מטריקס: מה זה, סוגים, פעולות, דוגמאות

ה מַטֶה הוא משמש בדרך כלל לארגון נתונים טבלאיים כדי להקל על פתרון בעיות. מידע מטריקס, בין אם הוא מספרי ובין אם לאו, מסודר בקפידה בשורות ועמודות.

מערך המטריצות המצויד בפעולות של חיבור, חִסוּר ו כֶּפֶל ותכונות, כאלמנט ניטרלי והפוך, יוצרות מבנה מתמטי ש מאפשר יישומה בתחומים שונים של תחום הידע הגדול הזה.

ראה גם: הקשר בין מערכות מטריצה ​​ומערכות ליניאריות

ייצוג מטריקס

לפני תחילת הלימודים על מטריצות, יש צורך לקבוע כמה סימנים בנוגע לייצוגיהם. בְּ מטריצות מיוצגות תמיד באותיות גדולות. (A, B, C ...), המלווים באינדקסים שבהם ה- המספר הראשון מציין את מספר השורות, והשני, מספר העמודות.

ה מספר שורות (שורות אופקיות) ו- עמודות (שורות אנכיות) של מטריצה ​​קובעת את שלה להזמין. למטריצה ​​A יש סדר m על ידי n. המידע הכלול במערך נקרא אלמנטים ומאורגנים בסוגריים, בסוגריים מרובעים או בשני פסים אנכיים, ראה את הדוגמאות:

למטריצה ​​A שתי שורות ושלוש עמודות, ולכן הסדר שלה הוא שתיים על שלוש → A_2x3.

למטריקס B יש שורה אחת וארבע עמודות, כך שהסדר שלה הוא אחד אחר ארבע, אז זה נקרא מטריצת קו → ב_1x4.

מטריקס C כולל שלוש שורות ועמודה אחת, וכך זה נקרא מטריצת עמודות וסדרו הוא שלוש אחת → ג_3x1.

אנו יכולים לייצג באופן כללי את האלמנטים של מערך, כלומר נוכל לכתוב את האלמנט הזה באמצעות ייצוג מתמטי. אואלמנט כללי יוצג באותיות קטנות (a, b, c ...), וכמו בייצוג המערכים, יש לו גם אינדקס המציין את מיקומו. המספר הראשון מציין את השורה בה נמצא האלמנט, והמספר השני מציין את העמודה בה הוא נמצא.

שקול את המטריצה ​​A הבאה, נפרט את האלמנטים שלה.

בהתבוננות באלמנט הראשון שנמצא בשורה הראשונה ובעמודה הראשונה, כלומר בשורה אחת ועמודה אחת, יש לנו את המספר 4. על מנת להקל על הכתיבה, נסמן זאת על ידי:

ה₁₁ → קו אלמנט אחד, טור ראשון

אז יש לנו את האלמנטים הבאים של מטריצה ​​A._2x3:

ה₁₁ = 4

ה₁₂ =16

ה₁₃ = 25

ה₂₁ = 81

ה₂₂ = 100

ה₂₃ = 9

באופן כללי, אנו יכולים לכתוב מערך כפונקציה של האלמנטים הגנריים שלו, זה ה- מטריצה ​​גנרית.

מטריצה ​​של m שורות ו- n עמודות מיוצגת על ידי:

• דוגמא

קבע את המטריצה ​​A = [a_ij ]_2x2, שיש לו חוק ההכשרה הבא ל_ij = j² - 2i. מנתוני ההצהרה, יש לנו שהמטריצה ​​A מסודרת שתיים אחר שתיים, כלומר יש לה שתי שורות ושתי עמודות, לכן:

בנוסף ניתן חוק היווצרות המטריצה, כלומר כל יסוד מרוצה מהקשר ל_ij = j² - 2i. החלפת הערכים של i ו- j בנוסחה, יש לנו:

ה₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

ה₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

ה₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

ה₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

לכן, מטריצה ​​A היא:

סוגי מערכים

יש מטריצות שמגיעות לתשומת לב מיוחדת, ראו עתה אלה סוגי מערכים עם דוגמאות.

• מטריצה ​​מרובעת

מטריצה ​​היא מרובעת כאשר ה- מספר השורות שווה למספר העמודות. אנו מייצגים את המטריצה ​​הכוללת n שורות ו- n עמודות על ידי A._לא (קרא: מטריצה ​​מרובעת בסדר n).

במטריצות מרובעות, יש לנו שני אלמנטים חשובים מאוד, ה- אלכסונים: עיקריים ומשניים. האלכסון הראשי נוצר על ידי אלמנטים שיש להם מדדים שווים, כלומר זה כל יסוד א_ij עם i = j. האלכסון המשני נוצר על ידי אלמנטים א_ij עם i + j = n +1, כאשר n הוא סדר מטריצה.

• מטריצת זהות

מטריצת הזהות היא מטריצה ​​מרובעת שיש בה את כלאתהאלמנטים של האלכסון הראשי שווה ל -1 וה אלמנטים אחרים שווים ל- 0, חוק היווצרותו הוא:

אנו מציינים את המטריצה ​​הזו על ידי I, כאשר n הוא הסדר של המטריצה ​​המרובעת, ראה כמה דוגמאות:

• מטריצת יחידה

זו מטריצה ​​מרובעת בסדר ראשון, כלומר יש לה שורה ועמודה ולכן, רק אלמנט אחד.

A = [-1]_1x1, B = אני₁ = (1)_1x1 ו- C = || 5 ||_1x1

אלו דוגמאות למטריצות יחידה, עם דגש על מטריצה ​​B, שהיא a מטריצת זהות יחידה.

• מטריצת אפס

אומרים שמערך הוא אפס אם כל האלמנטים שלו שווים לאפס. אנו מייצגים מטריצה ​​אפסית של סדר m על ידי n על ידי O_mxn.

המטריצה ​​O היא בסדר גודל 4.

• מטריצה ​​הפוכה

שקול שתי מטריצות מסדר שווה: A = [a_ij]_mxn ו- B = [ב_ij]_mxn. מטריצות אלה ייקראו הפוכות אם ורק אם_ij = -ב_ij. לכן, האלמנטים המתאימים חייבים להיות מספרים מנוגדים.

אנו יכולים לייצג את המטריצה ​​B = -A.

• מטריצה ​​שהועברה

שתי מטריצות A = [a_ij]_mxn ו- B = [ב_ij]_nxm הם מְשׁוּרבָּב אם, ורק אם, ה_ij = ב_ג'י כלומר, נתונה מטריצה ​​A, כדי למצוא את השינוי שלה, פשוט קח את השורות כעמודות.

השינוי של מטריצה ​​A מסומן על ידי A.^ט. ראה את הדוגמה:

ראה עוד: מטריצה ​​הפוכה: מהי ואיך לאמת

פעולות מטריקס

ייצוג כללי של מטריצה ​​n x m.

מערך המטריצות כולל פעולות שלתוספת וכפל מוגדרים היטבכלומר, בכל פעם שאנו מפעילים שתי מטריצות או יותר, תוצאת הפעולה עדיין שייכת לקבוצת המטריצות. עם זאת, מה לגבי פעולת החיסור? אנו מבינים שפעולה זו היא הפוכה של תוספת (מטריצה ​​הפוכה), שגם היא מוגדרת היטב.

לפני שנגדיר את הפעולות, בואו נבין את הרעיונות של אלמנט מקביל ו שוויון מטריצות. אלמנטים מקבילים הם אלה שתופסים את אותה המיקום במטריצות שונות, כלומר הם ממוקמים באותה שורה ועמודה. ברור שהמערכים צריכים להיות מאותו הסדר כדי להתקיים אלמנטים תואמים. תראה:

האלמנטים 14 ו- -14 הם אלמנטים תואמים של מטריצות מנוגדות A ו- B, מכיוון שהם תופסים את אותה המיקום (אותה שורה ועמודה).

נאמר על שתי מטריצות שוות אם ורק אם האלמנטים המתאימים שווים. לפיכך, בהתחשב במטריצות A = [a_ij]_mxn ו- B = [ב_ij]_mxn, אלה יהיו זהים אם, ורק אם, ה_ij = ב_ij לכל i j.

