O נפח חרוט קטום הוא החלל שתופס הגוף העגול הזה. מכיוון שהחתך של חרוט ברדיוס R מייצר חרוט קטן יותר ברדיוס ר וחרוט קטום, הנפחים של שלושת המוצקים הללו קשורים זה לזה.
קרא גם: כיצד לחשב את הגזע של פירמידה
סיכום על נפח החרוט הקטום
- חרוט ברדיוס R חתך לרוחב בגובה ח של מישור הבסיס מחולק לשני מוצקים גיאומטריים: חרוט ברדיוס ר זה חרוט תא המטען.
- המרכיבים העיקריים של החרוט הקטום הם הגובה ח, הבסיס הקטן ביותר של הרדיוס ר ובסיס גדול יותר ברדיוס R.
- נפח החרוט הקטום הוא ההבדל בין נפח קונוס הרדיוס R לנפח קונוס הרדיוס ר.
- הנוסחה לנפח החרוט הקטום היא:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
שיעור וידאו על עוצמת הקול של החרוט הקטום
מהם המרכיבים של החרוט הקטום?
האלמנטים של חרוט קטום שנוצר מקטע של חרוט ימני ברדיוס R הם:
- בסיס מינורי – עיגול רדיוס ר, המתקבל בחתך החרוט ברדיוס R.
- בסיס גדול יותר – בסיס עגול של חרוט ברדיוס R.
- גובה (ח) – מרחק בין מישורי הבסיסים.
- גנרטריקס – קטע עם קצוות על ההיקפים התוחמים את הבסיסים.
א התמונה למטה מציגה את האלמנטים של חרוט קטום. שימו לב שהבסיסים המשניים והמז'וריים מקבילים.
Formula Trunk of Cone Volume
לאחר מכן, בואו נגזור את הנוסחה לנפח של תסכול גובה ח, רדיוס בסיס קטן יותר ר ורדיוס של הבסיס הגדול ביותר R.
קחו בחשבון שהחתך של חרוט ברדיוס R וגובה H1 מייצר שני מוצקים:
- חרוט ברק ר וגובה ח2 זה
- חרוט גזע גבוה ח .
תבין את זה \(H_1=H_2+h\).
נפח החרוט ברדיוס R (שנקרא לו החרוט הגדול יותר) יוצג על ידי VR; נפח חרוט הרדיוס ר (שנקרא לו החרוט הקטן יותר), מאת Vr; ונפח החרוט הקטום על ידי Vt. לָכֵן:
\(V_R=V_r+V_t\)
ציין זאת:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \(V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
תַצְפִּית: VR ו-Vr הם נפחים של קונוסים. כדי לסקור עניין זה, לחץ כאן.
ככה:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2) H_2 ]\)
מונח H2 מתאים לגובה החרוט הקטן יותר. בהתייחס לגבהים של הקונוסים לרדיוסים המתאימים של הבסיסים, נוכל לקבל נוסחה לנפח הגזע התלויה רק באלמנטים של הגזע (R, ר זה ח).
שיוך הרדיוס והגובה של החרוט הגדול יותר (R ו-H1 ) עם הרדיוס והגובה של החרוט הקטן יותר (ר וח2), יש לנו את הפרופורציה הבאה:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
בקרוב, נוכל לשכתב את נפח תא המטען Vט כדלהלן:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
ככה, הנוסחה לנפח החרוט הקטום היא:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
קראו גם: נוסחאות נפח של מוצקים גיאומטריים שונים
כיצד לחשב את נפח החרוט הקטום?
כדי לחשב את הנפח של חרוט קטום, פשוט החליפו את מדידות הגובה, הרדיוס של הבסיס הקטן יותר ורדיוס הבסיס הגדול יותר בנוסחה.
- דוגמה: מהו נפח, בסנטימטרים מעוקבים, של חרוט קטום שבו רדיוס הבסיס הגדול יותר הוא R = 5 ס"מ, הרדיוס של הבסיס הקטן יותר הוא r = 3 והגובה הוא h = 2 ס"מ? (השתמש ב-π=3 )
בהחלפת הנתונים בנוסחה, יש לנו:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
פתרו תרגילים על נפח החרוט הקטום
שאלה 1
לסיר יש צורה של חרוט קטום עם רדיוס הבסיס הגדול ביותר R = 8 ס"מ, רדיוס הבסיס הקטן ביותר r = 4 והגובה h = 2 ס"מ. נפח הסיר הזה, בס"מ³, הוא:
א) 48 פי
ב) 64 פי
ג) 112 פי
ד) 448 פי
ה) 1344 פי
פתרון הבעיה
בהחלפת הנתונים בנוסחה, יש לנו:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
חלופה D
שאלה 2
(אנם 2021) אדם אחד קנה ספל לשתות מרק, כפי שמוצג באיור.
ידוע כי 1 ס"מ³ = 1 מ"ל וכי החלק העליון של הספל הוא עיגול בקוטר (D) בגודל 10 ס"מ, והבסיס הוא עיגול בקוטר (d) בגודל 8 ס"מ.
יתר על כן, ידוע שגובה (h) של ספל זה הוא 12 ס"מ (מרחק בין מרכז העיגולים העליונים והתחתונים).
השתמש ב-3 כקירוב עבור π.
מהי הקיבולת הנפחית, במיליליטרים, של הספל הזה?
א) 216
ב) 408
ג) 732
ד) 2196
ה) 2928
פתרון הבעיה
צורת הספל היא קונוס קטום בו החלק העליון הוא הבסיס הגדול יותר. כמו כן, ר=5, ר = 4 ס"מ ו ח = 12. בקרוב:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
מכיוון ש-1 cm³ = 1 מ"ל, יש לנו 732 cm³ = 732 מ"ל.
חלופה C
מקורות:
דנטה, ל. ר. מָתֵימָטִיקָה: הקשר ויישומים - בית ספר תיכון. 3. ed. סאו פאולו: אטיקה, 2016. v.3.
דולצ'ה, הו; פומפאו, ג'יי. לא. יסודות המתמטיקה היסודית, כרך 10: גיאומטריה מרחבית - מיקום ומטרי. 7 מהדורה. סנטוס: נוכחי, 2013.
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
