נפח הקובייה: נוסחה, איך לחשב, תרגילים

O נפח קובייה הוא המרחב הזה מוצק גיאומטרי כובש. הקובייה, המכונה גם משושה, היא המוצק הגיאומטרי המורכב מ-6 פרצופים מרובעים. לכן, נפח הקוביה תלוי רק במידת הקצה שלה. נפח הקובייה שווה לאורך הקצה בחזקת 3, כלומר V = ה³.

ראה גם: נפח צילינדר - איך לחשב?

מהי הנוסחה לנפח הקובייה?

כדי להבין את הנוסחה לנפח של קוּבִּיָה, נזכור את התכונות העיקריות שלו. הקובייה היא מקרה מיוחד של פֵּאוֹן. הוא מורכב מ-6 פרצופים מרובעים, 12 קצוות ו-8 קודקודים. בקובייה, כל הקצוות חופפים. בנוסף להיותה פולידרון, הקובייה נחשבת ל-a מַרצֶפֶת, כיון שכל פניו נוצרים על ידי ריבועים. ראה את התמונה למטה.

נפח הקובייה הוא כֶּפֶל אורך לפי גובה ורוחב. מכיוון שכל הקצוות שלו חופפים, מדידה ה, נפח הקובייה אינו אלא קוביית הקצה, כלומר:

\(V=a^3\)

איך מחשבים את נפח הקובייה?

כדי לחשב את נפח הקוביה, לדעת את אורך הקצה שלה, פשוט חשב את הקובייה של הקצה.

• דוגמא:

מיכל מעוצב כמו קובייה עם קצה של 12 סנטימטרים, כך שנפח הקובייה הוא:

פתרון הבעיה:

V = ה³

V = 12³

V = 1728 ס"מ³

נפח המיכל הזה הוא 1728 ס"מ³.

• דוגמה 2

לפולידרון יש 6 פנים, כולם מרובעים, עם קצוות בגודל 4 מטרים, כך שנפח הפולידרון הזה הוא:

פתרון הבעיה:

אנו יכולים לראות שהפוליהדרון הזה הוא קובייה, אז פשוט חשב את נפח הקובייה:

V = a³

V = 4³

V = 64 m³

קראו גם: נפח חרוט - איך לחשב?

יחידות מדידת נפח

נפח הוא החלל שגוף נתון תופס ויש לו מטר מעוקב (m³) כיחידה הבסיסית שלו. בנוסף למטר מעוקב, יש תת-כפולות וכפולות של יחידת מדידה זו.

מכפילי המשנה הם:

• מילימטר מעוקב: mm³

• סנטימטר מעוקב: cm³

• דצימטר מעוקב: dm³

הכפולות הן:

• דקאמטר מעוקב: dam³

• הקטמטר מעוקב: hm³

• ק"מ מעוקב: ק"מ³

נוכל גם לקשר את מידת הנפח למידת הקיבולת, הנמדדת בליטרים. באופן כללי, יש לנו:

1 m³ = 1000 ל

1 dm³ = 1 ל

1 ס"מ³ = 1 מ'ל

תרגילים שנפתרו בנפח קובייה

שאלה 1

(אנם 2010) מחזיק עפרונות עץ נבנה בפורמט מעוקב, לפי הדגם המוצג להלן. הקובייה בפנים ריקה. הקצה של הקובייה הגדולה יותר בגודל 12 ס"מ, ושל הקובייה הקטנה יותר, שהיא פנימית, 8 ס"מ.

נפח העץ המשמש לייצור חפץ זה היה

א) 12 ס"מ³

ב) 64 ס"מ³

ג) 96 ס"מ³

ד) 1216 ס"מ³

ה) 1728 ס"מ³

פתרון הבעיה:

חלופה D

כדי לחשב את נפח העץ, נחשב את ההפרש בין נפח הקובייה הגדולה יותר לנפח הקובייה הקטנה יותר.

לקובייה הקטנה יותר יש קצה בגודל 8 ס"מ:

\(V_1=8^3\)

\(V_1=512\)

לקובייה הגדולה ביותר יש קצה בגודל 12 ס"מ:

\(V_2={12}^3\)

\(V_2=1728\)

בחישוב ההבדל ביניהם, המסקנה היא שנפח העץ בו נעשה שימוש היה:

\(V=V_2-V_1\)

\(V=1728-512\)

\(V=1216\ cm^3\)

שאלה 2

(Vunesp 2011) מוצרי חברה ארוזים בקופסאות מעוקבות, עם קצה של 20 ס"מ. להובלה, חבילות אלה מקובצות יחד, ויוצרות בלוק מלבני, כפי שמוצג באיור. ידוע כי 60 מהבלוקים הללו ממלאים לחלוטין את תא המטען של הרכב המשמש להובלתם.

ניתן להסיק, אם כן, שהנפח המרבי, במטר מעוקב, המועבר ברכב זה הוא:

א) 4.96.

ב) 5.76.

ג) 7.25.

ד) 8.76.

ה) 9.60.

פתרון הבעיה:

חלופה ב'

ראשית, נחשב את נפח הקובייה. בידיעה שהקצה שלו הוא 20 ס"מ והפיכת הערך הזה למטרים, יש לנו 0.2 מ' של קצה.

\(V_{קוביה}={0.2}^3\)

\(V_{קוביה}=0.008\ m^3\)

מהתמונה ניתן לראות שלכל בלוק מלבני יש 12 קוביות, כך שנפח הבלוק יהיה:

\(V_{block}=12\cdot0.008\)

\(V_{block}=0.096\ m^3\)

לבסוף, אנו יודעים ש-60 בלוקים יכולים להתאים לרכב ההובלה, כך שנפח הטעינה המרבי הוא:

\(V_{maximum}=0.096⋅60=5.76 m^3\)

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-cubo.htm