ה מתמטיקה פיננסית הוא אחד מתחומי המתמטיקה האחראיים על הלימוד תופעות הקשורות לעולם הפיננסי. בנוסף, לימוד המושגים שלהם חשוב מאוד מכיוון שבחיי היומיום שלנו הם הולכים ומתרבים מתנות נוספות, למשל, כאשר אנו מקבלים הנחה בקניית משהו במזומן או תוספת בעת קניית משהו תשלומים.
לימודי מתמטיקה פיננסית דורשים ידע מוקדם בנושא אֲחוּזִים, נראה כי כל המושגים מבוססים על נושא זה.
קרא גם:אחוז חישוב עם כלל שלוש
לשם מה מתמטיקה פיננסית?
מתמטיקה פיננסית משמשת מדי יום, למשל כאשר אנו הולכים לבצע רכישה במזומן והמוכר מציע הנחה 5% מערך המוצר, או כאשר אנו בוחרים לרכוש מוצר בתשלומים, ובתהליך זה, א שער ריבית זה מחויב לקונה לאורך זמן.
דוגמה לחשיבות הבנת המושגים של מתמטיקה פיננסית נקראת מגבלת משיכת יתר. בפתיחת חשבון בבנק מסוים מוצע כסף "נוסף", למקרי חירום, למשל. עם זאת, כאשר משתמשים במגבלה זו או בחלק ממנה, גובה תשלום שישולם מאוחר יותר, בנוסף לכסף שנלקח. שיעור זה נקרא ריבית, ועל ידי הבנה טובה יותר של מושגים אלה, אנו יכולים לתכנן אסטרטגיה טובה יותר לניהול הכספים שלנו.
דוגמה 1
אדם זקוק למאה ריאל כדי לסיים את החשבונות החודשיים, אולם כל משכורתם כבר הוצאה על החשבונות האחרים. בניתוח, אדם זה מצא כי יש לו שתי אפשרויות.
אופציה 1 - השתמש במגבלת החיוב המוצעת על ידי הבנק, בשיעור של 0.2% ליום, לתשלום בחודש אחד.
אפשרות 2 - קבל את ה- 100 רייס מחבר, בשיעור של 2% לחודש, שישולם עבור חודשיים.
נשתמש רק באחוזי הידע, בואו ננתח את האפשרות הטובה ביותר.
ניתוח ה - אופציה 1, שימו לב שהשיעור של 0.2% מחויב ביום, כלומר 0.2% מסכום ההלוואה מתווסף מדי יום, כך:
כיצד יש לשלם את ההלוואה בחודש, ובהתחשב בחודש עם 30 ימים, סכום הריבית שישולם הוא:
0,2 ·30
6
לפיכך, אנו יכולים להסיק כי הסכום שישולם בסוף חודש הוא:
100 + 6= 106 רייס
100 → הסכום שהושאל על ידי הבנק
6 → סכום ריבית
כעת מנתח את אפשרות 2, העמלה הנגבית היא 2% לחודש ויש לשלמה תוך חודשיים, כלומר בכל חודש, 2% מהסכום המושאל מתווספים לחוב, כך:
שימו לב כי יש להוסיף לסכום החוב 2 ריאלים בחודש:
2 · 2 = 4
לכן הסכום שישולם בסוף התקופה הוא:
100+ 4 = 104 reais
100 → הסכום שהושאל על ידי החבר
4 → סכום ריבית
לכן, אנו יכולים להסיק שהאפשרות הטובה ביותר היא לקחת את הכסף עם החבר. זה פשוט וחשוב יישום מתמטיקה פיננסיתכמובן שיש בעיות, כלים ומושגים מתוחכמים יותר, אך כמו כל דבר אחר בחיים, לפני שמבינים את החלק המורכב, יש צורך להבין את היסודות.
יסודות המתמטיקה הפיננסית
המושגים העיקריים של מתמטיקה פיננסית כוללים ידע קודם על אחוזים. לאחר מכן נראה מושגים כמו תוספת, הנחה, ריבית פשוטה וריבית דריבית.
חיבור
רעיון התוספת קשור ל הוסף או הוסף חלק מהערך לערכו המקוריכלומר אנו מוסיפים לעצמו אחוז מערך מסוים. ראה את הדוגמה:
דוגמה 2
מוצר עלה 35 ריי, עם עליית הדולר הוא עלה ב -30%. קבע את הערך החדש עבור מוצר זה.
לעתים קרובות, כשאנחנו הולכים לעשות את החישובים הקשורים לתוספת, הם מבוצעים בצורה לא נכונה על ידי כתיבה:
35 + 30%
האחוז מייצג חלק ממשהו, לכן כדי שחשבון זה יהיה נכון, עלינו לחשב תחילה 30% מהערך ההתחלתי, במקרה זה 35. לכן:
35 + 30% מתוך 35
לפתור את האחוז תחילה ואז להוסיף את הערכים יחד, נצטרך:
לכן, בתוספת, הערך במוצר יהיה 45.5 רייס (ארבעים וחמישה רייס וחמישים סנט).
באופן כללי, אנו יכולים להסיק א נוסחה לתוספת. שקול ערך x וכי הוא עובר עלייה של p%. על פי מה שהגדרנו זה עתה, אנו יכולים לכתוב תוספת זו באופן הבא:
x + p% מ- x
בפיתוח ביטוי זה, נצטרך:
בואו נעשה שוב דוגמה 2 באמצעות הנוסחה שלעיל. שימו לב ש- x = 35 והעלייה הייתה 30%, כלומר p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
שים לב שאותו ערך הושג, וזו אפשרות להשתמש בנוסחה כזו.
ראה גם: כמויות פרופורציונליות הפוכות
הנחה
רעיון ההנחה דומה לרעיון ההוספה, ההבדל היחיד הוא שבמקום להוסיף עלינו להחסיר אחוז מהסכום המקורי.
דוגמה 3 - מוצר שעולה 60 ריי, כאשר הוא נרכש במזומן, הוא בעל הנחה של 30%. קבע את הערך החדש עבור מוצר זה.
בדומה לתוספת, נצטרך:
באופן אנלוגי לתוספת, אנו יכולים להסיק א נוסחת הנחה. שקול ערך x ושהוא סובל מהנחה של p%. על פי מה שהגדרנו, אנו יכולים לכתוב תוספת זו באופן הבא:
x - p% של x
בפיתוח ביטוי זה, נצטרך:
בואו נעשה שוב דוגמה 3 בעזרת הנוסחה שלעיל, שימו לב ש x = 60 והעלייה הייתה 30%, כלומר p = 30%.
x · (1 - 0.01p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
ראו שבאמצעות הנוסחה קיבלנו את אותה התוצאה, כך שבהנחה יש לנו גם שתי אפשרויות לקבוע אותה.
אינטרס פשוט
הרעיון מאחורי אינטרס פשוט זה גם דומה לרעיון התוספת, ההפרש ביניהם ניתן על ידי התקופה בה הם מחושבים. בעוד ששיעור ההיטלים מוחל פעם אחת, הריבית הפשוטה היא מחושב במרווח זמן. אנו יכולים לחשב את הריבית הפשוטה של הון נתון C, המיושמת לפי שער נתון במשטר ריבית פשוטה (i), בפרק זמן נתון t, על ידי נוּסחָה:
J = C · i · t
הסכום ששולם בסוף השקעה זו חייב להינתן על ידי הכסף שהוחל בתוספת סכום הריבית ונקרא סכום (M). הסכום ניתן על ידי הביטוי:
M = C + י
M = C + C · i · t
M = C (1 + זה)
הדאגה היחידה שעלינו לשים לב לבעיות הכרוכות בעניין פשוט היא עם קצב ויחידות מידה, הם חייבים להיות תמיד ביחידות שוות.
דוגמה 4
מרתה רוצה להשקיע 6000 דולר R $ בחברה שמבטיחה לייצר רווחים של 20% בשנה תחת משטר ריבית פשוט. החוזה שערכה מרתה קובע כי היא יכולה למשוך את הכסף רק לאחר חצי שנה, לקבוע מה הייתה התשואה על כספה בסוף אותה תקופה.
בהתבוננות בהצהרה, ראו שההון שווה ל 6000, אז יש לנו C = 6000. הריבית היא 20% לשנה, והכסף יושקע למשך חצי שנה. שים לב שהשיעור ניתן בשנה והשעה בחודשים, ואנחנו יודעים שיחידת המידה של שניהם חייבת להיות זהה. בואו נמצא את העמלה החודשית, ראו:
אנו יודעים שהשיעור הוא 20% לשנה, שכן לשנה יש 12 חודשים, אז התעריף החודשי יהיה:
20%: 12
1.66% לחודש
0.016 לחודש
החלפת נתונים אלה בנוסחה, עלינו:
J = C · i · t
J = 6000 · 0.016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 reais
לפיכך, הסכום שיש למשוך בתום חצי השנה הוא 576 ריי, והסכום הוא:
M = 6000 + 576
M = 6576 reais
קרא עוד: הבנת השימוש בא çמחשבון fכַּספִּי
רבית דרבית
בריבית פשוטה, ערך הריבית מחושב תמיד על גבי ההון הראשוני, ההפרש בין שתי המערכות הללו (ריבית פשוטה וריבית מורכבת) נמצאות בדיוק בנקודה זו, כלומר באופן השיעור מְחוֹשָׁב. בריבית דריבית, הריבית מחושבת תמיד מעל קרן החודש הקודםזה גורם לריבית להגדיל את ערכה באופן אקספוננציאלי. ה נוּסחָה לחישוב הריבית במערכת הפחתות בריבית דריבית ניתן על ידי:
M = C · (1 + i)t
על מה M הוא הסכום שנצבר, Ç הוא ערך ההון הראשוני, אני הוא שיעור הריבית שניתן באחוזים, ו t היא התקופה בה הושקע ההון במערכת. כמו עם ריבית פשוטה, במערכת הריבית הדו-חבית, על שיעור והזמן להיות באותה יחידה.
דוגמה 5
חשב את סכום הסכום שמרתה תאסוף בסוף חצי השנה על ידי יישום 6000 הריז שלה בריבית של 20% לשנה במערכת הריבית הדו-חבית.
(ניתן: 1.20,5 ≈ 1,095)
שים לב שהנתונים זהים לדוגמה 4, לכן עלינו:
C = 6000
i = 0.2 p.a.
t = 0.5 שנים
החלפת הנתונים בנוסחת ריבית דריבית, עלינו:
M = 6000 · (1 + 0.2)0,5
M = 6000 · (1.2)0,5
M = 6000 · 1,095
M = 6572.67 reais
לכן הסכום שיש למשוך על ידי מרתה במערכת הריבית הפשוטה הוא 6572, 67 reais. שימו לב שהסכום במערכת הריבית הדחופה גדול יותר מאשר במערכת הריבית הפשוטה, וזה קורה בכל המקרים. כדי להבין טוב יותר כיצד מחושב שיעור זה, בקר בכתובת: עמלות çמולאתה.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (FGV - SP) הון המוחל על ריבית פשוטה בשיעור של 2.5% לחודש, משולש לפי:
א) 75 חודשים
ב) 80 חודשים
ג) 85 חודשים
ד) 90 חודשים
ה) 95 חודשים
פתרון הבעיה
חלופה B.
עלינו למצוא את הזמן בו הריבית שווה ל- 2C, מכיוון שעם הריבית בדרך זו יחד עם ההון שהוחל בתחילה על C, יהיה לנו הסכום של 3C (משולש מההון). לכן:
J = 2C; C = C; i = 2.5% לחודש; t =?
J = C · i · t
2C = C · 0.025 · t
לפיכך, זמן ההון הזה לשלושה הוא 80 חודשים.
הערה: 80 חודשים שווה 6.6 שנים.
שאלה 2 - סחורה, לאחר שספגה עלייה של 24%, שונתה מחירה ל 1041.60 reais. קבעו את הכמות לפני התוספת.
פתרון הבעיה
אנו יכולים להשתמש בנוסחת התוספת הכללית כדי לקבוע את ערך הסחורה לפני התוספת.
x · (1 + 0.01p)
בנוסחה, הערך x הוא מה שאנחנו מחפשים ו- p הוא ערך התוספת, וביטוי זה נותן לנו את ערך המוצר לאחר התוספת, ומכאן:
1041.60 = x · (1 + 0.01p)
1041.60 = x · (1 + 0.01 · 24)
1041.60 = x · (1 + 0.24)
1041.60 = x · 1.24
ראו שיש לנו משוואה של המעלה הראשונה, כדי לפתור אותה, עלינו לבודד את ה- x הלא ידוע, לחלק את שני צידי השוויון ב- 1.24, או בפשטות לעבור את ההפרדה של 1.24. לכן:
לכן, ערך הסחורה לפני התוספת היה 840 reais.
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm
