מכסה כדורית: מה זה, אלמנטים, שטח, נפח

א כובע כדורי וה מוצק גיאומטרי מתקבל כאשר כדור מיירט מישור, מחלק אותו לשני מוצקים גיאומטריים. הכובע הכדורי נחשב לגוף עגול מכיוון שכמו הכדור, יש לו צורה מעוגלת. כדי לחשב את השטח והנפח של מכסה כדורית, אנו משתמשים בנוסחאות ספציפיות.

קראו גם: גזע החרוט - המוצק הגיאומטרי שנוצר על ידי החלק התחתון של החרוט כאשר נוצר קטע מקביל לבסיס

תקציר לגבי כובע כדורי

• המכסה הכדורי הוא מוצק גיאומטרי המתקבל כאשר הכדור מחולק במישור.
• המרכיבים העיקריים של המכסה הכדורי הם רדיוס הכדור, רדיוס המכסה הכדורי וגובה המכסה הכדורית.
• הכובע הכדורי אינו פולידרון, אלא גוף עגול.
• אם המטוס מחלק את הכדור לשניים, המכסה הכדורי יוצר חצי כדור.
• ניתן לחשב את רדיוס המכסה הכדורי באמצעות משפט פיתגורס, המאורגן באופן הבא:

\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)

• ניתן לחשב את שטח המכסה הכדורי באמצעות הנוסחה:

\(A=2\pi rh\ \)

• ניתן לחשב את נפח המכסה הכדורי באמצעות הנוסחה הבאה:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)

מה זה כובע כדורי?

כובע כדורי הוא המוצק הגיאומטרי המתקבל כאשר קטע של כַּדוּר מְשׁוּתָף שָׁטוּחַ. כאשר אנו חותכים את הכדור עם מישור, אנו מחלקים את הכדור הזה לשני מכסים כדוריים. כאשר אנו מחלקים את הכדור לשניים, המכסה הכדורי מכונה חצי הכדור.

רכיבי מכסה כדוריים

במכסה כדורית, האלמנטים העיקריים הם רדיוס הכדור, רדיוס המכסה הכדורית וגובה המכסה הכדורית.

• R → רדיוס הכדור.
• r → רדיוס של המכסה הכדורי.
• h → גובה המכסה הכדורי.

האם הכובע הכדורי הוא פולידרון או גוף עגול?

אנו יכולים לראות שהכובע הוא מוצק גיאומטרי. מכיוון שיש לו בסיס עגול ומשטח מעוגל, הכובע הכדורי נחשב א גוף עגול, אשר ידוע גם בתור מוצק המהפכה. ראוי להזכיר כי פֵּאוֹן יש פרצופים שנוצרו על ידי מצולעים, וזה לא המקרה של הכובע הכדורי, שיש לו בסיס שנוצר על ידי א מעגל.

כיצד לחשב את הרדיוס של המכסה הכדורי?

כדי לחשב את אורך הרדיוס של המכסה הכדורי, יש צורך לדעת את אורך הגובה h של המכסה הכדורי ואת אורך הרדיוס R של הכדור, כי כפי שאנו יכולים לראות בתמונה הבאה, יש קשר פיתגורי.

שימו לב שיש לנו א משולש ישר זווית, המשולש OO'B, כאשר תחתית האדמה מודדת R ורגליים מודדות R - h ו-r. החלת ה משפט פיתגורס, אנחנו חייבים:

\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)

דוגמא:

מהו הרדיוס של מכסה כדורי שגובהו 2 ס"מ, בהינתן שרדיוס הכדור הוא 5 ס"מ?

פתרון הבעיה:

יישום היחס הפיתגורי:

\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)

\(\left (5-2\right)^2+r^2=5^2\)

\(3^2+r^2=25\)

\(9+r^2=25\)

\(r^2=25-9\)

\(r^2=16\)

\(r=\sqrt{16}\)

\(r=4\)

כיצד לחשב את שטח הכובע הכדורי?

כדי לחשב את שטח המכסה הכדורי, יש צורך לדעת את המדידה של אורך רדיוס R של הכדור וגובה h של המכסה. הנוסחה המשמשת לחישוב שטח הפנים היא:

\(A=2\pi Rh\)

• R → רדיוס הכדור.
• h → גובה המכסה הכדורי.

דוגמא:

מכסה כדורי התקבל מכדור שרדיוס 6 ס"מ וגובהו 4 ס"מ. אז מהו שטח הפנים של הכובע הכדורי הזה?

פתרון הבעיה:

חישוב השטח של המכסה הכדורי, יש לנו:

\(A=2\pi Rh\)

\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)

\(A=48\pi\ cm^2\)

כיצד לחשב את נפח המכסה הכדורי?

נפח המכסה הכדורי ניתן לחשב בשתי דרכים. הנוסחה הראשונה תלויה ברדיוס R של הכדור ובגובה h:

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)

דוגמא:

מהו נפחו של מכסה כדורי המתקבל מכדור ברדיוס 8 ס"מ שגובה המכסה הכדורי שלו הוא 6 ס"מ?

פתרון הבעיה:

מכיוון שאנו יודעים את הערך של R ו-h, נשתמש בנוסחה הראשונה.

R = 8

h = 6

\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)

\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)

\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)

\(V=12\pi\left (18\right)\)

\(V=216\pi\ cm^3\)

נוסחת נפח המכסה הכדורית האחרת לוקחת בחשבון את רדיוס המכסה הכדורי r ואת גובה המכסה h:

\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)

דוגמא:

מהו נפחו של כובע כדורי שרדיוס 10 ס"מ וגובהו 4 ס"מ?

פתרון הבעיה:

במקרה זה, יש לנו r = 10 ס"מ ו-h = 4 ס"מ. מכיוון שאנו יודעים את הערך של רדיוס המכסה הכדורית והגובה, נשתמש בנוסחה השנייה:

\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)

\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)

\(V=\frac{1264\pi}{6}\)

\(V\approx210.7\ \pi\ cm³\)

ראה גם: גזע פירמידה - המוצק הגיאומטרי שנוצר על ידי תחתית הפירמידה כאשר נלקח חתך

פתרו תרגילים על כובע כדורי

שאלה 1

(אנם) לעיצוב שולחן מסיבה לילדים, שף ישתמש במלון כדורי בקוטר של 10 ס"מ, שישמש כתמיכה לשיפוד ממתקים שונים. הוא יסיר מכסה כדורי מהמלון, כפי שמוצג באיור, וכדי להבטיח את יציבות התמיכה הזו, מה שמקשה על המלון להתגלגל על ​​השולחן, השף יחתוך כך שרדיוס r של החלק החתוך העגול יהיה לפחות מינוס 3 ס"מ. מצד שני, הבוס ירצה שיהיה לו כמה שיותר שטח באזור בו יפורסמו הממתקים.

כדי להשיג את כל מטרותיו, על השף לחתוך את החלק העליון של המלון בגובה h, בסנטימטרים, השווה ל

א) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)

ב)\( 10-\sqrt{91}\)

ג) 1

ד) 4

ה) 5

פתרון הבעיה:

חלופה C

אנחנו יודעים שקוטר הכדור הוא 10 ס"מ, אז הרדיוס שלו הוא 5 ס"מ, אז OB = 5 ס"מ.

אם רדיוס הקטע הוא בדיוק 3 ס"מ, יש לנו:

AO² +AB² = OB²

AO² + 3² = 5²

AO² + 9 = 25

AO² = 25 - 9

AO² = 16

AO = \(\sqrt{16}\)

AO = 4 ס"מ

לָכֵן:

h + 4 = 5

h = 5 - 4

h = 1

שאלה 2

כובע כדורי הוא בשטח של 144π ס"מ². בידיעה שיש לו רדיוס של 9 ס"מ, גובה הכובע הכדורי הזה הוא:

א) 8 ס"מ

ב) 10 ס"מ

ג) 14 ס"מ

ד) 16 ס"מ

ה) 22 ס"מ

פתרון הבעיה:

חלופה א'

אנחנו יודעים את זה:

\(A=2\pi Rh\)

\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)

\(144\pi=18\pi h\)

\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)

\(8=h\)

הגובה 8 ס"מ.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm