בניגוד לדמויות הגיאומטריות שנוצרו על ידו, ה ציון אין הגדרה. פירוש הדבר שבגיאומטריה נקודה היא אובייקט לא מוגדר המשמש להגדרת אובייקטים אחרים. קווים, למשל, הם סטים של נקודות. למרות שהם נראים מוגדרים היטב, גם לשורות אין שום הגדרה, שכן כל קבוצה המכילה שתי נקודות או יותר נחשבת ישרות.
מצד שני, בגיאומטריה אנליטית הנקודה נלקחת כמיקום. כל מיקום יכול להיות מיוצג על ידי נקודה ובנוסף, ה"כתובת "של אותה נקודה ניתנת באמצעות קואורדינטות.
עם זאת, בגיאומטריה אנליטית, נקודות מסוגלות רק לציין מיקומים. יש צורך באובייקטים אחרים כדי לציין מסלול, כיוון, כיוון ועוצמה. במקרה של שלושת האחרונים הללו, האובייקט שנבחר לייצג אותם במישור הקרטזיאני הוא וֶקטוֹר.
→ מהו וקטור?
וקטורים, לכן, הם עצמים המצביעים על כיוון, חוש ועוצמה. הם מיוצגים בדרך כלל על ידי חיצים, שמתחילים מהמקור, ומשמשים את הקואורדינטות של הנקודה האחרונה שלהם.
בתמונה לעיל, הווקטורים מיוצגים בצורה זו, כלומר חצים שקואורדינטותיהם תואמות את הנקודה הסופית שלהם. לווקטור u יש קואורדינטות (2,2) ולווקטור v יש קואורדינטות (4,2). כמו כן, החץ משמש לציון כיוון וכיוון, וגודלו מצביע על עוצמה.
→ כפל וקטורי במספר
בהינתן הווקטור v = (a, b), המוצר של המספר האמיתי k על ידי v ניתן על ידי הביטוי:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
במילים אחרות, כדי להכפיל מספר ממשי בווקטור, עליכם להכפיל את המספר האמיתי בכל אחד מהקואורדינטות שלו.
מבחינה גיאומטרית, הכפלת וקטור במספר אמיתי מגדילה את גודל הווקטור באופן לינארי:
שים לב שבדוגמה לעיל, לווקטור u יש קואורדינטות (2.2), ולווקטור u · k יש קואורדינטות (4.4). בפתרון המשוואה (4.4) = k (2.2), אנו יכולים להסיק ש- k = 2.
→ הוספת וקטורים
בהינתן שני וקטורים u = (a, b) ו- v = (c, d), הסכום ביניהם יתקבל באמצעות הביטוי:
u + v = (a + c, b + d)
במילים אחרות, פשוט הוסף את הקואורדינטות המתאימות של כל וקטור. פעולה זו ניתנת להרחבה לסכום של 3 וקטורים ומעלה בעלי 3 מידות ומעלה.
מבחינה גיאומטרית, החל מנקודת הקצה של הווקטור u, וקטור v 'נמשך במקביל לווקטור v. החל מווקטור v, וקטור u 'נמשך במקביל לווקטור u. ארבעת הווקטורים הללו יוצרים מקבילית. הווקטור u + v הוא האלכסון הבא של מקבילית זו:
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
כדי להפחית וקטורים, שקול חיסור כסכום של וקטור אחד וההפך מזה. לדוגמא, כדי להפחית את הווקטור v מווקטור u, כתוב: u - v = u + (-v). הווקטור-v הוא הווקטור v, אך עם סימני הקואורדינטות הפוכים.
במבט מקרוב, הפעולות "הכפלת וקטור במספר" ו"הוספת וקטורים " השתמש בפעולות כפל ותוספת על מספרים אמיתיים, אך על כל רכיב של וֶקטוֹר. לכן עבור וקטורים כל המאפיינים של חיבור וכפל של מספרים אמיתיים תקפים, כלומר:
בהתחשב בווקטורים u, v ו- w והמספרים האמיתיים k and l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) יש וקטור 0 = (0.0) כך ש v + 0 = v
iv) יש וקטור -v כזה ש- v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ תקן של וקטור
הנורמה של הווקטור היא המקבילה לגודל המספר האמיתי, כלומר המרחק בין הווקטור לנקודה (0,0) או, בהתאם למסגרת ההתייחסות, לאורך הווקטור.
הנורמה של הווקטור v = (a, b) מסומנת על ידי || v || וניתן לחשב אותם באמצעות הביטוי:
|| v || = √ (א2 + ב2)
→ מוצר פנימי
המוצר הפנימי ניתן להשוואה למוצר בין הווקטורים. שים לב שהמוצר שהוזכר לעיל הוא המוצר שבין וקטור למספר אמיתי. כעת, "המוצר" המדובר הוא בין שני וקטורים. עם זאת, אין לומר "מוצר בין שני וקטורים", אלא "מוצר פנימי בין שני וקטורים". המוצר הפנימי בין הווקטורים v = (a, b) ו- u = (c, d) מסומן על ידי
נהוג גם להשתמש בסימון הבא:
שימו לב כי באמצעות הנורמה של הווקטור v = (a, b), אנו יכולים להתייחס לנורמה ולמוצר הנקודה.
|| v || = √ (א2 + ב2) = √ (a · a + b · b) = √ (
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
