ç = א^ç U B^ç.

02) בידיעה ש- A היא קבוצת המספרים הזוגיים בין 1 ל -20, מה המספר הכולל של קבוצות המשנה שנוכל לבנות מאלמנטים של אותה קבוצה?

פתרון הבעיה:

תן P להיות הסט המתואר, יש לנו את P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. לכן מספר האלמנטים של P הוא 10.

לפי קבוצת תיאוריית החלקים, מספר קבוצות המשנה האפשריות של P הוא:

2¹⁰=1024

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה