מטריצה ​​הפוכה: מה זה, איך למצוא תרגילים

הקונספט של מטריצה ​​הפוכה מתקרב מאוד למושג ההפוך של מספר. בואו נזכור שההפך מספר לא הוא המספר לא^-1, כאשר המוצר בין השניים שווה לאלמנט הניטראלי של ה- כֶּפֶלכלומר המספר 1. כְּבָר ההפוך של מטריצה ​​M הוא מטריצה ​​M^-1, שם המוצר M · M^-1 שווה למטריצת הזהות I_לא, שהוא לא יותר מהיסוד הנייטרלי של הכפל מטריקס.

כדי שהמטריצה ​​תהיה הפוכה, היא חייבת להיות מרובעת ובנוסף, הקובע שלה חייב להיות שונה מאפס, אחרת לא יהיה הפוך. כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, אנו משתמשים במשוואת המטריצה.

קרא גם: מטריצה ​​משולשת - סוג מיוחד של מטריצה ​​מרובעת

כדי שמטריצה ​​תהיה הפוכה, היא חייבת להיות מרובעת.

מטריצת זהות

כדי להבין מהי המטריצה ​​ההפוכה, ראשית יש לדעת את מטריצת הזהות. אנו מכירים כמטריצת זהות את המטריצה ​​המרובעת I_לא כאשר כל האלמנטים של האלכסון הראשי שווים ל- 1 והמונחים האחרים שווים ל- 0.

ה מטריצת זהות היא היסוד הנייטרלי של הכפל בין מטריצות.כלומר, נתון a מַטֶה M של סדר n, המוצר בין מטריצה ​​M למטריקס I_לא שווה למטריצה ​​M.

M · אני_לא = M

כיצד לחשב את המטריצה ​​ההפוכה

כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה של M, יש צורך לפתור משוואת מטריצה:

 M · M^-1 = אני_לא

דוגמא

מצא את המטריצה ​​ההפוכה של M.

מכיוון שאיננו מכירים את המטריצה ​​ההפוכה, בואו ונציג את המטריצה ​​הזו באופן אלגברי:

אנו יודעים שהמוצר בין מטריצות אלה צריך להיות שווה לי₂:

עכשיו בואו נפתור את משוואת המטריצה:

אפשר להפריד את הבעיה לשניים מערכות של משוואות. הראשון משתמש בעמודה הראשונה של המטריצה ​​M · M^-1 והעמודה הראשונה של מטריצת הזהות. אז עלינו:

כדי לפתור את המערכת, בואו נבודד את ה-₂₁ במשוואה II ותחליף במשוואה I.

החלפה במשוואה I, עלינו:

כיצד אנו מוצאים את הערך של a₁₁ואז נגלה את הערך של a₂₁:

ידיעת הערך של a₂₁ וה₁₁, כעת אנו נמצא את הערך של המונחים האחרים על ידי הגדרת המערכת השנייה:

מבודד את₂₂ במשוואה III עלינו:

3₁₂ + 1₂₂ = 0

ה₂₂ = - 3₁₂

החלפה במשוואה IV:

5₁₂ + 2₂₂ =1

5₁₂ + 2 · (- 3₁₂) = 1

5₁₂ - 6₁₂ = 1

- א₁₂ = 1 ( – 1)

ה₁₂ = – 1

ידיעת הערך של a₁₂, אנו נמצא את הערך של a₂₂ :

ה₂₂ = - 3₁₂

ה₂₂ = – 3 · ( – 1)

ה₂₂ = 3

עכשיו כשאנחנו יודעים את כל המונחים של המטריצה ​​M^-1, אפשר לייצג את זה:

קרא גם: חיבור וחיסור של מטריצות

מאפייני מטריקס הפוכים

ישנם תכונות הנובעות מהגדרת מטריצה ​​הפוכה.

• נכס ראשון: ההפוך של המטריצה ​​M^-1 שווה למטריצה ​​M. ההופכי של מטריצה ​​הפוכה הוא תמיד המטריצה ​​עצמה, כלומר (M^-1)^-1 = M, כי אנחנו יודעים ש- M^-1 · M = אני_לאלכן מ^-1 הוא ההפוך של M וגם M הוא ההפוך של M^-1.
• נכס שניההפוך של מטריצת זהות הוא עצמו: אני^-1 = אני, מכיוון שהתוצר של מטריצת הזהות כשלעצמו גורם למטריצת הזהות, כלומר אני_לא · אני_לא = אני_לא.
• נכס שלישי: ההפוך של תוצר של שתי מטריצותהאם אתה שווה לתוצר ההפכים:

(M × H)^-1 = M^-1 · א^-1.

• נכס רביעי: מטריצה ​​מרובעת כוללת הפוכה אם ורק אם שלה קוֹצֵב שונה מ- 0, כלומר det (M) ≠ 0.

תרגילים נפתרו

1) נתון מטריצה ​​A ומטריקס B, בידיעה שהם הפוכים, אז הערך של x + y הוא:

א) 2.

ב) 1.

ג) 0.

ד) -1.

ה) -2.

פתרון הבעיה:

חלופה ד.

בניית המשוואה:

A · B = אני 

לפי העמודה השנייה, השווה למונחים, עלינו:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

בידוד x ל- I:

החלפה פנימה משוואה II, עלינו:

לדעת את הערך של y, אנו נמצא את הערך של x:

בואו נחשב x + y:

שאלה 2

למטריצה ​​יש היפוך רק כאשר הקובע שלה שונה מ- 0. אם מסתכלים על המטריצה ​​למטה, מהם ערכי x שגורמים למטריצה ​​לא לתמוך בהפוך?

א) 0 ו -1.

ב) 1 ו -2.

ג) 2 ו -1.

ד) 3 ו -0.

ה) - 3 ו -2.

פתרון הבעיה:

חלופה ב.

חישוב הקובע של A, אנו רוצים ערכים כאשר det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

לפתור את משוואה לתואר שני, אנחנו חייבים:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm