משפט פירוק פולינומי

המשפט היסודי של האלגברה עבור משוואות פולינום מבטיח את זה "כל פולינום תואר n≥ 1 יש לפחות שורש מורכב אחד ". ההוכחה למשפט זה הובאה על ידי המתמטיקאי פרידריך גאוס בשנת 1799. ממנו נוכל להדגים את משפט פירוק פולינומיאשר מבטיח כי כל פולינומי יכול להתפרק לגורמים מדרגה ראשונה. קח את הפולינום הבא p (x) של כיתה n ≥ 1 וה-_לא ≠ 0:

p (x) = א_לא איקס^לא + את_n-1 איקס^n-1 +... + ה₁איקס¹ + את₀

באמצעות משפט היסוד של האלגברה, אנו יכולים לקבוע כי לפולינום זה יש לפחות שורש מורכב אחד. u₁, כך ש p (u₁) = 0. או משפט ד'אלברט אל ה חלוקת פולינומים קובע שאם p (u₁) = 0, לאחר מכן p (x) ניתן לחלוקה על ידי (x - u₁), וכתוצאה מכך מונע מה₁(איקס), שהוא פולינומי דרגה (n - 1), מה שמוביל אותנו לומר:

p (x) = (x - u₁). מה₁(איקס)

ממשוואה זו, יש צורך להדגיש שתי אפשרויות:

אם u = 1 ו מה₁(איקס) הוא פולינומי של תואר (n - 1), לאחר מכן מה₁(איקס) בעל תואר 0. כמקדם הדומיננטי של p (x) é ה_לא, מה₁(איקס) הוא פולינומי קבוע מסוג מה₁(איקס)=ה_לא. אז יש לנו:

p (x) = (x - u₁). מה₁(איקס)
(x) = (x - u₁). ה_לא
p (x) = א_לא . (x - u₁)

אבל אם u ≥ 2ואז הפולינום מה₁ בעל תואר

n - 1 ≥ 1 ומשפט היסוד של האלגברה מתקיים. אנו יכולים לומר כי הפולינום מה₁ יש לפחות שורש אחד לא₂, מה שמוביל אותנו לומר זאת מה₁ ניתן לכתוב כך:

מה₁(x) = (x - u₂). מה₂(איקס)

אבל איך p (x) = (x - u₁). מה₁(איקס), אנו יכולים לכתוב אותו מחדש כ:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). מה₂(איקס)

אם נחזור על תהליך זה בהצלחה, יהיה לנו:

p (x) = א_לא. (x - u₁). (x - u₂)... (x - u_לא)

לפיכך, אנו יכולים להסיק כי כל משוואת פולינום או פולינום p (x) = 0 של כיתה n≥ 1 בבעלות בדיוק לא שורשים מורכבים.​

דוגמא: לִהיוֹת p (x) פולינום של תואר 5, כזה ששורשיו הם – 1, 2, 3, – 2 ו 4. כתוב פולינום זה מפורק לגורמים מדרגה 1, בהתחשב ב מקדם דומיננטי שווה ל 1. זה חייב להיות כתוב בצורה מורחבת:

אם – 1, 2, 3, – 2 ו 4 הם שורשים של הפולינום, ולכן תוצר ההבדלים בין איקס עבור כל אחד מהשורשים הללו נוצר p (x):

p (x) = א_לא. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

אם המקדם הדומיננטי ה_לא = 1, יש לנו:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - פי 6⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm