תרגילי מערכות ליניאריות פתרו

תרגל את הידע שלך במערכות ליניאריות, נושא חשוב במתמטיקה הכרוך בחקר משוואות בו זמנית. עם יישומים מעשיים רבים, הם משמשים לפתרון בעיות המערבות משתנים שונים.

כל השאלות נפתרות שלב אחר שלב, כאשר נשתמש בשיטות שונות, כגון: החלפה, הוספה, חיסול, קנה מידה וכלל קריימר.

שאלה 1 (שיטת החלפה)

קבע את הזוג המסודר שפותר את מערכת המשוואות הלינאריות הבאות.

ראה תשובה

תְגוּבָה:

בידוד x במשוואה הראשונה:

החלפת x במשוואה השנייה:

החלפת הערך של y במשוואה הראשונה.

אז, הזוג המסודר שפותר את המערכת הוא:

שאלה 2 (שיטת קנה המידה)

הפתרון למערכת המשוואות הלינאריות הבאה הוא:

ראה תשובה

תשובה: x = 5, y = 1, z = 2

המערכת כבר בצורת דרג. למשוואה השלישית יש שני מקדמי אפס (y = 0 ו-x = 0), למשוואה השנייה יש מקדם אפס (x = 0), ולמשוואה השלישית אין מקדמי אפס.

במערכת דרג פותרים "מלמטה למעלה", כלומר מתחילים עם המשוואה השלישית.

נעבור למשוואה העליונה, נחליף את z = 2.

לבסוף, נחליף את z = 2 ו- y = 1 במשוואה הראשונה, כדי לקבל את x.

פִּתָרוֹן

x = 5, y = 1, z = 2

שאלה 3 (הכלל או השיטה של ​​קריימר)

פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות הבאה:

ראה תשובה

תשובה: x = 4, y = 0.

באמצעות הכלל של קריימר.

שלב 1: קובעים את הקובעים D, Dx ו-Dy.

מטריצת המקדמים היא:

הקובע שלו:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

לחישוב של Dx, נחליף את עמודת האיברים של x בעמודת האיברים העצמאיים.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

לחישוב של Dy, אנו מחליפים את המונחים של y במונחים הבלתי תלויים.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

שלב 2: קבע את x ו-y.

כדי לקבוע x, אנו עושים:

כדי לקבוע y, אנו עושים:

שאלה 4

מוכר חולצות וכובעים באירוע ספורט מכר 3 חולצות ו-2 כובעים, וגייס סך של R$220.00. למחרת, הוא מכר 2 חולצות ו-3 כובעים, וגייס R$190.00. מה יהיה המחיר של חולצת טריקו ומה המחיר של כובע?

א) חולצה: BRL 60.00 | תקרה: BRL 40.00

ב) חולצה: BRL 40.00 | תקרה: BRL 60.00

ג) חולצה: BRL 56.00 | תקרה: 26.00 ברלין

ד) חולצה: BRL 50.00 | תקרה: BRL 70.00

ה) חולצה: BRL 80.00 | תקרה: BRL 30.00

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

בואו נסמן את המחיר של חולצות טי ומחיר הכובעים ב.

ליום הראשון יש לנו:

3c + 2b = 220

ליום השני יש לנו:

2c + 3b = 190

אנו יוצרים שתי משוואות עם שני לא ידועים כל אחת, c ו-b. אז יש לנו מערכת של משוואות לינאריות 2x2.

פתרון הבעיה

באמצעות הכלל של קריימר:

שלב 1: דטרמיננטה של ​​מטריצת המקדמים.

שלב שני: דטרמיננט Dc.

נחליף את העמודה של c במטריצת האיברים העצמאיים.

שלב 3: דטרמיננט Db.

שלב רביעי: קבע את הערך של c ו-b.

תְגוּבָה:

מחיר החולצה הוא R$56.00 והכובע R$26.00.

שאלה 5

בית קולנוע גובה R$10.00 לכרטיס למבוגרים ו-R$6.00 לכרטיס לילדים. ביום אחד נמכרו 80 כרטיסים והאיסוף הכולל היה R$ 700.00. כמה כרטיסים מכל סוג נמכרו?

א) מבוגרים: 75 | ילדים: 25

ב) מבוגרים: 40 | ילדים: 40

ג) מבוגרים: 65 | ילדים: 25

ד) מבוגרים: 30 | ילדים: 50

ה) מבוגרים: 25 | ילדים: 75

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

נקרא לזה בשם ה מחיר הכרטיס למבוגרים ו w לילדים.

ביחס למספר הכולל של כרטיסים יש לנו:

a + c = 80

לגבי הערך שהושג יש לנו:

10a + 6c = 700

אנו יוצרים מערכת של משוואות לינאריות עם שתי משוואות ושני לא ידועים, כלומר מערכת 2x2.

פתרון הבעיה

נשתמש בשיטת ההחלפה.

בידוד a במשוואה הראשונה:

a = 80 - ג

החלפת a במשוואה השנייה:

10.(80 - ג) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

החלפת c במשוואה השנייה:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6 שנים + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

שאלה 6

חנות מוכרת חולצות טריקו, מכנסיים קצרים ונעליים. ביום הראשון נמכרו 2 חולצות טריקו, 3 מכנסיים קצרים ו-4 זוגות נעליים בסכום כולל של R$350.00. ביום השני נמכרו 3 חולצות טריקו, 2 מכנסיים קצרים וזוג נעליים אחד בסכום כולל של R$200.00. ביום השלישי נמכרו חולצת טריקו אחת, 4 מכנסיים קצרים ו-2 זוגות נעליים בסכום כולל של R$320.00. כמה יעלו חולצת טריקו, מכנסיים קצרים וזוג נעליים?

א) חולצה: BRL 56.00 | ברמודה: R$ 24.00 | נעליים: BRL 74.00

ב) חולצה: BRL 40.00 | ברמודה: R$ 50.00 | נעליים: BRL 70.00

ג) חולצה: BRL 16.00 | ברמודה: R$ 58.00 | נעליים: BRL 36.00

ד) חולצה: BRL 80.00 | ברמודה: R$ 50.00 | נעליים: BRL 40.00

ה) חולצה: BRL 12.00 | ברמודה: R$ 26.00 | נעליים: BRL 56.00

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

• c הוא המחיר של חולצות;
• b הוא המחיר של המכנסיים הקצרים;
• זה המחיר של הנעליים.

ליום הראשון:

2c + 3b + 4s = 350

ליום השני:

3c + 2b + s = 200

ליום השלישי:

c + 4b + 2s = 320

יש לנו שלוש משוואות ושלושה לא ידועים, היוצרים מערכת 3x3 של משוואות ליניאריות.

באמצעות הכלל של קריימר.

מטריצת המקדמים היא

הקובע שלו הוא D = 25.

מטריצת העמודות של התגובות היא:

כדי לחשב Dc, נחליף את מטריצת העמודות של התגובות בעמודה הראשונה במטריצת המקדמים.

dc = 400

לחישוב Db:

Db = 1450

לחישוב Ds:

Ds = 900

כדי לקבוע את c, b, ו-s, אנו מחלקים את הקובעים Dc, Db ו-Ds בדטרמיננטה העיקרית D.

שאלה 7

מסעדה מציעה שלוש אפשרויות מנות: בשר, סלט ופיצה. ביום הראשון נמכרו 40 מנות בשריות, 30 מנות סלט ו-10 פיצות, במכירות בסך של 700.00 דולר ארה"ב. ביום השני נמכרו 20 מנות בשריות, 40 מנות סלט ו-30 פיצות, בהיקף כולל של 600.00 דולר ארה"ב במכירות. ביום השלישי נמכרו 10 מנות בשריות, 20 מנות סלט ו-40 פיצות, בהיקף כולל של 500.00 דולר ארה"ב במכירות. כמה תעלה כל מנה?

א) בשר: BRL 200.00 | סלט: R$ 15.00 | פיצה: BRL 10.00

ב) בשר: R$ 150.00 | סלט: R$ 10.00 | פיצה: BRL 60.00

ג) בשר: BRL 100.00 | סלט: R$ 15.00 | פיצה: BRL 70.00

ד) בשר: BRL 200.00 | סלט: R$ 10.00 | פיצה: BRL 15.00

ה) בשר: BRL 140.00 | סלט: R$ 20.00 | פיצה: BRL 80.00

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

באמצעות:

• ג לבשר;
• s לסלט;
• p עבור פיצה.

