טבלת אמת: מה זה, איך לעשות את זה, תרגילים

שולחן האמת הוא מכשיר לוגי המכיל את כל הערכים הלוגיים של הצעה מורכבת. בניית טבלת אמת לטענה מורכבת כוללת את הערכים הלוגיים של הטענות הפשוטות המרכיבות אותה ואת הפעולות הלוגיות בין הטענות הללו.

קראו גם: אחרי הכל, מה זה היגיון?

סיכום טבלת אמת

טבלת אמת היא מכשיר המשמש בלוגיקה מתמטית כדי לסדר את כל הערכים הלוגיים של הצעה מורכבת.
הפעולות הלוגיות העיקריות של טבלת האמת הן שלילה (~), צירוף (˄), ניתוק (˅), מותנה (→) ודו-תנאי (↔).
כדי לבנות טבלת אמת עבור הצעה מורכבת, יש צורך להשתמש בטבלאות האמת של פעולות לוגיות בסיסיות.

מהי טבלת האמת?

לשקול פ זה ש הצעות פשוטות, כלומר משפטים שניתן להקצות להם אחד מהערכים הלוגיים הבאים: נכון (V) או לא נכון (F). הצעה מורכבת שנוצרה באמצעות פעולות בין פ זה ש הוא גם משפט שיכול להיות נכון או לא נכון. הערך הלוגי של הצעה מורכבת זו תלוי בערכים הלוגיים שהוקצו להם פ זה ש והמבצעים ביניהם.

טבלת האמת היא א טבלה המציגה את כל אפשרויות הערך הלוגי עבור ההצעה המורכבת בהתבסס על הערכים הלוגיים של פ זה ש.

בטקסט זה נשתמש באות V כדי לציין את הערך הלוגי האמיתי של הצעה ובאות F כדי לציין את הערך הלוגי השקרי.

instagram story viewer

חיבורים עיקריים של טבלת האמת

חיבורים לוגיים (או אופרטורים) הם סמלים או מילים הקשורות לפעולות המקשרות הצעה פשוטה עם הצעה פשוטה אחרת לייצר הצעה מורכבת.

ישנם חמישה חיבורים עיקריים, שהפעולה, הסמל והמשמעות שלו מצוינים בטבלה שלהלן.

מבצע	סֵמֶל	מַשְׁמָעוּת
הַכחָשָׁה	~	לא
צירוף	˄	זה
ניתוק	˅	אוֹ
מותנה	→	אם... לאחר מכן
דו תנאי	↔	אם ורק אם

איך לקרוא:

~ פ - "לא פ”
פ ˄ ש — “פ זה ש”
פ ˅ ש — “פ אוֹ ש”
פ→ש - "אם פ לאחר מכן ש”
פ↔ש — “פ אם ורק אם ש”

תַצְפִּית: הדו-תנאי הוא תוצאה של הפעולה המותנית בשני הכיוונים, כלומר, פ↔ש אומר פ→ש זה ש→פ.

איך עובד טבלת האמת?

השורה הראשונה של טבלת האמת מציינת את כל ההצעות שאת הערכים הלוגיים שלהן אנו רוצים לנתח, בנוסף לפעולות המתאימות ביניהן. כל שורה בטבלת האמת מציגה את הקשר בין הערכים הלוגיים של ההצעות בשורה הראשונה.

על מנת לבנות טבלת אמת לכל טענה מורכבת, יש צורך להכיר את טבלאות האמת של הפעולות היסודיות, הנובעות מהחיבורים הלוגיים העיקריים. הבה נראה מה הן טבלאות האמת הללו, המתקבלות על ידי כללי החשבון הטענתי.

טבלת אמת הכחשה

בהינתן הצעה פשוטה פ, הערך הלוגי של ההצעה ~ פ הוא ההפך מהערך הלוגי של פ. אז אם פ זה נכון ~ פ הוא שקרי; ואם פ זה מזויף ~ פ זה נכון.

פ	~עמ'
V	ו
ו	V

טבלת אמת צירוף

בהתחשב בהצעות פ זה ש, הערך הלוגי של ההצעה פ ˄ ש נכון רק כאשר שתי ההצעות נכונות.

פ	ש	כי
V	V	V
V	ו	ו
ו	V	ו
ו	ו	ו

טבלת אמת ניתוק

בהתחשב בהצעות פ זה ש, הערך הלוגי של ההצעה פ ˅ ש נכון כאשר לפחות אחת מהטענות נכונה.

פ	ש	כי
V	V	V
V	ו	V
ו	V	V
ו	ו	ו

טבלת אמת מותנית

בהתחשב בהצעות פ זה ש, הערך הלוגי של ההצעה פ→ש שקר מתי פ נכון ו ש הוא שקרי ונכון במקרים אחרים.

פ	ש	p →ש
V	V	V
V	ו	ו
ו	V	V
ו	ו	V

טבלת אמת דו מותנית

בהתחשב בהצעות פ זה ש, הערך הלוגי של ההצעה פ↔ש נכון רק כאשר שתי הטענות נכונות או ששתיהן שגויות.

פ	ש	פ ↔ ש
V	V	V
V	ו	ו
ו	V	ו
ו	ו	V

בניית טבלת האמת

בהתבסס על טבלאות האמת של פעולות בסיסיות, אנו יכולים לבנות טבלאות אמת לכל הצעה מורכבת. בשביל זה עלינו לזהות את ההצעות המעורבות ולבצע את הפעולות לפי טבלאות האמת בנושא הקודם.

תַצְפִּית: מספר השורות בטבלת אמת של טענה מורכבת שנוצרה על ידי נ הצעות פשוטות הוא 2^נ.

דוגמא: בנה את טבלת האמת של ההצעה ~ (פ ˄ ש).

נשתמש בטבלת אמת עם ארבע עמודות: אחת עבור ההצעה פ, אחד להצעה ש, אחד להצעה פ ˄ ש, והאחרון עבור ההצעה הסופית, שהיא ~ (פ ˄ ש).

כי

~ (p ˄ q)

אנחנו יכולים למלא את שלוש העמודות הראשונות של טבלה זו במידע מטבלת האמת של פעולת הצירוף.

פ	ש	כי	~ (p ˄ q)
V	V	V
V	ו	ו
ו	V	ו
ו	ו	ו

לבסוף, העמודה הרביעית היא השלילה של כל ערך לוגי בעמודה השלישית.

פ	ש	כי	~ (p ˄ q)
V	V	V	ו
V	ו	ו	V
ו	V	ו	V
ו	ו	ו	V

קראו גם: איך עובד ההיגיון של אריסטו

תרגילי טבלת אמת

שאלה 1

בנה את טבלת האמת של ההצעה ~ (פ ˄ ~ ש).

פתרון הבעיה

נשתמש בטבלת אמת עם חמש עמודות: אחת עבור ההצעה פ, אחד להצעה ש, אחד להצעה ~ ש, אחד להצעה פ ˄ ~ ש, והאחרון להצעה הסופית, ~ (פ ˄ ~ ש).

p ˄ ~ q

~ (p ˄ ~ q)

כעת פשוט מלאו כל עמודה ובצעו את הפעולות המתאימות:

פ	ש	~q	p ˄ ~ q	~ (p ˄ ~ q)
V	V	ו	ו	V
V	ו	V	V	ו
ו	V	ו	ו	V
ו	ו	V	ו	V

שאלה 2

בנה את טבלת האמת של ההצעה ~ פ ˅ ש → ~ ש.

פתרון הבעיה

נשתמש בטבלת אמת עם שש עמודות: אחת עבור ההצעה פ, אחד להצעה ש, אחד להצעה ~ פ, אחד להצעה ~ ש, אחד להצעה ~ פ ˅ ש, והאחרון להצעה הסופית, ~ פ ˅ ש → ~ ש.

~עמ'

~ p˅ q

~ p˅ q → ~q

כעת פשוט מלאו כל עמודה ובצעו את הפעולות המתאימות:

פ	ש	~עמ'	~q	~ p˅ q	~ p˅ q → ~q
V	V	ו	ו	ו	V
V	ו	ו	V	ו	V
ו	V	V	ו	V	ו
ו	ו	V	V	ו	V

מקורות

אלנקר פילו, א. ב. מבוא ללוגיקה מתמטית. סאו פאולו: נובל, 2002.

VAZ, R. M. פורמליזציה של חשיבה לוגית המבוססת על לוגיקה מתמטית. עבודת דוקטורט (תואר שני מקצועי במתמטיקה) - האוניברסיטה הפדרלית של מאטו גרוסו דו סול, Três Lagoas, 2014. אפשר להשיג ב https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm