מטריצת זהות: מה זה, מאפיינים, סיכום

א מטריצת זהות הוא סוג מיוחד של מַטֶה. אנו מכירים כמטריצת זהות I_נ המטריצה הריבועית בסדר n שכל האיברים באלכסון שווים ל-1 ואיברים שאינם שייכים לאלכסון הראשי שווים ל-0. מטריצת הזהות נחשבת למרכיב הנייטרלי של הכפל, כלומר, אם נכפיל מטריצה M לפי מטריצת הזהות, אנו מוצאים כתוצאה מכך את המטריצה עצמה M.

ראה גם: מהו הקובע של מטריצה?

סיכום על מטריצת זהות

מטריצת הזהות היא המטריצה המרובעת עם אלמנטים באלכסון הראשי שווים ל-1 ושאר האלמנטים שווים ל-0.
יש מטריצות זהות בסדרים שונים. אנו מייצגים את מטריצת הזהות של הסדר נ על ידי אני_נ.
מטריצת הזהות היא האלמנט הנייטרלי של כפל המטריצה, כלומר, \( A\cdot I_n=A.\)
המכפלה של מטריצה מרובעת והמטריצה ההפוכה שלה היא מטריצת הזהות.

מהי מטריצת זהות?

מטריצת הזהות היא א סוג מיוחד של מטריצה מרובעת. מטריצה מרובעת ידועה כמטריצת זהות אם יש בה כל האלמנטים באלכסון הראשי שווים ל-1 וכל שאר האלמנטים שווים ל-0. ואז, בכל מטריצת זהות:

➝ סוגי מטריצות זהות

יש מטריצות זהות בסדרים שונים. הסדר נ מיוצג על ידי I_נ. בוא נראה להלן כמה מטריצות של סדרים אחרים.

הזמנה 1 מטריצת זהות:

\(I_1=\left[1\right]\)

instagram story viewer

מטריצת זהויות הזמנה 2:

\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

הזמנה 3 מטריצת זהות:

\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

סדר 4 מטריצת זהויות:

\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

סדר 5 מטריצת זהויות:

\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

ברציפות, אנו יכולים לכתוב מטריצות זהות בסדרים שונים.

מאפייני מטריצת זהות

למטריצת הזהות יש תכונה חשובה, שכן היא האלמנט הנייטרלי של הכפל בין המטריצות. זה אומר ש כל מטריצה כפולה במטריצת הזהות שווה לעצמה. לפיכך, בהינתן המטריצה M של הסדר נ,יש לנו:

\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)

תכונה חשובה נוספת של מטריצת הזהות היא שה מכפלה של מטריצה מרובעת ושלה מטריצה הפוכה היא מטריצת הזהות. נתון מטריצה מרובעת M של סדר נ, המכפלה של M בהיפוך שלו נתונה על ידי:

\(M\cdot M^{-1}=I_n\)

קראו גם: מהי מטריצה משולשת?

הכפלה של מטריצת הזהות

כאשר נכפיל מטריצה M במטריצת הזהות של הסדר נ, אנו מקבלים את המטריצה M כתוצאה מכך. בוא נראה, להלן, דוגמה למכפלת המטריצה M מסדר 2 לפי מטריצת הזהות מסדר 2.

\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) זה \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)

בהנחה ש:

\(A\cdot I_n=B\)

יש לנו:

\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)

אז התוצר של A by \(I_n\) זה יהיה:

\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)

\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)

\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)

\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)

שימו לב שהמונחים של מטריצה B זהים למונחים של מטריצה A, כלומר:

\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)

דוגמא:

להיות M המטריקס \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), חשב את המכפלה בין המטריצה M ואת המטריצה \(I_3\).

פתרון הבעיה:

כשמבצעים את הכפל, יש לנו:

\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{מטריקס}\right]\)

\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)

\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)

פתרו תרגילים על מטריצת זהות

שאלה 1

יש מטריצה מרובעת בסדר 3 המוגדרת על ידי \(a_{ij}=1 \) מתי \(i=j\) זה \(a_{ij}=0\) זה מתי \(i\neq j\). המטריצה הזו היא כמו:

א) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)

ב) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)

W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

ד) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

ו) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)

פתרון הבעיה:

חלופה D

בניתוח המטריצה, יש לנו:

\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)

\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)

אז המטריצה שווה ל:

\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

שאלה 2

(UEMG) אם המטריצה ההפוכה של \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), הערך של x הוא:

א) 5

ב) 6

ג) 7

ד) 9

פתרון הבעיה:

חלופה א'

מכפלת המטריצות, אנו מבינים שהמכפלה שלהן שווה למטריצת הזהות. חישוב המכפלה של השורה השנייה של המטריצה לפי העמודה הראשונה של היפוך שלה, יש לנו:

\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)

\(15-3x=0\)

\(-\ 3x=0-15\ \)

\(-\ 3x=-\ 15\)

\(x=\frac{-15}{-3}\)