הַגזָמָה. הגדרה של היפרבול

מהי היפרבול?
הגדרה: תן F1 ו- F2 להיות שתי נקודות במישור ותן 2c להיות המרחק ביניהן, היפרבולה היא הסט של הנקודות במישור שההפרש (במודול) בין המרחקים ל- F1 ו- F2 הוא הקבוע 2a (0 <2a <2c).
אלמנטים של היפרבול:

F1 ו- F2 → הם מוקדי ההיפרבולה
→ הוא מרכז ההיפרבוליות
2c → אורך מוקד
2 → מדידת ציר אמיתי או רוחבי
2b → מדידת ציר דמיוני
c / a → אקסצנטריות
יש קשר בין a, b ו- c → c² = ה² + ב²

משוואת היפרבולה מופחתת
מקרה ראשון: היפרבולה עם התמקדות בציר ה- x.

ברור שבמקרה זה למוקדים יהיו קואורדינטות F1 (-c, 0) ו- F2 (c, 0).
לפיכך, המשוואה המוקטנת של האליפסה עם המרכז במקור המישור הקרטזיאני ומתמקדת בציר x תהיה:

מקרה שני: היפרבולה עם מוקדים בציר y.

במקרה זה, למוקדים יהיו קואורדינטות F1 (0, -c) ו- F2 (0, c).
לפיכך, המשוואה המוקטנת של האליפסה עם המרכז במקור המישור הקרטזיאני ומתמקדת בציר y תהיה:

דוגמה 1. מצא את המשוואה המופחתת של ההיפרבולה עם ציר אמיתי 6, מוקדים F1 (-5, 0) ו- F2 (5, 0).
פתרון: אנחנו חייבים
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) ו- F2 (5, 0) → c = 5
מהיחסים המדהימים אנו משיגים:
ç² = ה² + ב^2 → 5² = 3² + ב² → ב² = 25 - 9 → ב² = 16 → b = 4

לפיכך, המשוואה המוקטנת תינתן על ידי:

דוגמה 2. מצא את משוואת ההיפרבולה המופחתת שיש לה שני מוקדים עם קואורדינטות F2 (0, 10) וציר דמיוני שמודד 12.
פתרון: אנחנו חייבים
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
באמצעות מערכת היחסים המדהימה אנו משיגים:
10² = ה² + 6² → 100 = א² + 36 → א² = 100 - 36 → א² = 64 → a = 8.
לפיכך, משוואת ההיפרבולה המופחתת תינתן על ידי:

דוגמה 3. קבע את אורך המוקד של ההיפרבולה בעזרת משוואה
פתרון: מכיוון שמשוואת ההיפרבולה היא מסוג  אנחנו חייבים
ה² = 16 ו- b² =9
מהקשר המדהים שאנו מקבלים
ç² = 16 + 9 → ג² = 25 → c = 5
אורך המוקד ניתן על ידי 2 ג. לכן,
2c = 2 * 5 = 10
אז אורך המוקד הוא 10.

מאת מרסלו ריגונאטו
מומחה לסטטיסטיקה ולמודלים מתמטיים
צוות בית הספר בברזיל

גיאומטריה אנליטית - מתמטיקה - בית ספר ברזיל