פונקציות טריגונומטריות של חצי הקשת

חקר הטריגונומטריה מאפשר קביעת ערכי סינוס, קוסינוס ומשיק לזוויות שונות על בסיס ערכים ידועים. בְּ נוסחאות תוספת קשתהם מהמשמשים ביותר למטרה זו:

sin (a + b) = sin a · cos b + sin b · cos a
sin (a - b) = sin a · cos b - sin b · cos a
cos (a + b) = cos a · cos b - חטא a · sin b
cos (a - b) = cos a · cos b + sin a · sin b

tg (a + b) = tg a + tg b
1 - tg a · tg b

tg (a - b) = tg a - tg b
​1 + tg a · tg b

מנוסחאות אלה, פשוט לקבוע כיצד להמשיך כאשר הזוויות ה ו ב הם אותו דבר. במקרה זה אנו אומרים כי מדובר ב פונקציות טריגונומטריות של הקשת הכפולה. האם הם:

sin (2a) = 2 · sin a · cos a
cos (2a) = cos² a - sin² a

tg (2a) = 2 · tg a1 - tg² עד

מתוך פונקציות אלה נקבע את הפונקציות הטריגונומטריות של חצי הקשת. שקול את הדברים הבאים זהות טריגונומטרית:

sin² a + cos² a = 1
sin² a = 1 - cos² a

בואו נחליף sen² עד ב cos (2a) = cos² a - sin² a:

cos (2a) = cos² a - sen² עד
cos (2a) = cos² a - (1 - cos² א)
cos (2a) = cos² a - 1 + cos² a
cos (2a) = 2 · cos² a - 1

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

אבל אנחנו מחפשים את הנוסחה הנכונה לחצי הקשת. לשם כך, שקול זאת  זה חצי הקשת ה, ובכל מקום שיש 2, נשתמש רק ה:

מבודד את cos² (^ה/₂):

ואז יש לנו את הנוסחה לחישוב ה- קוסינוס של חצי קשת. ממנו נקבע את הסינוס של . מהזהות הטריגונומטרית יש לנו:

sin² a + cos² a = 1
cos² a = 1 - sin² a

מחליף cos² a בנוסחת הקוסינוס של הקשת הכפולה, cos (2a) = cos² a - sin² a, תהיה לנו:

cos (2a) = cos² a - sen² עד
cos (2a) = (1 - sen² א) - sen² עד
cos (2a) = 1 - 2 · sin² a

שוב, הבה נבחן מחצית הקשתות ב- cos (2a) = 1 - 2 · sin² a. לאחר מכן הוא יישאר:

מבודד את sen² (^ה/₂), תהיה לנו:

עכשיו כשמצאנו גם את הנוסחה ל- סינוס חצי הקשת, אנו יכולים לקבוע את המשיק של . בקרוב:

​

​

לאחר מכן קבענו את הנוסחה לחישוב ה- חצי משיק קשת.

מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר מתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בבית ספר או בעבודה אקדמית? תראה:

RIBEIRO, אמנדה גונסאלבס. "פונקציות טריגונומטריות של חצי הקשת"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-trigonometrica-arco-metade.htm. גישה אליו ב -27 ביוני 2021.

פונקציות טריגונומטריות של הקשת הכפולה

טריגונומטריה, פונקציות טריגונומטריות, מהי קשת כפולה, קשת כפולה, קשת, חישוב קשת כפולה, חישוב פונקציות טריגונומטריות, חישוב פונקציות טריגונומטריות של קשת כפולה.

נוסחאות תוספת קשת

טריגונומטריה, פונקציה טריגונומטרית, חיבור, חיסור, נוסחאות חיבור קשת, קשת מעגל, מעגל, קשת, סינוס, קוסינוס, משיק.

יחסים בין פונקציות של אותו קשת

פונקציה, פונקציה טריגונומטרית, משיק, קוסינוס, סינוס, קוסנט, קו-טנגנס, קשת, זוויות, ערך קשת, ערך פונקציה טריגונומטרי, קשר בין זווית לפונקציה טריגונומטרית.