ביום הראשון:

ביום השני:

ביום השלישי:

את המחיר של כל מנה ניתן לקבל על ידי פתרון המערכת:

פתרון הבעיה

שימוש בשיטת האלימינציה.

הכפל 20c + 40s + 30p = 6000 ב-2.

החסר את משוואת המטריצה ​​השנייה המתקבלת מהראשונה.

במטריצה ​​למעלה, אנו מחליפים את המשוואה הזו בשנייה.

נכפיל את המשוואה השלישית למעלה ב-4.

אם נחסר את השלישי מהמשוואה הראשונה, נקבל:

החלפת המשוואה שהתקבלה על ידי השלישית.

בהפחתת המשוואות שתיים ושלוש, יש לנו:

מהמשוואה השלישית נקבל p = 80.

החלפת p במשוואה השנייה:

50 + 50.80 = 5000

50 + 4000 = 5000

שנות 50 = 1000

s = 1000/50 = 20

החלפת הערכים של s ו-p במשוואה הראשונה:

40c + 30.20 + 10.80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

פִּתָרוֹן

p=80, s=20 ו-c=140

שאלה 8

(UEMG) בתוכנית, המערכת מייצג זוג קווים

א) מקריות.

ב) נבדל ומקביל.

ג) קווים מקבילים בנקודה ( 1, -4/3 )

ד) קווים מקבילים בנקודה ( 5/3, -16/9 )

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

הכפלת המשוואה הראשונה בשניים והוספת שתי המשוואות:

החלפת x במשוואה A:

שאלה 9

(PUC-MINAS) מעבדה מסוימת שלחה 108 הזמנות לבתי המרקחת א', ב' ו-ג'. ידוע כי מספר ההזמנות שנשלחו לבית מרקחת ב' היה פי שניים מסך ההזמנות שנשלחו לשני בתי המרקחת האחרים. בנוסף, שלוש הזמנות יותר ממחצית הכמות שנשלחה לבית מרקחת א' נשלחו לבית מרקחת ג'.

בהתבסס על מידע זה, נכון לציין שמספר ההזמנות הכולל שנשלח לבתי המרקחת ב' ו-ג' היה

א) 36

ב) 54

ג) 86

ד) 94

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

לפי ההצהרה יש לנו:

A + B + C = 108.

כמו כן, שכמות B הייתה כפולה מזו של A+C.

B = 2(A + C)

שלוש הזמנות נשלחו לבית מרקחת ג', יותר ממחצית מהכמות שנשלחה לבית מרקחת א'.

C = A/2 + 3

יש לנו משוואות ושלושה לא ידועים.

שימוש בשיטת ההחלפה.

שלב 1: החלף את השלישי בשני.

שלב 2: החלף את התוצאה שהתקבלה ואת המשוואה השלישית בראשון.

שלב 3: החלף את הערך של A כדי לקבוע את הערכים של B ו-C.

B = 3A + 6 = 3.22 + 6 = 72

עבור C:

שלב 4: הוסף את הערכים של B ו-C.

72 + 14 = 86

שאלה 10

(UFRGS 2019) כך שמערכת המשוואות הלינאריות אפשרי ונחוש, זה הכרחי ודי בכך

א) a ∈ R.

ב) a = 2.

ג) a = 1.

ד) a ≠ 1.

ג) a ≠ 2.

לאמת את התשובה

תשובה מוסברת

אחת הדרכים לסווג מערכת ככל האפשר ולקבוע היא באמצעות השיטה של ​​קרימר.

התנאי לכך הוא שהקובעים שונים מאפס.

הפיכת הקובע D של המטריצה ​​הראשית לשווה לאפס:

למידע נוסף על מערכות ליניאריות:

• מערכות לינאריות: מה הן, סוגים וכיצד לפתור
• מערכות משוואות
• קנה מידה של מערכות ליניאריות
• חוק קריימר

לתרגילים נוספים:

• מערכות משוואות של תואר ראשון

איך לצטט?

ASTH, רפאל. תרגילים על מערכות ליניאריות פתורות.הכל עניין, [נ.ד.]. אפשר להשיג ב: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. גישה ב:

ראה גם

• מערכות לינאריות
• קנה מידה של מערכות ליניאריות
• מערכות משוואות
• 11 תרגילים על כפל מטריצה
• משוואת מדרגה שנייה
• תרגילי אי שוויון
• 27 תרגילי מתמטיקה בסיסיים
• חוק קריימר