תרגילים על PA ו-PG

למד התקדמות אריתמטית וגיאומטרית עם תרגילים שנפתרו והערות צעד אחר צעד.

תרגיל 1

ב-AP, a2 = 5 ו-a7 = 15. מצא את a4 והוסף את חמשת האיברים הראשונים של AP זה.

ראה תשובה

תשובה נכונה: a4 = 9 ו-S = 35.

פתרון הבעיה

שלב 1: קבע את הסיבה ו-a4.
כדי לצאת מ-a2 ולהגיע ל-a7, נוסיף 5r, שכן זה ה"מרחק" בין 7 ל-2.

a with 7 subscript שווה a with 2 subscript פלוס 5 r 15 רווח שווה רווח 5 רווח פלוס רווח 5 r 15 רווח מינוס רווח 5 רווח שווה 5 r 10 רווח שווה רווח 5 r 10 מעל 5 שווה r 2 שווה ר

המונח a4 הוא המונח a2 ועוד 2r, כי כדי להגיע מ-a2 ל-a4, אנחנו "מקדמים" את 2r. בקרוב,

a עם 4 תחתי שווה ל-a עם 2 תחתי פלוס 2 r a עם 4 תחתי שווה 5 רווח פלוס רווח 2.2 a עם 4 תחתי שווה 5 רווח פלוס רווח 4 רווח שווה רווח 9

לכן, המונח הרביעי של AP הוא 9.

שלב שני: קבע את הסכום של חמשת האיברים הראשונים של AP זה.

סכום התנאים של AP ניתן על ידי:

S שווה סוגריים שמאליים של המונה a עם 1 מנוי פלוס a עם n סוגריים ימני של תחתית. n מעל מכנה 2 סוף השבר

a1 = a2 - r (מכיוון שאנו חוזרים עמדה אחת אחורה ב-PA, החל מ-a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (מכיוון שאנו חוזרים שני עמדות אחורה ב-PA, החל מ-a7).
a5 = 15 - 2.2 = 15 - 4 = 11

S שווה מונה שמאל סוגריים 3 רווח פלוס רווח 11 סוגריים ימין.5 מעל מכנה 2 סוף השבר שווה מונה 14 רווח. רווח 5 מעל מכנה 2 סוף השבר שווה 70 על 2 שווה 35

תרגיל 2

(אווירונאוטיקה 2021) פרופסור כתב התקדמות אריתמטית הולכת וגוברת בת 8 טווחים, החלה במספר 3 והמורכבת ממספרים טבעיים בלבד. לאחר מכן הוא שם לב שהאיברים השניים, הרביעיים והשמיניים של התקדמות אריתמטית זו יצרו, בסדר זה, התקדמות גיאומטרית. הפרופסור גם הבחין שסכום המונחים של התקדמות גיאומטרית זו שווה ל

א) 42
ב) 36
ג) 18
ד) 9

ראה תשובה

תשובה: א) 42

לפי AP, המונחים היוצרים PG הם a2, a4 ו-a8:

instagram story viewer

a עם 2 תחתי שווה ל-a עם 1 תחתי פלוס סוגרי שמאל n מינוס 1 סוגרי ימין r a עם 2 כתב מנוי שווה 3 פלוס סוגריים שמאלי 2 פחות 1 סוגרי ימין r a עם 2 כתב מנוי שווה 3 פלוס r חלל

a עם 4 כתב תחתי שווה a עם 1 תחתי פלוס סוגרי שמאל 4 פחות 1 סוגרי ימין r a עם 4 תחתי שווה 3 רווח פלוס רווח 3 r

a עם 8 תחתי שווה 3 פלוס סוגריים שמאלי 8 פחות 1 סוגריים ימין r a עם 8 תחתי שווה 3 פלוס 7 r

הסכום של שלושת האיברים הוא:

S שווה ל-a עם 2 תחתי פלוס a עם 4 תחתי פלוס a עם 8 תחתי S שווה סוגריים שמאליים 3 ועוד r רווח ימין בתוספת רווח שמאל סוגריים 3 ועוד 3 r סוגריים רווח ימין פלוס רווח סוגריים שמאלי 3 פלוס 7 r סוגריים ימני S שווה ל-9 רווח פלוס רווח 11 r רווח רווח רווח שמאל סוגריים ורווח q a tion I סוגריים ימין

כדי לקבוע את r, אנו משתמשים בממוצע הגיאומטרי:

a with 4 subscript שווה לשורש הריבועי של a with 2 subscript. a עם 8 סוף תחתית של שורש 3 פלוס 3 r שווה לשורש הריבועי של סוגרי שמאל 3 פלוס r סוגריים ימין. סוגרי שמאל 3 בתוספת 7 r סוגריים ימין שורש סוף

ריבוע שני הצדדים

סוגרי שמאל 3 פלוס 3 r סוגרי ימין בריבוע שווה סוגרי שמאל 3 פלוס r סוגרי ימין. סוגרי שמאל 3 פלוס 7 r סוגרי ימין

ריבוע המונח הראשון וחלוקת המונח השני:

סוגרי שמאל 3 פלוס 3 r סוגרי ימין בריבוע שווה סוגרי שמאל 3 פלוס r סוגרי ימין. סוגרי שמאל 3 פלוס 7 r סוגרי ימין 9 רווח פלוס רווח 18 r רווח פלוס רווח 9 r בריבוע שווה 9 רווח פלוס רווח 21 r רווח פלוס רווח 3 r רווח פלוס רווח 7 r בריבוע 9 r בריבוע מינוס 7 r בריבוע שווה 24 r רווח מינוס רווח 18 r רווח פלוס רווח 9 רווח מינוס רווח 9 2 r בריבוע שווה 6 r r בריבוע שווה 3 r א. רווח r שווה רווח 3 r רווח שווה מונה 3 r מעל מכנה r סוף השבר שווה 3

החלפת r במשוואה I, יש לנו:

רווח S שווה רווח 9 רווח פלוס רווח 11 r S רווח שווה רווח 9 רווח פלוס רווח 11.3 S רווח שווה רווח 9 רווח פלוס רווח 33 S space שווה רווח 42

לכן, הסכום של שלושת האיברים הראשונים שווה ל-42.

תרגיל 3

(PM-SP 2019) בשנת 2015, חברת נפט גדולה החלה בתהליך של שימוש חוזר במים המשמשים לקירור החלקים הפיק וביצע השלכה של עלייה הדרגתית, בהתקדמות אריתמטית, עד שנת 2050, של נפח המים שייעשה בהם שימוש חוזר, משנה לשנה. שָׁנָה.

הטבלה מציגה את נפחי המים שנעשה בהם שימוש חוזר ב-3 השנים הראשונות:

תן An להיות המונח הכללי של ההתקדמות האריתמטית המציינת את נפח המים בשימוש חוזר, במיליוני מ"ק, כאשר n = 1, מייצג את נפח המים שנעשה בהם שימוש חוזר בשנת 2016, n = 2, מייצג את נפח המים שנעשה בהם שימוש חוזר בשנת 2017, וכן הלאה ברציפות.

בתנאים האלה, צריך

א) An = 0.5n – 23.5.
ב) An = 23.5 + 0.5n.
ג) An = 0.5n + 23.
ד) An = 23 – 0.5n.
ה) An = 0.5n - 23.

ראה תשובה

תשובה נכונה: ג) An = 0.5n + 23.

מַטָרָה
קבע את An כפונקציה של n.

פתרון הבעיה
היחס בין ההתקדמות האריתמטית הוא 0.5, כי 24 - 23.5 = 0.5.

a1 = 23.5

המונח הכללי של AP ניתן על ידי:

A עם n תחתי שווה רווח a עם רווח כתוביות 1 פלוס רווח שמאל סוגרי n מינוס 1 סוגרי ימין r

החלפת הערכים:

A עם n תחתי שווה 23 פסיק 5 רווח פלוס רווח 0 פסיק 5 n רווח מינוס רווח 0 פסיק 5 A עם n תחתי שווה 0 פסיק 5 n ועוד 23 רווח

תרגיל 4

(CEDERJ 2021) הרצף (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) הוא התקדמות אריתמטית של יחס 6. המונח הרביעי של התקדמות זו הוא

א) 31.
ב) 33.
ג) 35.
ד) 37.

ראה תשובה

תשובה נכונה: א) 31

פתרון הבעיה
רווח r שווה לרווח a עם 2 תחתיות מינוס a עם 1 תחתי 6 רווח שווה לרווח 3 x פלוס 4 רווח מינוס סוגריים שמאל 2x פלוס 3 סוגריים ימין 6 שווה 3x פלוס 4 מינוס 2x מינוס 3 6 שווה x פלוס 1x שווה 6 מינוס 1x שווה 5

האיבר הרביעי הוא a3 + r, כך:

a עם 4 תחתי שווה ל-a עם 3 תחתי פלוס r a עם 4 תחתי שווה 4 x רווח פלוס רווח 5 רווח פלוס רווח r

החלפת הערכים שנמצאו:

a עם 4 תחתי שווה ל-4.5 רווח פלוס רווח 5 רווח פלוס רווח 6 א עם 4 תחתי שווה ל-20 פלוס רווח 5 רווח פלוס רווח 6 a עם 4 תחתי שווה 31

תרגיל 5

(Enem 2021) בברזיל, הזמן הנדרש לסטודנט להשלים את הכשרתו עד לסיום לימודיו בקורס גבוה יותר, בהתחשב ב-9 שנות בית ספר יסודי, 3 שנות תיכון ו-4 שנות סיום (זמן ממוצע), זה 16 שנים. עם זאת, המציאות של הברזילאים מראה שזמן הלימוד הממוצע של אנשים מעל גיל 14 עדיין קטן מאוד, כפי שמוצג בטבלה.
טבלה הקשורה לפתרון השאלה.

קחו בחשבון שהגידול בזמן הלימוד, בכל תקופה, עבור אנשים אלו, נשאר קבוע עד השנה 2050, וכי הוא נועד להגיע לרמה של 70% מהזמן הנדרש ללימודי הקורס הגבוה הניתן. קוֹדֶם.
השנה שבה זמן הלימוד הממוצע של אנשים מעל גיל 14 מגיע לאחוז הרצוי תהיה

א) 2018.
ב) 2023.
ג) 2031.
ד) 2035.
ה) 2043.

ראה תשובה

תשובה נכונה: ד) 2035.

חלק ראשון: קבע 70% מ-16.

רווח של 70 אחוז סימן 16 רווח שווה רווח 70 מעל 100 סימן כפל 16 שווה 1120 מעל 100 שווה 11 נקודה 2

חלק ב': לקבוע לאחר כמה תקופות יגיעו ל-11.2 שנות לימוד.

רצף זמן הלימוד הוא התקדמות אריתמטית (AP) ביחס של 0.6.

r = a2 - a1 = 5.8 - 5.2 = 0.6

a1 = 5.2

הסכום 11.2 שנים יושג ב:

A עם n תחתי שווה ל-a עם 1 תחתי פלוס רווח שמאל סוגרי n מינוס 1 סוגרי ימין r 11 פסיק 2 שווה 5 פסיק 2 פלוס סוגרי שמאלי n מינוס 1 סוגרי ימני 0 פסיק 6 11 פסיק 2 שווה 5 פסיק 2 ועוד 0 פסיק 6 n מינוס 0 פסיק 6 11 פסיק 2 מינוס 5 פסיק 2 פלוס 0 פסיק 6 שווה 0 פסיק 6 n 6 פלוס 0 פסיק 6 שווה 0 פסיק 6 n 6 פסיק 6 שווה 0 פסיק 6 n מונה 6 פסיק 6 מעל המכנה 0 פסיק 6 סוף השבר שווה n 11 שווה ל-n

הסכום של 11.2 יושג בקדנציה ה-11 של הרשות.

חלק 3: לקבוע מהי הקדנציה ה-11 של הרשות של השנים.

היחס הוא a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 שנים

A עם 11 תחתי שווה ל-a עם 1 תחתי פלוס סוגרי שמאל n מינוס 1 סוגרי ימין r A עם 11 תחתי שווה 1995 פלוס סוגרי שמאל 11 פחות 1 סוגריים ימניים 4 A עם 11 תחתי שווה 1995 פלוס 10.4 A עם 11 תחתי שווה 1995 רווח פלוס רווח 40 A עם 11 תחתי שווה 2035

סיכום
70% מ-16 השנים הנדרשות להשלמת תואר ראשון יושגו ב-2035.

תרגיל 6

(מכבי האש 2021) למטוס ולכבאית יש מאגרי מים בנפחים של 12,000 ו-8,000 ליטר מים, בהתאמה. למשאית משאבה של 2.5 GPM, כלומר היא מסוגלת לשאוב 2.5 ליטר לדקה.

ממצב היפותטי זה, שפוט את הפריט הבא, בהתחשב בכך ש-1 ליטר שווה ל-3.8 ליטר מים.

אם למיכל מים יש קיבולת של X אלף ליטר, כך ש-8, X ו-12 נמצאים בהתקדמות גיאומטרית, בסדר זה, אז הקיבולת של אותו מיכל קטנה מ-10 אלף ליטר.

ימין

שגוי

ראה תשובה

תשובה נכונה: נכון

מַטָרָה
בדוק אם X < 10.

פתרון הבעיה
בהתקדמות גיאומטרית, PG, המונח האמצעי הוא הממוצע הגיאומטרי בין הקצוות.

X פחות מהשורש הריבועי של 8.12 קצה השורש X שטח קטן מהשורש הריבועי של 96

למעשה, השורש הריבועי המשוער של 96 הוא 9.79. אנו מסיקים כי הקיבולת X של המיכל היא פחות מ-10 אלף ליטר.

תרגיל 7

(Aeronautics 2021) Be the P.G. (24, 36, 54, ...). על ידי הוספת התנאים החמישי והשישי של G.P. חל

א) 81/2
ב) 405/2
ג) 1215/4
ד) 1435/4

ראה תשובה

תשובה נכונה: ג) 1215/4

מַטָרָה
הוסף a5 + a6

פתרון הבעיה

שלב 1: קבע את היחס q.

הסיבה ל-PG היא:

q שווה ל-a עם 2 מנוי על a עם 1 מנוי שווה ל-36 על 24 שווה ל-3 על 2

שלב 2: קבע את a5

a4 = a3. ש
a5 = a4. ש

החלפת a4 ב-a5:

a עם 5 רווחים תחתיים שווה רווח a עם 3 רווחים תחתונים. רווח q רווח. רווח q רווח שווה לרווח a עם 3 רווחים תחתונים. רווח q בריבוע

שלב 3: קבע את a6

a6 = a5. ש

החלפת a5 ב-a6:

a עם 6 מנוי שווה ל-a עם 5 רווחים מנויים. רווח q רווח שווה לרווח a עם 3 רווחים תחתונים. רווח q רווח בריבוע. רווח q רווח שווה לרווח a עם 3 רווחים תחתונים. חלל q בקוביות

שלב 4: הוסף a5 + a6 במקום הערכים המספריים.

a עם 5 מנויים פלוס a עם 6 מנויים שווה ל-a עם 3 מנויים. q רווח בריבוע פלוס רווח a עם 3 מנוי. q קוביות a עם 5 תחתי פלוס a עם 6 תחתי שווה ל-54 רווחים. רווח פותח סוגריים 3 על 2 סוגר סוגריים בריבוע בתוספת רווח 54 רווח. רווח פותח סוגריים 3 על 2 סוגר סוגריים בקוביות a עם 5 כתב תחתון פלוס a עם 6 תחתי שווה 54 רווח. חלל 9 על 4 חלל פלוס חלל 54 שטח. חלל 27 מעל 8

הוספת 54 לראיה:

a עם 5 מנוי פלוס a עם 6 מנוי שווה 54 רווח פותח סוגריים 9 על 4 רווח פלוס רווח 27 מעל 8 סוגרים סוגריים a עם 5 כתב תחתון פלוס a עם 6 מנויים שווה 54 פותח סוגריים מונה 9 מֶרחָב. רווח 8 מעל מכנה 4 רווח. רווח 8 סוף שבר בתוספת מונה רווח 27 רווח. רווח 4 מעל מכנה 4 רווח. רווח 8 סוף שבר סוגר סוגריים a עם 5 כתב תחתון פלוס a עם 6 תחתי שווה 54 פותח סוגריים 72 מעל 32 ועוד 108 מעל 32 סוגר סוגריים a עם 5 מנויים פלוס a עם 6 מנויים שווה 54 פותח סוגריים 180 מעל 32 סוגרים סוגריים a עם 5 מנויים פלוס a עם 6 מנויים שווה 54 מֶרחָב. רווח 180 מעל 32 שווה 9720 מעל 32 שווה 1215 מעל 4

תרגיל 8

(UERJ 2019) למשולשים A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, המוצגים להלן, יש היקפים p1, p2, p3, בהתאמה. קודקודי המשולשים הללו, החל מהשני, הם נקודות האמצע של צלעות המשולש הקודם.

להודות בכך מחסנית א' עם 1 תחתי B עם 1 מנוי עם קו נטוי מעל מחסנית B עם 1 מנוי C עם 1 מנוי עם לוכסן למעלה שווה ל-7 רווחים וערימת רווח A עם 1 תחתי C עם 1 תחתי עם לוכסן מעל שווה 4 .

לפיכך, (p1, p2, p3) מגדיר את ההתקדמות הבאה:

א) חשבון יחס = – 8
ב) חשבון יחס = – 6
ג) יחס גיאומטרי = 1/2
ד) יחס גיאומטרי = 1/4

ראה תשובה

תשובה נכונה: ג) יחס גיאומטרי = 1/2

פתרון הבעיה

שלב 1: הגדר את ההיקפים p1, p2 ו-p3.

p עם 1 תחתי שווה ערימת רווח A עם 1 תחתי B עם 1 תחתי עם לוכסן מעל פלוס מחסנית רווח B עם 1 תחתי C עם 1 תחתי עם לוכסן למעלה פלוס מחסנית A עם 1 מנוי C עם 1 מנוי עם לוכסן מעל p עם 1 תחתי שווה 7 רווח פלוס רווח 7 רווח פלוס רווח 4 p עם 18 תחתי שווה 18

על ידי מקביליות, אנו מוודאים שצלעות המשולש הפנימי הן מחצית מהצד החיצוני מיד.

לדוגמה, B2A2 = A1C2

לפיכך, p2 הוא חצי מ-p1, בדיוק כפי ש-p3 הוא חצי מ-p2. יש לנו:

p עם 2 תחתי שווה ל-p עם 1 תחתי חלקי 2 שווה 9 ו-p עם 3 תחתי שווה ל-p עם 2 תחתי מחלקי 2 שווה 9 רווח חלקי 2 שווה 4 פסיק 5

שלב 2: הרכיבו את ההתקדמות וסווגו אותה.

p עם 1 רווח פסיק תחתון p עם 2 רווח פסיק בתחתית p עם 3 רווח תחתית שווה רווח 18 רווח פסיק 9 רווח פסיק 4 פסיק 5

מסתבר שכדי לקבוע את p2, 18 מוכפל ב-1/2.

כמו כן, 9 כפול 1/2 הוא 4.5.

9 רווח סימן כפל רווח 1 חצי שווה 9 על 2 שווה 4 פסיק 5

סיכום
אנו מוודאים שההתקדמות היא גיאומטרית, ביחס של 1/2.

תרגיל 9

(Enem 2021) הגרף מודיע על הייצור שנרשם על ידי תעשייה בחודשים ינואר, מרץ ואפריל.

עקב בעיות לוגיסטיות לא בוצע סקר הייצור לחודש פברואר. עם זאת, מידע עבור שלושת החודשים האחרים מצביע על כך שהייצור בתקופה של ארבעה חודשים זו גדל באופן אקספוננציאלי, כפי שמוצג על ידי עקומת המגמה המתוארת בגרף.

בהנחה שהצמיחה בתקופה זו הייתה אקספוננציאלית, ניתן להסיק כי הייצור של ענף זה בחודש פברואר, באלפי יחידות, היה

א) 0.
ב) 120.
ג) 240.
ד) 300.
ה) 400.

ראה תשובה

תשובה נכונה: ג) 240.

פתרון הבעיה

המונח הכללי של PG הוא a מעריכי כפונקציה של n, כאשר a1 ו-q הם מספרים קבועים.