• דוגמא

בידיעה שהמטריצות A ו- B שוות, קבע את הערכים של x ו- t.

מכיוון שמטריצות A ו- B שוות, אז האלמנטים המתאימים חייבים להיות שווים, ולכן:

x = -1 ו- t = 1

• חיבור וחיסור של מטריצות

הפעילות של חיבור וחיסור בין מטריצות הם אינטואיטיביים למדי, אך תחילה יש לעמוד בתנאי. כדי לבצע פעולות אלה, ראשית יש לוודא שה- סדרי המערך שווים.

לאחר אימות תנאי זה, החיבור והחיסור של המטריצה ​​מתרחשים על ידי הוספה או חיסור של האלמנטים המתאימים של המטריצות. שקול את המטריצות A = [a_ij]_mxn ו- B = [ב_ij]_mxn, לאחר מכן:

A + B = [א_ij + ב_ij] _mxn

A - B = [א_ij ב_ij] _mxn

• דוגמא

שקול מטריצות A ו- B להלן, קבע A + B ו- A - B.

קרא גם: מספר פעולות שלם

• כפל של מספר ממשי לפי מטריצה

הכפל של מספר ממשי במטריצה ​​(המכונה גם כפל מטריצה) בסקלר ניתן על ידי הכפלת כל אלמנט של המטריצה ​​בסקלר.

תן A = [א_ij]_mxn מטריצה ​​ו- t מספר ממשי, אז:

t · A = [t · a_ij]_mxn

ראה את הדוגמה:

• כפל מטריקס

ריבוי המטריצות אינו טריוויאלי כמו חיבורם וחיסורן. לפני ביצוע הכפל, יש לקיים תנאי גם לגבי סדר המטריצות. שקול מטריצות א_mxn ו ב_nxr.

כדי לבצע את הכפל, את מספר העמודות במטריצה ​​הראשונה חייבת להיות שווה למספר השורות בשנייה. למטריצת המוצר (שמגיעה מכפל) יש סדר לפי מספר השורות בראשון ומספר העמודות בשנייה.

כדי לבצע את הכפל בין מטריצות A ו- B, עלינו להכפיל כל אחת מהשורות בכל העמודות באופן הבא: האלמנט הראשון של A מוכפל ביסוד הראשון של B ואז מתווסף לאלמנט השני של A ומכופל ביסוד השני של B, וכך ברצף. ראה את הדוגמה:

קרא גם: משפט לפלס: דע כיצד ומתי להשתמש

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (U. AND. Londrina - PR) תן למטריצות A ו- B להיות בהתאמה 3 x 4 ו- p x q, ואם למטריצה ​​A · B יש סדר 3 x 5, אז נכון:

א) p = 5 ו- q = 5

ב) p = 4 ו- q = 5

ג) p = 3 ו- q = 5

ד) p = 3 ו- q = 4

ה) p = 3 ו- q = 3

פִּתָרוֹן

יש לנו את ההצהרה כי:

ה_3x4 · ב_pxq = ג_3x5

מהתנאי להכפלת שתי מטריצות, יש לנו שהמוצר קיים רק אם מספר העמודות בראשון שווה למספר השורות בשנייה, לכן p = 4. ואנחנו גם יודעים שמטריצת המוצר ניתנת על ידי מספר השורות בראשונה עם מספר העמודות בשנייה, אז q = 5.

לכן, p = 4 ו- q = 5.

ת: חלופה ב

שאלה 2 - (Vunesp) קבע את הערכים של x, y ו- z, על השוויון הבא, הכולל 2 x 2 מטריצות אמיתיות.

פִּתָרוֹן

בואו לבצע את הפעולות בין המערכים ואז את השוויון ביניהם.

כדי לקבוע את הערך של x, y ו- z, נפתור את המערכת הליניארית. בתחילה, נוסיף משוואות (1) ו- (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

החלפת הערך של x שנמצא במשוואה (3), יש לנו:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

ולבסוף, החלפת ערכי x ו- z שנמצאו במשוואה (1) או (2), יש לנו:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

לכן, הפתרון לבעיה ניתן על ידי S = {(2, 0, 2)}.

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה